陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法拓展資料素材 北師大版必修5（通用）

求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法 求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列考題中的常見(jiàn)形式，是利用數(shù)列知識(shí)考查數(shù)字運(yùn)用能力的常見(jiàn)題型，在各類選拔性考題中經(jīng)常出現(xiàn)，為了幫助同學(xué)們掌握這類知識(shí)，下面歸納幾種常用的方法，供參考。 一、 運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列知識(shí) 若題設(shè)中已知數(shù)列的類型，我們可用其性質(zhì)及有關(guān)公式來(lái)求解。 例1：若等差數(shù)列{an}滿足bn=()，且b1+b2+b3=,b1·b2·b3=，求通頂公式an. 解析：由b1·b2·b3=a1+a2+a3=3a2=1，根據(jù)題設(shè)可設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由b1+b2+b3=，∴()1-d+()1+()1+d=d=2或d=-2，∴an=a2+(n-2)d=2n-1或an=5-2n。 二、 運(yùn)用Sn與an的關(guān)系 當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1。 例2：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=10n+1，求通項(xiàng)公式an. 解析：當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=10n+1-(10n-1+1)=9·10n-1，又當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=11不適合上式，∴通項(xiàng)公式an=。 例3：正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若2=an+1(n∈N*)，求通項(xiàng)公式an. 解析：根據(jù)題設(shè)2=an+1得4Sn=an2+2an+1，當(dāng)n≥2時(shí)，有4Sn-1=an-12+2an-1+1，二式相減，得4an=an2-an-12+2(an-an-1)，即an2-an-12-2(an+an-1)=0，由an>0知an-an-1=2，所以{an}是2為公差的等差數(shù)列，當(dāng)n=1時(shí)，由4S1=a12+2a1+1a1=1，故an=2n-1. 三、 累加法和累乘法 若已知數(shù)列的遞推公式為an+1=an+f(n)可采用累加法，數(shù)列的遞推公式 為an+1=an·f(n)則采用累乘法。 例4：在數(shù)列{an}中a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，有an=3an-1+2，求其通項(xiàng)an. 解析：由遞推式知an+1=3an+2，又an=3an-1+2，二式相減，得an+1-an=3(an-an-1)，因此數(shù)列{an+1-an}是公比為3的等比數(shù)列。其首項(xiàng)為a2-a1=(3×1+2)-1=4，∴an+1=an+4·3n-1，則有a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32……an-an-1=4·3n-2，把n-1個(gè)等式累加得an-a1=4(1+3+32+……3n-2)=2(3n-1-1)，則有an=2·3n-1-1. 例5：設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列且(n+1)·an+12-nan2+an+1·an=0(n=1,2, 3……)，求它的通項(xiàng)公式an. 解析：由(n+1)·an+12-nan2+an+1·an=0得(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0,又an,an+1>0,∴an+1=an，則a2=a1, a3=a2……an=an-1，把n個(gè)式子累乘得: an=()·()……()·a1，又a1=1故得an=。 四、 待定系數(shù)法 對(duì)于形如an+1=pan+q(p,q為常數(shù))的遞推公式都可以采用此法，即可設(shè) an+1-t=p(an-t)再設(shè)法求出參數(shù)t. 例6(同例4) 解析：由題設(shè)知an+1=3an+2，可化為an+1-t=3(an-t)，即an+1=3an-2t，比較系數(shù)得-2t=2，即t＝－1，于是an+1+1=3(an+1)，故數(shù)列{an+1}是公比為3的等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1+1=2，則an+1=2·3n-1，即an=2·3n-1-1。 五、 恒等變形法 將給出式恒等變形，使之轉(zhuǎn)化為與an或Sn有關(guān)的等差和等比數(shù)列，此法 有一定的技巧性。 例7：在數(shù)列{an}中，已知a1=1，an=(n≥2)，求通項(xiàng)an. 解析：當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=,則2 SnSn-1 =- Sn + Sn-1 ,兩邊同除以SnSn-1 得 -=2 (n≥2)，又a1=S1=1，則=1，∴數(shù)列{}是以=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴=1+(n-1)·2=2n-1，∴Sn=，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=-= - ，而n=1時(shí)，a1=S1=1不適合上式，∴an=。 例8：已知通項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)Sm滿足Sn=(an+)，求通項(xiàng)an。 解析：由Sn=(an+)，當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1=(a1+)a1=1,當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1，則2Sn=Sn-Sn-1+,∴Sn+Sn-1=，即Sn2-Sn-12=1，∴數(shù)列{Sn2}是公差為1的等差數(shù)列，且首項(xiàng)S12=a12=1，∴Sn2=1+(n-1)，又Sn>0，∴Sn=，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=,又當(dāng)n=1時(shí)也適合上式，故an=n-. 六、 猜證法 根據(jù)給出的公式，先求出數(shù)列的前n項(xiàng)，從中觀察出規(guī)律，猜出通項(xiàng)公式， 再用數(shù)學(xué)歸納法證明。 例9：已知數(shù)列{an}滿足a1=1，Sn=，求通項(xiàng)an. 解析：由a1=1，當(dāng)n=2時(shí)，a1+a2=a2a2=2a1=2，當(dāng)n=3時(shí)，a1+a2+a3=2a3 a3=3，同理可得a4=4，……猜想得an=n，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。 1°當(dāng)n=1，2，3時(shí)，已驗(yàn)算成立，2°假設(shè)n=k時(shí)，猜想成立，即ak=k，當(dāng)n=k+1時(shí)，Sk+1=ak+1，又Sk=ak=，二式相減，得aK+1=ak+1-ak+1=ak+1=k+1，即n=k+1時(shí)猜想也成立，由1°2°知對(duì)于一切自然數(shù)n都有an=n.