【步步高】2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 第2講橢圓、雙曲線、拋物線

第2講　橢圓、雙曲線、拋物線 (推薦時間：60分鐘) 一、填空題 1．(2020·湖南改編)設(shè)雙曲線－＝1(a>0)的漸近線方程為3x±2y＝0，則a的值為________． 2．已知拋物線y2＝2px (p>0)的準(zhǔn)線與圓(x－3)2＋y2＝16相切，則p的值為________． 3．(2020·江西)若雙曲線－＝1的離心率e＝2，則m＝________. 4．P為雙曲線－＝1的右支上一點，M、N分別是圓(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的點，則PM－PN的最大值為________． 5．兩個正數(shù)a、b的等差中項是，一個等比中項是，且a>b，則雙曲線－＝1的離心率e等于________． 6．設(shè)F1、F2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點，若點P在雙曲線上，且·＝0，則|＋|等于________． 7．(2020·山東改編)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線均和圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為________． 8．已知F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓＋＝1的兩個焦點，P為橢圓上一點且·＝c2，則此橢圓離心率的取值范圍是____________． 9．(2020·遼寧)已知點(2,3)在雙曲線C：－＝1 (a>0，b>0)上，C的焦距為4，則它的離心率為________． 10．已知拋物線y＝2x2上任意一點P，則點P到直線x＋2y＋8＝0的距離的最小值為________． 11．已知橢圓長軸長為短軸長的3倍且經(jīng)過點P(3,0)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________． 12．已知雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的離心率為e＝2，過雙曲線上一點M作直線MA，MB交雙曲線于A，B兩點，且斜率分別為k1，k2，若直線AB過原點O，則k1·k2的值為________． 二、解答題 13．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，直線l過點A(4,0)且與拋物線交于P、Q兩點，并設(shè)以弦PQ為直徑的圓恒過原點． (1)求焦點坐標(biāo)； (2)若＋＝，試求動點R的軌跡方程． 14. (2020·陜西)如圖，設(shè)P是圓x2＋y2＝25上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且MD＝PD. (1)當(dāng)P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程； (2)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長度． 15．設(shè)橢圓C：＋＝1 (a>b>0)的離心率e＝，右焦點到直線＋＝1的距離d＝，O為坐標(biāo)原點． (1)求橢圓C的方程； (2)過點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C分別交于A，B兩點，證明：點O到直線AB的距離為定值． 答 案 1．2　2. 2　3. 48　4. 9　5. 　6. 2 7.－＝1 8. 9．2 10. 11. ＋y2＝1或＋＝1 12. 3 13．解　(1)設(shè)直線的方程為x＝ky＋4，代入y2＝2px，得y2－2kpy－8p＝0. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則有y1＋y2＝2kp，y1y2＝－8p. 而·＝0，故0＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋4)(ky2＋4)－8p＝k2y1y2＋4k(y1＋y2)＋16－8p， 即0＝－8k2p＋8k2p＋16－8p，得p＝2，所以焦點F(1,0)． (2)設(shè)R(x，y)，由＋＝ 得(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(x－1，y)， 所以x1＋x2＝x＋1，y1＋y2＝y(tǒng). 而y＝4x1，y＝4x2，可得y(y1－y2)＝(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)． 又FR的中點坐標(biāo)為M(，)， 當(dāng)x1≠x2時，由kPQ＝kMA得＝＝， 整理得y2＝4x－28. 當(dāng)x1＝x2時，R的坐標(biāo)為(7,0)，也滿足y2＝4x－28. 所以y2＝4x－28即為動點R的軌跡方程． 14. 解　(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，P的坐標(biāo)為(xP，yP)， 由已知得　∵P在圓上， ∴x2＋(y)2＝25， 即軌跡C的方程為＋＝1. (2)過點(3,0)且斜率為的直線方程為y＝(x－3)， 設(shè)直線與C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程y＝(x－3)代入C的方程， 得＋＝1，即x2－3x－8＝0. ∴x1＝，x2＝. ∴線段AB的長度為 AB＝ ＝ ＝＝. 15．(1)解　由e＝得＝， 即a＝2c，b＝c. 由右焦點到直線＋＝1的距離為 d＝，得＝， 解得a＝2，b＝. 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)證明　①直線AB斜率不存在時， 設(shè)A(m，n)，B(m，－n)， 則×＝－1，∴m2＝n2. 把m2＝n2代入＋＝1，得m2＝. ∴O到直線AB的距離為|m|＝. ②直線AB斜率存在時， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直線AB的方程為y＝kx＋m， 與橢圓＋＝1聯(lián)立消去y得 (3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， x1＋x2＝－，x1x2＝. ∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0， ∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0. 即(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0， ∴(k2＋1)－＋m2＝0， 整理得7m2＝12(k2＋1)， 所以O(shè)到直線AB的距離d＝＝＝. 由①②可知，點O到直線AB的距離為定值．