福建省漳浦縣道周中學2020年高考數(shù)學專題復(fù)習 三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用教案 文

福建省漳浦縣道周中學2020年高考數(shù)學專題復(fù)習 三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用教案 文 1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，正弦、余弦、正切的誘導公式?？汲Ｐ? 兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù)規(guī)律性強，對公式的正用、逆用、變形應(yīng)用的技巧、方法要求較高，考查公式的靈活運用及變形能力.通過簡單的恒等變換解決三角函數(shù)的化簡求值是高考必考內(nèi)容，且一直是高考的熱點. 2.研究三角函數(shù)的性質(zhì)，一般要化為f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的形式，若是奇函數(shù)，則可化為f(x)＝±Asin ωx；若是偶函數(shù)，則可化為f(x)＝±Acos ωx.求三角函數(shù)的定義域，實際上是利用三角函數(shù)圖象或三角函數(shù)線來確定不等式的解，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以轉(zhuǎn)化為求y＝sin x與y＝cos x的單調(diào)區(qū)間. 3.解三角形問題主要有兩種題型：一是與三角函數(shù)結(jié)合起來考查，通過三角變換化簡，然后運用正、余弦定理求值；二是與平面向量結(jié)合(主要是數(shù)量積)，判斷三角形形狀或結(jié)合正、余弦定理求值.試題一般為中檔題，客觀題、解答題均有可能出現(xiàn). 4.平面向量的線性運算，為證明兩線平行提供了重要方法.平面向量的數(shù)量積的運算解決了兩向量的夾角、垂直等問題.特別是平面向量的坐標運算與三角函數(shù)的有機結(jié)合，體現(xiàn)了向量應(yīng)用的廣泛性. [難點正本　疑點清源] 1.三角函數(shù)問題一是化簡求值問題，要熟練應(yīng)用公式，緊扣角的范圍，才可避免出錯；二是三角函數(shù)的性質(zhì)，要先將函數(shù)式化簡為y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的形式，再研究其性質(zhì). 2.向量的運算法則、運算律與數(shù)量的運算法則、運算律形成鮮明對比，要理解它們的聯(lián)系與區(qū)別.要用向量的思想和方法去分析解決問題，一定要突出向量的工具性作用. 題型一　三角函數(shù)式的化簡求值問題 例1　已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1 (x∈R). (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值； (2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值. 探究提高　(1)兩角和與差的三角函數(shù)公式的內(nèi)涵是“揭示同名不同角的三角函數(shù)的運算規(guī)律”，對公式要會“正用”、“逆用”、“變形用”，記憶公式要注意角、三角函數(shù)名稱排列以及連接符號“＋”，“－”的變化特點.(2)在使用三角恒等變換公式解決問題時，“變換”是其中的精髓，在“變換”中既有公式的各種形式的變換，也有角之間的變換.(3)本題的易錯點是易用錯公式和角的拆分不準確. 已知向量m＝(－1，cos ωx＋sin ωx)，n＝(f(x)，cos ωx)，其中ω>0，且m⊥n，又函數(shù)f(x)的圖象上任意兩相鄰對稱軸的間距為π. (1)求ω的值； (2)設(shè)α是第一象限角，且f＝， 求的值. 題型二　三角形中的三角恒等變換 例2　設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝2bsin A. (1)求B的大?。? (2)求cos A＋sin C的取值范圍. 探究提高　本題的難點是第(2)問，求解三角函數(shù)式的取值范圍，首先要根據(jù)三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進行化簡，然后根據(jù)已知條件確定角A或角C的取值范圍，要利用銳角三角形的每個內(nèi)角都是銳角，構(gòu)造關(guān)于角A的不等式確定其取值范圍，最后利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定三角函數(shù)式的取值范圍. 設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c且3b2＋3c2－3a2＝4bc. (1)求sin A的值； (2)求的值. 