【步步高】2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 第5講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第5講　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 (推薦時(shí)間：60分鐘) 一、填空題 1．如果曲線y＝x4－x在點(diǎn)P處的切線垂直于直線y＝－x，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為____________． 2．(原創(chuàng)題)已知全集I＝R，若函數(shù)f(x)＝x2－3x＋2，集合M＝{x|f(x)≤0}，N＝{x|f′(x)<0}，則M∩(?IN)＝__________. 3．(2020·遼寧改編)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(－1)＝2，對任意x∈R，f′(x)>2，則f(x)>2x＋4的解集為________． 4．已知曲線C：y＝2x2，點(diǎn)A(0，－2)及點(diǎn)B(3，a)，從點(diǎn)A觀察點(diǎn)B，要實(shí)現(xiàn)不被曲線C擋住，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________． 5．設(shè)P為曲線C：y＝x2－x＋1上一點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率的范圍是[－1,3]，則點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍是__________． 6．已知函數(shù)f(x)＝mx2＋ln x－2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________． 7．已知f(x)，g(x)都是定義在R上的函數(shù)，g(x)≠0，f′(x)·g(x)<f(x)g′(x)，f(x)＝ax·g(x)，(a>0，且a≠1)，＋＝，在有窮數(shù)列(n＝1,2，…10)中，任意取正整數(shù)k(1≤k≤10)，則前k項(xiàng)和大于的概率是______． 8．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不單調(diào)，則t的取值范圍是____________． 9．已知函數(shù)f(x)＝＋ln x，若函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 10．已知函數(shù)f(x)＝mx3＋nx2的圖象在點(diǎn)(－1,2)處的切線恰好與直線3x＋y＝0平行，若f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是__________． 11．函數(shù)f(x)＝2mcos2＋1的導(dǎo)函數(shù)的最大值等于1，則實(shí)數(shù)m的值為________． 12．(2020·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知P是函數(shù)f(x)＝ex (x>0)的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，該圖象在點(diǎn)P處的切線l交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作l的垂線交y軸于點(diǎn)N，設(shè)線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t，則t的最大值是______． 二、解答題 13．已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元．設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)萬元，且R(x)＝ (1)寫出年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式； (2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得利潤最大？(注：年利潤＝年銷售收入－年總成本) 14.若f(x)＝ax4＋bx2＋c得圖象過點(diǎn)P(0，1)，且在x＝1處的切線方程為x－y－2＝0，求函數(shù)y＝f(x)的解析式． 15．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，過曲線y＝f(x)上的點(diǎn)P(1，f(1))的切線方程為y＝3x＋1. (1)若y＝f(x)在x＝－2時(shí)有極值，求f(x)的表達(dá)式； (2)在(1)的條件下，求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值； (3)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－2,1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍． 答 案 1．(1,0)　2.[，2] 3．(－1，＋∞) 4．(－∞，10) 5. 6．[1，＋∞) 7. 8．0<t<1或2<t<3 9．[1，＋∞) 10．[－2，－1] 11．±1 12. 13．解　(1)當(dāng)0<x≤10時(shí)， W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10； 當(dāng)x>10時(shí)，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x. ∴W＝ (2)①當(dāng)0<x<10時(shí)， 由W′＝8.1－＝0， 得x＝9，且當(dāng)x∈(0,9)時(shí)，W′>0； 當(dāng)x∈(9,10)時(shí)，W′<0， ∴當(dāng)x＝9時(shí)，W取最大值，且Wmax＝8.1×9－·93－10＝38.6. ②當(dāng)x>10時(shí)，W＝98－≤98－2＝38， 當(dāng)且僅當(dāng)＝2.7x，即x＝時(shí)，W＝38，故當(dāng)x＝時(shí)，W取最大值38. 綜合①②知當(dāng)x＝9時(shí)，W取最大值38.6萬元，故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大． 14．解　因?yàn)閒(x)圖象過點(diǎn)P(0,1)， 所以c＝1，即f(x)＝ax4＋bx2＋1， 則f′(x)＝4ax3＋2bx， 所以k＝f′(1)＝4a＋2b＝1. ① 由f(x)在x＝1的切線方程為x－y－2＝0得切點(diǎn)為M(1，－1)，將M(1，－1)代入f(x)＝ax4＋bx2＋1， 得a＋b＋1＝－1. ② 由①②解得a＝，b＝－，所以f(x)＝x4－x2＋1. 15．解　(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c求導(dǎo)數(shù)得f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 過y＝f(x)上點(diǎn)P(1，f(1))的切線方程為y－f(1)＝f′(1)(x－1)， 即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)． 而過y＝f(x)上點(diǎn)P(1，f(1))的切線方程為y＝3x＋1. 故 即 ∵y＝f(x)在x＝－2時(shí)有極值， 故f′(－2)＝0. ∴－4a＋b＝－12. ③ 由①②③聯(lián)立解得a＝2，b＝－4，c＝5， ∴f(x)＝x3＋2x2－4x＋5. (2)f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)， 令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－2. 列下表： x －3 (－3，-2) -2 （-2，) (，1) 1 f′(x) ＋， 0 － 0 ＋ f(x) 8 極大值 極小值 4 ∴f(x)的極大值為f(－2)＝13，極小值為f()＝. 又∵f(－3)＝8，f(1)＝4， ∴f(x)在[－3,1]上的最大值為13. (3)y＝f(x)在[－2,1]上單調(diào)遞增． 又f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由(1)知2a＋b＝0. ∴f′(x)＝3x2－bx＋b. 依題意在[－2,1]上恒有f′(x)≥0， 即3x2－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立， 當(dāng)x＝≥1時(shí)，即b≥6時(shí)，[f′(x)]min＝f′(1)＝3－b＋b>0，∴b≥6時(shí)符合要求． 當(dāng)x＝≤－2時(shí)，即b≤－12時(shí)， [f′(x)]min＝f′(－2)＝12＋2b＋b≥0，∴b不存在． 當(dāng)－2<<1即－12<b<6時(shí)，[f′(x)]min＝≥0，∴0≤b<6， 綜上所述b≥0.