福建省漳浦縣道周中學(xué)2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 三角函數(shù)與向量模塊教案 文

福建省漳浦縣道周中學(xué)2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 三角函數(shù)與向量模塊教案 文 三角 一、重點(diǎn)突破 1、關(guān)于任意角的概念 角的概念推廣后，任意角包括、正角、負(fù)角、零角；象限角、軸上角、區(qū)間角及終邊相同的角 2、角的概念推廣后,注意“0°到90°的角”、“第一象限角”、“鈍角”和“小于90°的角”這四個(gè)概念的區(qū)別 3、兩個(gè)實(shí)用公式：弧度公式：l=|α|r，扇形面積公式：S=|α|r2 4、三角函數(shù)曲線即三角函數(shù)的圖像，與三角函數(shù)線是不同的概念 5、利用任意角的三角函數(shù)及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式可以解決證明、化簡(jiǎn)、求值問題，而求值有“給角求值”、“給值求值”、“給值求角”三類。 6、應(yīng)用兩角和與差的三角函數(shù)公式應(yīng)注意： ⑴當(dāng)α，β中有一個(gè)角為的整數(shù)倍時(shí)，利用誘導(dǎo)公式較為簡(jiǎn)便。 ⑵善于利用角的變形,如β=(α+β)－α,2α=(α+β)+(α－β)，+2α=2(α+)等 ⑶倍角公式的變形——降冪公式：sin2α=，cos2α=，sinαcosα=sin2α應(yīng)用十分廣泛. 7、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，重點(diǎn)掌握：， ⑴周期性的概念；⑵y=Asin(ωx+)的圖像是由y=sinx的圖像經(jīng)過怎樣的變換得到 ⑶五點(diǎn)法作圖. 8、三角求值問題的解題思路： ⑴三種基本變換：角度變換、名稱變換、運(yùn)算結(jié)構(gòu)的變換 ⑵給值求角問題的基本思路 ①先求出該角的一個(gè)三角函數(shù)值；②再根據(jù)角的范圍與函數(shù)值定角，要注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響。 9、注意活用數(shù)學(xué)思想方法：方程思想、數(shù)形結(jié)合，整體思想、向量方法 10.正弦定理及余弦定理 1、（11-3福質(zhì)）已知函數(shù), ． （Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最大值和最小值； （Ⅱ）如圖,函數(shù)f(x)在[－1,1]上的圖象與x軸的交點(diǎn)從左到右 分別為M、N，圖象的最高點(diǎn)為P,求與的夾角的余弦． 解：(Ⅰ)∵ =……2分 ∵ ∴，∴函數(shù)的最大值和最小值分別為1，—1．…………4分 (Ⅱ)解法1：令得, ∵ ∴或 ∴ …………6分 由，且得 ∴ …………8分 ∴ …………10分 ∴．…………12分 解法2：過點(diǎn)P作軸于,則由三角函數(shù)的性質(zhì)知,…………6分 ,…………8分 由余弦定理得…………10分 =．…………12分 解法3：過點(diǎn)P作軸于,則由三角函數(shù)的性質(zhì)知,…………6分 …………8分 在中，…………10分 ∵PA平分 ∴．………12分 2、（11-3龍質(zhì)）已知函數(shù) （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域． 【命題意圖】本小題考查三角函數(shù)性質(zhì)及簡(jiǎn)單的三角變換，要求學(xué)生能正確運(yùn)用三角函數(shù)的概念和公式對(duì)已知的三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值； 【解析】 [ ………… 3分 （Ⅰ）………………………………………………………… 4分 令…………………………………………… 5分 …………………………………………………………… 6分 ∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為…………………… 7分 （Ⅱ）∵，∴………………………………… 8分 ∴，………………………………………………… 9分 ∴………………………………………………… 10分 ……… 11分 ∴函數(shù)的值域?yàn)? ………… 12分 3、（11-3莆質(zhì)） 4、（11-3泉質(zhì)） 5、（11-5龍質(zhì)） 6、（11-5南質(zhì)）已知向量，，函數(shù). （Ⅰ）求及的值；K*s5*u （Ⅱ）在銳角△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊， 且，求△ABC的周長(zhǎng). 解：（Ⅰ） …… 2分 ……4分 ……6分 （Ⅱ）由得， ……9分 由余弦定理得， ∴的周長(zhǎng) ……12分 7、（11-5寧德質(zhì)）已知函數(shù)． （Ⅰ）求的最大值及其取得最大值時(shí)的集合； （Ⅱ）在中，分別是角的對(duì)邊，已知，求的面積． 本題主要考查兩角和與差的正、余弦公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、正余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．滿分12分. 解法一：（Ⅰ） ， …………………4分 ∴，. …………………6分 （Ⅱ）， …………………7分 由正弦定理，得，， ∴…………………10分 ∴. …………………12分 解法二：（Ⅰ）同解法一； （Ⅱ）， …………………7分 由余弦定理，得，∴…………………10分 ∴. …………………12分 8、（11-5泉質(zhì)）已知函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，取得最小值． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）在中，若，，求邊的最小值． 解：（Ⅰ）依題意得，,函數(shù)的周期為， ，∴．………………………………………………3分 又，∴， ，∴，………………………………………………5分 ∴．………………………………………………6分 （Ⅱ），， ∴，或．………………………………………………8分 又，即， ∴，．………………………………………………9分 ， ∴的最小值為．