題型三　平面向量與三角函數(shù) 例3　已知向量m＝， n＝. (1)若m·n＝1，求cos的值； (2)記f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足(2a－c)cos B＝bcos C，求函數(shù)f(A)的取值范圍. 探究提高　向量是一種解決問題的工具，是一個載體，通常是用向量的數(shù)量積運算或性質(zhì)轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問題. 已知A、B、C的坐標分別為A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈. (1)若||＝||，求角α的值； (2)若·＝－1，求 的值. 　　　　　　　8.平面向量與三角函數(shù)的綜合問題 試題：(12分)設(shè)向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β). (1)若a與b－2c垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； (3)若tan αtan β＝16，求證：a∥b. 審題視角　(1)利用向量的垂直關(guān)系，將向量間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)式，化簡求值.(2)根據(jù)向量模的定義，將求模問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值的問題.(3)轉(zhuǎn)化成證明與向量平行等價的三角函數(shù)式. 規(guī)范解答 (1)解　由a與b－2c垂直， 得a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0， 即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2. [4分] (2)解　|b＋c|2＝(b＋c)2＝b2＋c2＋2b·c＝sin2β＋16cos2β＋cos2β＋16sin2β＋2(sin βcos β－16sin βcos β) ＝17－30sin βcos β＝17－15sin 2β， 最大值為32，所以|b＋c|的最大值為4. [8分] (3)證明　由tan αtan β＝16， 得sin αsin β＝16cos αcos β， 即4 cos α·4cos β－sin αsin β＝0，故a∥b. [12分] 第一步：將向量間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)式. 第二步：化簡三角函數(shù)式. 第三步：求三角函數(shù)式的值或分析三角函數(shù)式 的性質(zhì). 第四步：明確結(jié)論. 第五步：反思回顧.查看關(guān)鍵點，易錯點和規(guī)范 解答. 批閱筆記　(1)本題是典型的向量與三角函數(shù)的綜合，題目難度中檔，屬高考的重點題型. (2)本題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.根據(jù)向量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式的問題，利用三角函數(shù)解決. (3)易錯分析.在將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式時易出錯.在第(3)問中，學生不知道要推出怎樣的三角關(guān)系式才能說明a∥b.事實上是學生忽略了a∥b的條件. 方法與技巧 1.研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的主要思想方法是數(shù)形結(jié)合思想，這主要體現(xiàn)在運用三角函數(shù)的圖象研究三角函數(shù)的圖象變換、最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等知識；運用三角函數(shù)的圖象解決取值范圍、交點個數(shù)、定義域等內(nèi)容. 2.三角函數(shù)與向量的交匯綜合是近幾年高考的熱點題型，主要從以下兩個方面進行考查. (1)利用平面向量的知識(如向量的模、數(shù)量積、向量的夾角)，通過向量的有關(guān)運算，將向量條件轉(zhuǎn)化為三角關(guān)系，然后通過三角變換及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等解決問題. (2)從三角與向量的關(guān)聯(lián)點(角與距離)處設(shè)置問題，把三角函數(shù)中的角與向量的夾角統(tǒng)一為一類問題考查. 3.