【步步高】2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 第3講推理與證明

第3講　推理與證明 (推薦時(shí)間：60分鐘) 一、填空題 1．已知整數(shù)對(duì)排列如下： (1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，則第62個(gè)整數(shù)對(duì)是________． 2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通過(guò)計(jì)算a2，a3，a4，猜想an＝__________. 3．用反證法證明命題：若整數(shù)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)時(shí)，下列假設(shè)中正確的是________(填序號(hào))． ①假設(shè)a，b，c都是偶數(shù) ②假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù) ③假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)是偶數(shù) ④假設(shè)a，b，c至多有兩個(gè)是偶數(shù) 4．(2020·江西改編)觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，則72 011的末兩位數(shù)字為________． 5．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，則f(2 011)＝________. 6．觀察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜想第n個(gè)不等式為______________． 7．觀察下列各式：1＝1,2＋3＋4＝9,3＋4＋5＋6＋7＝25,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，…，則由此可歸納出n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝________. 8．(2020·北京)設(shè)A(0,0)，B(4,0)，C(t＋4,3)，D(t,3) (t∈R)．記N(t)為平行四邊形ABCD內(nèi)部(不含邊界)的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則N(0)＝________；N(t)的所有可能取值為________． 9．在公比為4的等比數(shù)列{bn}中，若Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積，則有，，仍成等比數(shù)列，且公比為4100；類比上述結(jié)論，在公差為3的等差數(shù)列{an}中，若Sn是{an}的前n項(xiàng)和，則有________________________也成等差數(shù)列，該等差數(shù)列的公差為________． 10．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝，記f(n)＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，試通過(guò)計(jì)算f(1)，f(2)，f(3)的值，推測(cè)出f(n)＝________. 11．(2020·山東)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x>0)，觀察： f1(x)＝f(x)＝， f2(x)＝f(f1(x))＝， f3(x)＝f(f2(x))＝， f4(x)＝f(f3(x))＝， …… 根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得： 當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________. 12．已知＝2，＝3，＝4，…，若＝6 (a，t均為正實(shí)數(shù))，類比以上等式，可推測(cè)a，t的值，則a＋t＝________. 二、解答題 13．在數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，其前n項(xiàng)和S滿足S＝an. (1)求，，，…，并求(不需證明)； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 14．觀察下列三角形數(shù)表 假設(shè)第n行的第二個(gè)數(shù)為an(n≥2，n∈N*)， (1)依次寫出第六行的所有6個(gè)數(shù)字； (2)歸納出an＋1與an的關(guān)系式并求出an的通項(xiàng)公式． 15．已知數(shù)列{an}中，a4＝28，且滿足＝n. (1)求a1，a2，a3； (2)猜想{an}的通項(xiàng)公式并證明． 答 案 1．(7,5)　2.　3.②　4.43 5.　6.1＋＋＋…＋> 7．(2n－1)2　8.6　6,7,8 9．S20－S10，S30－S20，S40－S30　300 10. 11. 12．41 13．解　(1)當(dāng)n≥2時(shí)，由an＝Sn－Sn－1和S＝an， 得S＝(S2－S1)， 得＝＝2＋＝3， 由S＝(S3－S2)， 得＝2＋＝5， 由S＝(S4－S3)， 得＝2＋＝7， … 由S＝(Sn－Sn－1)， 得＝2＋＝2n－1. (2)由(1)知，Sn＝， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝－， 顯然，a1＝1不符合上述表達(dá)式， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an＝ 14．解　(1)第六行的所有6個(gè)數(shù)字分別是6,16,25,25,16,6. (2)依題意an＋1＝an＋n(n≥2)，a2＝2， an＝a2＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋2＋3＋…＋(n－1) ＝2＋， 所以an＝n2－n＋1(n≥2)． 15．解　(1)＝n. 當(dāng)n＝3時(shí)，＝3. ∵a4＝28，∴a3＝15； 當(dāng)n＝2時(shí)，＝2. ∵a3＝15，∴a2＝6； 當(dāng)n＝1時(shí)，＝1. ∵a2＝6，∴a1＝1. (2)猜想an＝n(2n－1)． ①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1， 而a1＝1×(2×1－1)＝1，等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，等式成立， 即ak＝k(2k－1)． 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＝k，＝k， 整理，得 (1－k)ak＋1＝－2k3－k2＋2k＋1 ＝(2k＋1)(1－k2)， ak＋1＝(1＋k)(2k＋1)＝(k＋1)[2(k＋1)－1]， 等式也成立． 綜合①②可知，n∈N*時(shí)，等式成立．