………………………………………………12分 9、（11-5廈門質(zhì)） 本題考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、圖像的平移伸縮等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查方程與函數(shù)、數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法．滿分12分 解：（Ⅰ）由函數(shù)圖象及函數(shù)模型知； -------------------------1分 由，得-----------------------------------------------------3分 由最高點(diǎn)得，，，又，-----5分 ∴所求函數(shù)解析式為 ------------------------------------6分 （Ⅱ）解法一：將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到-------------------- ------------------------------8分 ∵，∴， ------------------------------------------------9分 當(dāng)，即時(shí)，有最大值2； 當(dāng)，即時(shí)，有最小值1—-------------------------------------------12分 解法二：將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到 -----------------------------------------------------------8分 令，∵函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，， 由，得，， 設(shè)，， 則， ∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增-------------------------------------------------10分 同理可得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減-------------------------------11分 又∵，，， ∴函數(shù)在上的最大值為2，最小值為1------------------------------12分 10、（11-5漳州質(zhì)）已知和是函數(shù)的相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)． （Ⅰ）求的解析式； （II）在△ABC中，若，求函數(shù)的值域． 解：（Ⅰ）依題意得，函數(shù)的周期， ，∴， ……………………………………………2分 又，∴， ，∴， ………………………………………………5分 ∴． ………………………………………6分 （II）∵ 由正弦定理和余弦定理得，，即，……8分 ∴， ∴， …………………………………………………………10分 ∴，故的值域?yàn)椋? ………12分 11、（11福建終極壓軸） 解： 12、（11石光模擬二）已知 ，(x∈R). (Ⅰ)求函數(shù)的最小值和最小正周期；k*s*5u (Ⅱ)設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且c＝，f (C)=0，若向量m＝(1,sinA)與向量n＝(2,sinB)共線，求a，b的值。 解：(Ⅰ) f (x)=sin2x--=sin(2x-)-1 …………………………………3分 則f (x)的最小值是-2，最小正周期是T==π. (Ⅱ) f (C)=sin(2C-)-1=0，則sin(2C-)=1， ∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π，∴-＜2C-＜π， ∴2C-=，C =， ……………………………………………………8分 ∵ 向量m=(1,sinA)與向量n=(2,sinB)共線 ∴=，………………………………10分 由正弦定理得，= ① 由余弦定理得，c2 =a2 +b2 -2abcos，即3=a2 +b2 –ab ② 由①②解得a=1，b=2. ……………………………………12分 13、（11石光模擬三）在銳角中，，邊是方程的兩個(gè)實(shí)根．求：⑴求角的值；⑵三角形面積及邊的長(zhǎng)． 解：（1）由已知. ∴ ……3分 又， ∴.在銳角中， ……7分 （2）由韋達(dá)定理，， ∴ ……10分 由余弦定理： ∴……12分 y x A O Q P 14、（11石光模擬一）如圖，設(shè)A是單位圓和x軸正半軸的交點(diǎn)，P，Q是單位圓上兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，. （Ⅰ）若點(diǎn)Q的坐標(biāo)是，求的值； （Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求的值域． 解（Ⅰ）由已知可得. （2分） 所以. （6分） （Ⅱ）.（9分） 因?yàn)?，則，所以. 故的值域是. …………………………………（12分） 15、（11泉一模擬二） 已知向量， （1）求的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊為，求的值。 的單調(diào)遞增區(qū)間為 由正弦定理得： 16、（11四地六校模擬）已知向量,函數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期; （Ⅱ）已知、、分別為內(nèi)角、、的對(duì)邊, 其中為銳角,,且,求和的面積． 解: （Ⅰ） …………………………………………2分 ……………4分 因?yàn)?所以………………………………6分 （Ⅱ） 因?yàn)椋裕?……………8分 則，所以，即則 …10分 ……………………………12分 17、（11廈門雙十模擬）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是 （I）求角C的大?。? （II）若求，. 解：（I）由已知,--3分 ----------------------------------------------------6分 （II）， 由正弦定理得-------------------------------8分 -----------------------------10分 ，-------------------------------12分 18、（11永一模擬）已知函數(shù)的最小正周期為 （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)最小值； （2）在△ABC中，若且，c=2,,試求△ABC面積的最大值，并判斷當(dāng)面積取最大值時(shí)△ABC的形狀。 