浙江省2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第2單元 第4節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性 文 新人教A版

第四節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性 1. (2020·廣東)若函數(shù)f(x)＝3x＋3－x與g(x)＝3x－3－x的定義域均為R，則(　　) A. f(x)與g(x)均為偶函數(shù) B. f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù) C. f(x)與g(x)均為奇函數(shù) D. f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù) 2. 下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(　　) A. y＝sin x　　　　　　　B. y＝－x2 C. y＝xlg 2 D. y＝－x3 3. (2020·安徽)若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1)＝1，f(2)＝2，則f(3)－f(4)＝(　　) A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 4. 設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，若x1＜0，且x1＋x2＞0，則(　　) A. f(x1)＞f(－x2) B. f(－x1)＝f(－x2) C. f(－x1)＜f(－x2) D. f(－x1)與f(－x2)大小不確定 5. (2020·重慶)函數(shù)f(x)＝的圖象(　　) A. 關(guān)于原點對稱 B. 關(guān)于直線y＝x對稱 C. 關(guān)于x軸對稱 D. 關(guān)于y軸對稱 6. 已知函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，y＝f(x－2)在[0,2]上是單調(diào)減函數(shù)，則(　　) A. f(0)<f(－1)<f(2) B. f(－1)<f(0)<f(2) C. f(－1)<f(2)<f(0) D. f(2) <f(－1)<f(0) 7. (2020·江蘇)設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________. 8. (2020·北京改編)若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|(zhì)b|，則函數(shù)f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是________．(填“奇函數(shù)”或“偶函數(shù)”) 9. (2020·杭州學(xué)軍中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其最小正周期為3，且x∈時，f(x)＝2－x＋1，則f(8)＝________. 10. 已知對任意實數(shù)x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0時，f′(x)＞0，g′(x)＞0，則x＜0時，應(yīng)該有f′(x)________0，g′(x)________0(填“＞”“＜”或“＝”). 11. 已知函數(shù)f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R. (1)試判斷f(x)的奇偶性； (2)若－≤a≤，求f(x)的最小值． 12. 已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x＋2)＝－f(x)． (1)求證：f(x)是周期函數(shù)； (2)若f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x，求在[0,2 009]上使f(x)＝－的所有x的個數(shù)． 答案 7. －1　解析：∵函數(shù)f(x)＝x(ex＋ae－x)是偶函數(shù)，∴函數(shù)g(x)＝ex＋ae－x是奇函數(shù)，則g(x)＋g(－x)＝ex＋ae－x＋e－x＋aex＝(1＋a)(ex＋e－x)＝0，解得a＝－1. 8. 奇函數(shù)　解析：f(x)＝a·bx2＋(b2－a2)·x－a·b，∵a⊥b，∴a·b＝0， 即f(x)＝(b2－a2)·x， ∵|a|≠|(zhì)b|，∴b2－a2≠0. ∴f(x)為奇函數(shù)． 9. 4　解析：∵函數(shù)的周期為3，∴f(8)＝f(8－9)＝f(－1)＝22＝4. 10. ＞?。肌〗馕觯河深}意知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f(x)，g(x)都是增函數(shù)．由函數(shù)的對稱性知，在對稱區(qū)間上函數(shù)f(x)仍然是增函數(shù)，而g(x)是減函數(shù)，從而x＜0時，f′(x)＞0，g′(x)＜0. 11. (1)當(dāng)a＝0時，f(x)為偶函數(shù)； 當(dāng)a≠0時，f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)． (2)當(dāng)x≤a時，函數(shù)f(x)在(－∞，a]上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在(－∞，a]上的最小值為f(a)＝a2＋1； 當(dāng)x≥a時，函數(shù)f (x)＝x2＋x－a＋1＝2－a＋， ∵a≥－，故函數(shù)f(x)在[a，＋∞)上單調(diào)遞增， 從而函數(shù)f(x)在 [a，＋∞)上的最小值為f(a)＝a2＋1. 綜上得，當(dāng)－≤a≤時，函數(shù)f(x)的最小值為a2＋1. 12. (1)證明：f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)． (2)當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x， 設(shè)－1≤x≤0時，則0≤－x≤1， ∴f(－x)＝(－x)＝－x. ∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x. 故f(x)＝x(－1≤x≤1)． 又設(shè)1＜x＜3，則－1＜x－2＜1， ∴f(x－2)＝(x－2)． 又∵f(x－2)＝－f(2－x)＝－f((－x)＋2) ＝－[－f(－x)]＝－f(x)， ∴－f(x)＝(x－2)， ∴f(x)＝－(x－2)(1＜x＜3)， ∴f(x)＝ 由f(x)＝－，解得x＝－1. ∵f(x)是以4為周期的周期函數(shù)， 故f(x)＝－的所有x＝4n－1(n∈Z)． 令0≤4n－1≤2 009，則≤n≤， 又∵n∈Z，∴1≤n≤502(n∈Z)， ∴在[0,2 009]上共有502個x使f(x)＝－