數(shù)學(xué)第4章 圖形的初步認(rèn)識(shí)與三角形 第20講 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用

第四章圖形的初步認(rèn)識(shí)與三角形第四章圖形的初步認(rèn)識(shí)與三角形 第第20講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理過(guò)關(guān)過(guò)關(guān)考點(diