【優(yōu)化方案】2020高中數(shù)學(xué) 第2章3.2知能優(yōu)化訓(xùn)練 北師大版選修1-1

1．(2020年海淀區(qū)高三調(diào)研)已知雙曲線x2－＝1，那么它的焦點(diǎn)到漸近線的距離為(　　) A．1　　　　　　　　　　 B. C．3 D．4 解析：選B.依題意得，雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0)，一條漸近線方程是y＝x，即x－y＝0，因此焦點(diǎn)到漸近線的距離為＝. 2．如圖，橢圓C1，C2與雙曲線C3，C4的離心率分別是e1，e2與e3，e4，則e1，e2，e3，e4的大小關(guān)系是(　　) A．e2<e1<e3<e4 B．e2<e1<e4<e3 C．e1<e2<e3<e4 D．e1<e2<e4<e3 解析：選A.橢圓離心率為e，則e2＝1－，∴0<e2<e1<1. 雙曲線的離心率為e′，則e′＝1＋.∴1<e3<e4. 因此0<e2<e1<1<e3<e4. 3．(2020年高考安徽卷)雙曲線2x2－y2＝8的實(shí)軸長是(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：選C.∵2x2－y2＝8，∴－＝1，∴a＝2，∴2a＝4. 4．(2020年高考福建卷)若雙曲線－＝1(b>0)的漸近線方程為y＝±x，則b等于________． 解析：－＝1(b>0)的漸近線為y＝±bx， 由題意知b＝，∴b＝1. 答案：1 一、選擇題 1．若雙曲線－＝1(a>0)的離心率為2，則a等于(　　) A．2 B. C. D．1 解析：選D.∵c2＝a2＋3，∴＝＝4，得a＝1. 2．(2020年鄭州質(zhì)檢)已知雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，雙曲線的一個焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為c，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.雙曲線－＝1的漸近線為±＝0，焦點(diǎn)A(c,0)到直線bx－ay＝0的距離為＝c，則c2－a2＝c2，得e2＝，e＝，故選B. 3．(2020年溫州十校聯(lián)考)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的實(shí)軸長是焦距的，則該雙曲線的漸近線方程是(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x 解析：選C.由題意可知2a＝×2c＝c，則4a2＝c2＝a2＋b2，解得＝3，所以＝，所以該雙曲線的漸近線方程是y＝±x. 4．(2020年高考課標(biāo)全國卷)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(4，－2)，則它的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：選D.設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，所以其漸近線方程為y＝±x，因為點(diǎn)(4，－2)在漸近線上，所以＝，根據(jù)c2＝a2＋b2，可得＝，解得e＝，故選D. 5．P是雙曲線－＝1上的點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是其焦點(diǎn)，雙曲線的離心率是，且∠F1PF2＝90°，若△F1PF2的面積是9，則a＋b的值等于(　　) A．4 B．7 C．6 D．5 解析：選B.∵e＝＝，∴a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)．由|PF1|2＋|PF2|2＝100k2，|PF1|·|PF2|＝9，(|PF1|－|PF2|)2＝100k2－36＝64k2，解得k＝1， ∴a＋b＝4k＋3k＝7. 6．(2020年高考遼寧卷)設(shè)雙曲線的一個焦點(diǎn)為F，虛軸的一個端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：選D.設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，不妨設(shè)一個焦點(diǎn)為F(c,0)，虛軸端點(diǎn)為B(0，b)，則kFB＝－.又漸近線的斜率為k＝±，所以由直線垂直關(guān)系得－·＝－1(－顯然不符合)，即b2＝ac，又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，兩邊同除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)． 二、填空題 7．已知雙曲線－＝1的離心率為2，焦點(diǎn)與橢圓＋＝1的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________，漸近線方程為________． 解析：橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，(－4,0)，故c＝4，且滿足＝2，故a＝2，b＝ ＝2.所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x. 答案：(±4,0)　y＝±x 8．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是y＝x，它的一個焦點(diǎn)與拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)相同，則雙曲線的方程為________． 解析：由條件知雙曲線的焦點(diǎn)為(4,0)， 所以解得 故雙曲線方程為－＝1. 答案：－＝1 9．設(shè)雙曲線－＝1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F.過點(diǎn)F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為________． 解析： 雙曲線－＝1的右頂點(diǎn)為A(3,0)，右焦點(diǎn)F(5,0)， 一條漸近線為y＝－x， 則BF所在直線為y＝－(x－5)， 由，得B(，)， ∴S△AFB＝·|AF|·|yB|＝. 答案： 三、解答題 10．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，它的兩條漸近線的夾角為，焦距為12，求此雙曲線的方程及離心率． 解：由已知可設(shè)雙曲線的方程為 －＝1(a>0，b>0)， 所以兩條漸近線為y＝±x. 因為兩條漸近線的夾角為，故分兩種情況， 即y＝x的傾斜角為或. 當(dāng)y＝x的傾斜角為時， ∴＝tan＝，∴＝，即a2＝3b2. 又2c＝12，∴c＝6.∵c2＝a2＋b2，∴b2＝9，a2＝27. ∴雙曲線方程為－＝1. e＝＝＝. 當(dāng)y＝x的傾斜角為時，∴＝tan＝， ∴b2＝3a2. 又2c＝12，∴c＝6.由c2＝a2＋b2，∴a2＝9，b2＝27. ∴雙曲線方程為－＝1，e＝＝＝2. 11．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(diǎn)(4，－)． (1)求雙曲線方程； (2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：MF1⊥MF2； (3)求△F1MF2的面積． 解：(1)∵e＝， ∴可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵過點(diǎn)(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴雙曲線方程為x2－y2＝6. (2)證明：易知F1(－2，0)、F2(2，0)． ∴kMF1＝，kMF2＝ . ∴kMF1·kMF2＝＝－. ∵點(diǎn)(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，m2＝3. 故kMF1·kMF2＝－1. 即MF1⊥MF2. (3)△F1MF2的底|F1F2|＝4， F1F2上的高h(yuǎn)＝|m|＝， ∴S△F1MF2＝×4×＝6. 12．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，右準(zhǔn)線方程為x＝. (1)求雙曲線C的方程； (2)已知直線x－y＋m＝0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓x2＋y2＝5上，求m的值． 解：(1)由題意得解得 所以b2＝c2－a2＝2. 所以雙曲線C的方程為x2－＝1. (2)設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)． 由 得x2－2mx－m2－2＝0(判別式Δ>0)． 所以x0＝＝m， y0＝x0＋m＝2m. 因為點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＝5上， 所以m2＋(2m)2＝5. 故m＝±1.