陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第二章 應(yīng)用舉例2典型例題素材 北師大版必修5（通用）

應(yīng)用舉例 利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識，例析如下： 一、測量問題 例1、如圖1所示，為了測河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對岸標(biāo)記物C，測得∠CAB=30°， ∠CBA=75°，AB=120cm，求河的寬度． 分析：求河的寬度，就是求△ABC在AB邊上的高，而在河的一邊，已測出AB長、∠CAB、∠CBA，這個(gè)三角形可確定． 解析：由正弦定理得，∴AC=AB=120m， 又∵，解得CD=60m． 點(diǎn)評：雖然此題計(jì)算簡單，但是意義重大，屬于“不過河求河寬問題”． 二、遇險(xiǎn)問題 例2、某艦艇測得燈塔在它的東15°北的方向，此艦艇以30海里/小時(shí)的速度向正東前進(jìn)，30分鐘后又測得燈塔在它的東30°北．若此燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，問此艦艇繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險(xiǎn)？ 解析：如圖艦艇在A點(diǎn)處觀測到燈塔S在東15°北的方向上；艦艇航行半小時(shí)后到達(dá)B點(diǎn)，測得S在東30°北的方向上． 在△ABC中，可知AB=30×0．5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，過點(diǎn)S作SC⊥直線AB，垂足為C，則SC=15sin30°=7．5． 這表明航線離燈塔的距離為7．5海里，而燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險(xiǎn)． 點(diǎn)評：有關(guān)斜三角形的實(shí)際問題，其解題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語；（2）畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；（3）分析與所研究問題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，通過合理運(yùn)用正弦定理和余弦定理求解． 三、追擊問題 例3、如圖3，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，應(yīng)沿什么方向，用多少h能盡快追上乙船？ 解析：設(shè)用t h，甲船能追上乙船，且在C處相遇． 在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，設(shè)∠ABC=α，∠BAC=β． ∴α=180°－45°－15°=120°．根據(jù)余弦定理， ，，（4t－3）（32t+9）=0， 解得t=，t=（舍）∴AC=28×=21 n mile，BC=20×=15 n mile． 根據(jù)正弦定理，得，又∵α=120°，∴β為銳角，β=arcsin，又＜＜，∴arcsin＜，∴甲船沿南偏東－arcsin的方向用h可以追上乙船． 點(diǎn)評：航海問題常涉及到解三角形的知識，本題中的 ∠ABC、AB邊已知，另兩邊未知，但他們都是航行的距離，由于兩船的航行速度已知，所以，這兩邊均與時(shí)間t有關(guān)．這樣根據(jù)余弦定理，可列出關(guān)于t的一元二次方程，解出t的值． 四、最值問題 例4、某工廠生產(chǎn)主要產(chǎn)品后，留下大量中心角為，半徑為a的扇形邊角料，現(xiàn)要廢物利用，從中剪裁下巨型毛坯，要求矩形面積盡可能大，請問如何裁剪？ 分析：從實(shí)際出發(fā)，盡可能使面積最大，有兩種裁剪方法．一種是使矩形的一邊落在扇形的半徑上，另一種是使矩形的兩頂點(diǎn)分別在扇形的兩條半徑上，分別計(jì)算出這兩種情況下的最大值，再比較結(jié)果的出最佳方案． 解：方案一， 如圖1，矩形有兩個(gè)頂點(diǎn)在半徑OA上，設(shè)∠AOP =，則PM = a·sin， ∵扇形中心角為，∴∠PQO =，由正弦定理，得：=， 即PQ =·a·sin（－）， ∴矩形的MPQR的面積為：S=PM·PQ =·a·sin·sin（－） =·a[cos（－）－cos]≤·a·（1－） =a， 當(dāng)=時(shí)，cos（－） = 1，S取得最大值a． 方案二，如圖2，矩形有兩個(gè)頂點(diǎn)分別在扇形的兩條半徑OA、OB上， 設(shè)∠AOM =，∠MRA =×=，∠MRO =，由正弦定理，得：=， 即RM = 2a·sin， 又=，∴OR = 2a·sin（－），∴矩形的MPQR的面積為： S= MR·PQ = 4a·sin·sin（－） = 2a·[cos（－）－cos] ≤2a·（1－） = （2－）a． 即在此情況下，∠AOM ==時(shí)，可求出M點(diǎn)，然后作出MPQR面積為最大． 由于S－S=a－（2－）a=（－12）＞0，所以第一種方案能使裁出的矩形面積最大，即∠AOP ==，使P取在AB弧中點(diǎn)，分別向扇形的一條半徑作垂線及平行線得到矩形MPQR，即為最大矩形．