解： 依題意函數(shù)的最小正周期為，即，解得，所以 （Ⅰ） ……6分 （Ⅱ）由及，得 而, 所以，解得 ………8分 在中， 19、（11師大附中模擬）設(shè)函數(shù)的最大值為,最小正周期為. (Ⅰ)求、； (Ⅱ)若有10個(gè)互不相等的正數(shù)滿足 求的值. 解： …………4分 (Ⅰ)M=2 ， T= …………6分 (Ⅱ) 即 …………9分 又 …………11分 …………12分 20、（11福三中模擬）已知向量，若 (1) 求函數(shù)的最小正周期； (2) 已知的三內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且 （A為銳角），，求A、的值． 解 ：(1) 　 ∴ 的最小正周期為. （2）∵ ∵ ．由正弦定理得①　 ∵ ，由余弦定理，得， ②　 解①②組成的方程組，得． 21、（11福一中模擬）設(shè)函數(shù)其中. （I）設(shè),求的單調(diào)增區(qū)間； （II）若函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為，求的值. 解（I）時(shí),，………2分 的單調(diào)增區(qū)間是；……………5分 （II）, 函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為， 取最值，………8分 ………………10分 . ………………12分 22、（11龍巖市聯(lián)考）在中，，，分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，，若向量 ，，且//。 （I）求，的值； （II）求角A的大小及的面積。 23、（11龍一中模擬） 24、（11泉五中模擬）在銳角中,分別是角的對(duì)邊,,. (1)求的值; (2)若,求的面積. 解：(1),又為銳角，， ，又為銳角， 。…6分 （2）由正弦定理得，. 由(1)知,, . . ……12分 25、（11-5廈門質(zhì)）下圖是某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的一段圖象，它的函數(shù)模型是，其中 （I）根據(jù)圖象求函數(shù)的解析式； （II）將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù) 的圖象， 求函數(shù)在上的最大值和最小值。 本題考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、圖像的平移伸縮等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力， 考查方程與函數(shù)、數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法．滿分12分 解：（Ⅰ）由函數(shù)圖象及函數(shù)模型知；-------------------1分 由，得-------------------------------------3分 由最高點(diǎn)得，，，又，--5分 ∴所求函數(shù)解析式為 --------------------------------6分 （Ⅱ）解法一：將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變， 得到------------------------------------------------------8分 ∵，∴， ---------------------------9分 當(dāng)，即時(shí)，有最大值2；當(dāng)，即時(shí)，有最小值1----------------12分 解法二：將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到 --------------------------------------------------------8分 令，∵函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，， 由，得，， 設(shè)，，則，學(xué) ∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增------------------------------------10分 同理可得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減-----------------------11分 又∵，，， ∴函數(shù)在上的最大值為2，最小值為1----------------------------12分 26、（11廈門外國(guó)語學(xué)校模擬）在△ABC中，已知三邊，，成等比數(shù)列. （1）求角的最大值； （2）若，求的值。 解：⑴∵，，成等比數(shù)列，∴b2=ac， 根據(jù)余弦定理cosB=≥， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)=， 因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在[0，π]上是減函數(shù)，所以0<B≤. 角的最大值是； ⑵ 由b2=ac，及正弦定理得sin2B=sinAsinC ∵ B=，∴ sinAsin()=， 展開整理得2sin2A+2sinAcosA=， 即1-cos2A+sin2A=1+sin(2A-)= ∴sin（2A-）=。 27、（12寧德質(zhì)） 28、（12福八質(zhì)）已知角A、B、C是的內(nèi)角，分別是其對(duì)邊長(zhǎng)，向量，，。 （1）求角A的大小； （2）若求的長(zhǎng)。 解:（1） 0 　　　　　……………………………………３分 　　………………………………………………５分 ∵…………………………７分 ．　　　……………………………………………………８分 （2）在中，， ， ………………………………10分 由正弦定理知：…………………………………………11分 =．…………………………12分 29、（12福三質(zhì)） 已知在中，，，分別為角A，B，C所對(duì)的邊，向量， （1）求角B的大??； （2）若角B為銳角，，求實(shí)數(shù)b的值。 30、（12莆一質(zhì)）已知向量，，其中，且，又函數(shù)的圖象與直線相切，相鄰切點(diǎn)之間的距離為. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)設(shè)是第一象限角,且,求的值。 所以, （12分）