加強數(shù)學思想方法的考查，轉(zhuǎn)化思想主要體現(xiàn)在把向量問題轉(zhuǎn)化為三角問題. 失誤與防范 1.對于三角函數(shù)的化簡求值問題，一要熟練應(yīng)用公式化簡，二要注意角的范圍. 2.平面向量與三角函數(shù)問題，一般是通過向量運算，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式，要注意轉(zhuǎn)化的準確性和靈活性. 專題三　三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用 (時間：60分鐘) A組　專項基礎(chǔ)訓練題組 一、選擇題 1.已知向量a＝(2，sin x)，b＝(cos2x,2cos x)，則函數(shù)f(x)＝a·b的最小正周期是 (　　) A. B.π C.2π D.4π 2.已知a，b，c為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A).若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，則角A，B的大小分別為 (　　) A.， B.， C.， D.， 3.已知a＝，b＝(1，)，則|a＋tb| (t∈R)的最小值等于 (　　) A.1 B. C. D. 二、填空題 4.已知0<α<，β為f(x)＝cos的最小正周期，a＝，b＝(cos α，2)，且a·b＝m，則＝________. 5.在直角坐標系xOy中，已知點A(－1,2)，B(2cos x，－2cos 2x)，C(cos x,1)，其中x∈[0，π]，若⊥，則x的值為______. 6.已知函數(shù)f(x)＝sin x－cos x，且f′(x)＝2f(x)，f′(x)是f(x)的導函數(shù)，則＝_________. 三、解答題 7.已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R (A>0，ω>0，|φ|<)，若該函數(shù)圖象上的一個最高點坐標為，與其相鄰的對稱中心的坐標是. (1)求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式； (2)求函數(shù)的最小值，并寫出函數(shù)取得最小值時自變量x的集合. 8.△ABC中內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(2sin B，－)，n＝且m∥n. (1)求銳角B的大??； (2)如果b＝2，求S△ABC的最大值. B組　專項能力提升題組 一、選擇題 1.已知向量＝(2,0)，向量＝(2,2)，向量＝(cos α，sin α)，則向量與向量的夾角的取值范圍是 (　　) A. B. C. D. 2.在△ABC中，·＝3，△ABC的面積S△ABC∈，則與夾角的取值范圍是 (　　) A. B. C. D. 3.(2020·大綱全國)設(shè)向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，則|c|的最大值等于 (　　) A.2 B. C. D.1 二、填空題 4.已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，－1)，則|2a－b|的最大值、最小值分別是__________. 5.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝1， BC＝2，AB＝3，P是BC上的一個動點，當·取 得最小值時，tan∠DPA的值為________. 6.(2020·上海)在正三角形ABC中，D是BC上的點.若AB＝3，BD＝1，則·＝________. 三、解答題 7.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且lg a－lg b＝lg cos B－lg cos A≠0. (1)判斷△ABC的形狀； (2)設(shè)向量m＝(2a，b)，n＝(a，－3b)，且m⊥n，(m＋n)·(n－m)＝14，求a，b，c的值. 8.已知兩個不共線的向量a，b的夾角為θ，且|a|＝3，|b|＝1，x為正實數(shù). (1)若a＋2b與a－4b垂直，求tan θ； (2)若θ＝，求|xa－b|的最小值及對應(yīng)的x的值，并指出向量a與xa－b的位置關(guān)系； (3)若θ為銳角，對于正實數(shù)m，關(guān)于x的方程|xa－b|＝|ma|有兩個不同的正實數(shù)解，且x≠m，求m的取值范圍. 答案 題型分類·深度剖析 例1　解　(1)由f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1， 得f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2x－1) ＝sin 2x＋cos 2x＝2sin. 