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1、1-1基 礎 鞏 固
一、選擇題
1. 下列各組對象不能構成集合的是( )
A．著名的中國數(shù)學家
B．北京四中2020級新生
C．奇數(shù)的全體
D．2020年倫敦奧運會所設的所有比賽項目
[答案] A
[解析] 根據(jù)集合元素的確定性來判斷是否能構成集合．因為B、C、D中所給的對象都是確定的，從而可以構成集合；而A中所給對象不確定，原因是沒有具體的標準來衡量一位數(shù)學家怎樣才算作著名，故不能構成集合．
2．集合{x∈N|x<5}的另一種表示方法是( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
2、[答案] A
[解析] ∵x<5且x∈N，∴x＝0,1,2,3,4，特別注意0∈N.
3．(2020·石家莊高一檢測)用列舉法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}為( )
A．{1,1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
[答案] B
[解析] ∵x2－2x＋1＝0，∴x＝1.故集合為單元素集合．故選B.
4．由x2，x組成一個集合A，A中含有2個元素，則實數(shù)x的取值可以是( )
A．0 B．－1
C．1 D．－1或1
[答案] B
[解析] 驗證法：若x＝0時，x2＝0，不合題意；
若x＝1時，x2＝1，不合題意；
若x＝－1
3、時，x2＝1，符合題意，故選B.
5．若集合{a，b，c}中的元素是△ABC的三邊長，則△ABC一定不是( )
A．銳角三角形 B．等腰三角形
C．鈍角三角形 D．直角三角形
[答案] B
[解析] 根據(jù)集合中元素的互異性，可知三角形的三邊長不相等，故選B.
6．設P、Q為兩個非空實數(shù)集合，定義集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，則P＋Q中元素的個數(shù)為( )
A．9 B．8 C．7 D．6
[答案] B
[解析] 列舉法：P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，共8個元素．
二、填空題
7．集合{x∈Z
4、|(x－1)2(x＋1)＝0}用列舉法可以表示為________．
[答案] {－1,1}
[解析] ∵方程(x－1)2(x＋1)＝0的解有三個：－1,1,1，而作為解集，集合中元素只能是－1,1.
8．設－5∈{x|x2－ax－5＝0}，則集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和為________．
[答案] 2
[解析] ∵－5是方程x2－ax－5＝0的根，
∴25＋5a－5＝0，
∴a＝－4，
∴x2－4x－a＝x2－4x＋4＝0，
∴x＝2，∴該集合中所有元素之和為2.
三、解答題
9．已知集合A含有兩個元素a－3和2a－1，若－3∈A，試求實數(shù)a的值．
[
5、分析] 分別令－3＝a－3或－3＝2a－1→解方程求a→檢驗得a的值．
[解析] ∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，
若－3＝a－3，則a＝0.
此時集合A含有兩個元素－3，－1，符合題意．
若－3＝2a－1，則a＝－1，
此時集合A含有兩個元素－4，－3，符合題意，
綜上所述，滿足題意的實數(shù)a的值為0或－1.
能 力 提 升
一、選擇題
1．(2020·溫州高一檢測)由a2,2－a,4組成一個集合A，A中含有3個元素，則實數(shù)a的取值可以是( )
A．1 B．－2 C．6 D．2
[答案] C
[解析] 解法一：驗證法：若a＝1時，a2＝1,2－a＝1
6、，不滿足集合中元素的互異性；若a＝－2或2時，a2＝4，也不滿足集合中元素的互異性，故a＝6，選C.
解法二：直接法：由集合中元素的互異性可知，a2≠4，
∴a≠±2.
又a2≠2－a，∴a2＋a－2≠0，
∴a≠1且a≠－2，故選C.
2．(2020·開平高一檢測)定義集合A、B的一種運算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，則A*B中的所有元素數(shù)字之和為( )
A．9 B．14 C．18 D．21
[答案] B
[解析] ∵x1∈A，x2∈B，A*B＝{x|x＝x1＋x2}，則x1＋x2的和如下表所示：
7、
∴A*B＝{2,3,4,5}，故所有元素數(shù)字之和為2＋3＋4＋5＝14.
二、填空題
3．(2020·濟南高一檢測)用列舉法表示集合A＝{x|x∈Z，∈N}＝________.
[答案] {－2,2,4,5}
[解析] ∵x∈Z，∴x＝2，＝2∈N滿足條件．
x＝4，＝4∈N也滿足條件，
同理：x＝5，x＝－2都滿足條件，∴A＝{－2,2,4,5}．
4．能被5整除的正整數(shù)集合用描述法表示為________．
[答案] {x|x＝5n，n∈N＋}
[解析] 能被5整除的正整數(shù)是5的倍數(shù)．因而寫成：x＝5n，其中n∈N＋.
三、解答題
5．若集合A中有且僅有三個數(shù)1、0、
8、a，若a2∈A，求a的值．
[解析] 若a2＝0，則a＝0，不符合集合中元素的互異性，∴a2≠0.
若a2＝1，則a＝±1，
∵由元素的互異性知a≠1，
∴a＝－1時適合．
若a2＝a，則a＝0或1，由上面討論知均不符合集合中元素互異性的要求．
綜上可知a＝－1.
6．下列三個集合：
①{x|y＝x2＋1}；
②{y|y＝x2＋1}；
③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它們是不是相同的集合？
(2)它們的各自含義是什么？
[解析] (1)它們是不相同的集合．
(2)集合①是函數(shù)y＝x2＋1的自變量x所允許的值組成的集合．因為x可以取任意實數(shù)，所以{x|y＝x2
9、＋1}＝R.
集合②是函數(shù)y＝x2＋1的所有函數(shù)值y組成的集合．
由二次函數(shù)圖像知y≥1，
所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合③是函數(shù)y＝x2＋1圖像上所有點的坐標組成的集合．
7．設集合A的元素為實數(shù)，且滿足①1?A，②若a∈A，則∈A，
(1)若2∈A，試求集合A；
(2)若a∈A，試求集合A；
(3)集合A能否為單元素集合？若能，求出該集合；若不能，請說明理由．
[解析] (1)由題意知：＝－1∈A，＝∈A，而＝2，∴A＝.
(2)由題意知：∈A，＝∈A，而＝a.∴A＝{a，，}．
(3)假設A為單元素集合，則必有＝a，
∴a為a2－a＋1＝0的根．
又∵a2－a＋1＝0無實解，
∴這樣的a不存在，即A不可能是單元素集合．
高中數(shù)學 1-1集合的含義與表示同步檢測 北師大版必修1
