浙江省2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第3單元 第8節(jié) 正余弦定理應(yīng)用舉例 文 新人教A版

第八節(jié)　正、余弦定理應(yīng)用舉例 1. 兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的(　　) A. 北偏東10°　　　　　　B. 北偏西10° C. 南偏東10° D. 南偏西10° 2. 如圖所示，D、C、B三點(diǎn)在地面同一直線上，DC＝a，從C、D兩點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角分別是β、α(α＜β)，則點(diǎn)A離地面的高AB等于(　　) A. B. C. D. 3. 在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，則邊AC上的高為(　　) A. B. C. D. 3 7. (2020·廣東實(shí)驗(yàn)、華師附中、金山中學(xué)等四校聯(lián)考)2020年北京國慶閱兵式上舉行升旗儀式．如圖，在坡度15°的觀禮臺上，某一列座位與旗桿在同一個垂直于地面的平面上，在該列的第一排和最后一排測得旗桿頂端的仰角分別為60°和30°，且第一排和最后一排的距離為10 m，則旗桿的高度為________m. 8. 有一長為10 m的斜坡，傾斜角為75°，在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，通過加長坡面方法將其傾斜角改為30°(如圖)，則坡底應(yīng)延長________m. 9. 某人先向東走a km，然后右轉(zhuǎn)150°，并在新的方向上走了3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn) km，則a＝________. 10. 在300米高的山頂上，測得山下一塔頂和塔底的俯角分別為30°、60°，則塔高為________米. 11. 如圖A，B，C，D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測量船于水面A處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75°，30°，于水面C處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°，AC＝0.1 km，試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)距離相等，然后求B，D的距離(計(jì)算結(jié)果精確到0.01 km，≈1.414，≈2.449) 12. (2020·陜西)如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/時，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長時間？ 答 案 1. B　解析：由圖可知∠ACB＝180°－(40°＋60°)＝80°，又∵AC＝BC， ∴∠A＝∠CBA＝(180°－80°)＝50°.∵CE∥BD， ∴∠CBD＝∠BCE＝60°， ∴∠ABD＝60°－50°＝10°， ∴燈塔A在燈塔B的北偏西10°方向上． 4. C　解析：如圖，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°， 所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，可得AB＝5，于是這只船的速度是＝10(海里/小時)． 5. B　解析：如圖所示， 由題知∠ACB＝180°－20°－40°＝120°， 又CA＝CB＝a km， ∴∠CAB＝∠B＝30°. 在△ABC中，由正弦定理，得AB＝＝2a·＝a(km)． 6. A　解析：∵∠BAC＝2θ－θ＝θ＝∠ABC， ∴AC＝BC＝30. 又∠CAD＝4θ－2θ＝2θ＝∠ACD， ∴AD＝CD＝10. 在△ACD中，＝， 即＝＝. ∵sin 2θ≠0，∴cos 2θ＝，又∵2θ為銳角， ∴2θ＝30°，∴θ＝15°.故選A. 10. 200　 解析：如圖所示，AP為山高，CB為塔高，在Rt△APB中，PA＝300，∠APB＝30°， ∴PB＝＝＝200. 又∵∠BPC＝30°，∠BCP＝180－60°＝120， 則△PBC中，＝， ∴BC＝＝200(米)． 11. 在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°， 所以CD＝AC＝0.1. 又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°， 故CB是△CAD底邊AD的中垂線， 所以BD＝BA. 在△ABC中，＝， 即AB＝＝， 因此，BD＝≈0.33(km)． 故B，D間的距離約為0.33 km. 12. 由題意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB中，由正弦定理，得 ＝， ∴DB＝＝ ＝ ＝＝10(海里)． 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)． 在△DBC中，由余弦定理，得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1 200－2×10×20×＝900， ∴CD＝30(海里)， ∴需要的時間t＝＝1(小時)． 答：救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時