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π. 因為f(x)＝2sin在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又f(0)＝1，f＝2，f＝－1，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為－1. (2)由(1)，可知f(x0)＝2sin. 又因為f(x0)＝， 所以sin＝. 由x0∈， 得2x0＋∈. 從而cos ＝－＝－. 所以cos 2x0＝cos ＝coscos ＋sin·sin ＝. 變式訓練1　(1)　(2)－ 例2　解　(1)由a＝2bsin A， 根據(jù)正弦定理得sin A＝2sin Bsin A， 所以sin B＝，由△ABC為銳角三角形可得B＝. (2)由(1)可知A＋C＝π－B＝， 故C＝－A. 故cos A＋sin C＝cos A＋sin ＝cos A＋sin＝cos A＋cos A＋sin A＝cos A＋sin A ＝ ＝sin， 由△ABC為銳角三角形可得，0<C<， 故0<－A<，解得<A<， 又0<A<，所以<A<. 故<A＋<， 所以<sin<， 所以<sin<， 即cos A＋sin C的取值范圍為. 變式訓練2　(1)　(2)－ 例3　解　(1)m·n＝sin ·cos ＋cos2＝sin ＋ ＝sin＋， ∵m·n＝1，∴sin＝. cos＝1－2sin2＝， cos＝－cos＝－. (2)∵(2a－c)cos B＝bcos C， 由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B ＝sin Bcos C， ∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C. ∴2sin Acos B＝sin(B＋C). ∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0. ∴cos B＝，∵0<B<π，∴B＝. ∴0<A<.∴<＋<， sin∈. 又∵f(x)＝sin＋. ∴f(A)＝sin＋. 故函數(shù)f(A)的取值范圍是. 變式訓練3　(1)　(2)－ 課時規(guī)范訓練 A組 1.B　2.C　3.B　4.4＋2m 5.或　6.－ 7.解　(1)由題意知A＝3， T＝－＝， 所以T＝π，ω＝＝2.y＝3sin(2x＋φ)， 又由2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z， 得φ＝2kπ＋，k∈Z. 因為|φ|<，所以φ＝. 所以y＝3sin，x∈R. (2)由(1)知，函數(shù)的最小值為－3； 由2x＋＝2kπ－，k∈Z， 得x＝kπ－，k∈Z， ∴函數(shù)取得最小值時自變量x的集合為 . 8.解　(1)∵m∥n， ∴2sin B＝－cos 2B， ∴sin 2B＝－cos 2B，即tan 2B＝－. 又∵B為銳角，∴2B∈(0，π). ∴2B＝，∴B＝. (2)∵B＝，b＝2， 由余弦定理cos B＝， 得a2＋c2－ac－4＝0，又∵a2＋c2≥2ac， 代入上式，得ac≤4(當且僅當a＝c＝2時等號成立). S△ABC＝acsin B＝ac≤(當且僅當a＝c＝2時等號成立).∴S△ABC的最大值為. B組 1.D　2.B　3.A　4.4、0　5.　6. 7.解　(1)因為lg a－lg b＝lg cos B－lg cos A≠0，所以＝≠1， 所以sin 2A＝sin 2B且a≠b. 因為A，B∈(0，π)且A≠B， 所以2A＝π－2B，即A＋B＝且A≠B. 所以△ABC是非等腰的直角三角形. (2)由m⊥n，得m·n＝0. 所以2a2－3b2＝0. ① 由(m＋n)·(n－m)＝14，得n2－m2＝14， 所以a2＋9b2－4a2－b2＝14， 即－3a2＋8b2＝14. ② 聯(lián)立①②，解得a＝，b＝2. 所以c＝＝. 故所求的a，b，c的值分別為，2，. 8.解　(1)由題意得，(a＋2b)(a－4b)＝0， 即a2－2a·b－8b2＝0， 得32－2×3×1×cos θ－8×12＝0， 得cos θ＝，又θ∈(0，π)，故θ∈， 因此，sin θ＝＝＝， tan θ＝＝. (2)|xa－b|＝ ＝ ＝ ＝， 故當x＝時，|xa－b|取得最小值為， 此時，a·(xa－b)＝xa2－a·b ＝×9－3×1×cos ＝0， 故向量a與xa－b垂直. (3)對方程|xa－b|＝|ma|兩邊平方整理， 得9x2－(6cos θ)x＋1－9m2＝0， ① 設(shè)方程①的兩個不同正實數(shù)解為x1，x2， 則由題意得， 解之得，sin θ<m<. 若x＝m，則方程①可以化為－(6cos θ)x＋1＝0，則x＝，即m＝. 而x≠m，故得m≠. 令sin θ<<， 得　得0°<θ<60°，且θ≠45°， 當0°<θ<60°，且θ≠45°時， m的取值范圍為 ； 當60°≤θ<90°，或θ＝45°時， m的取值范圍為.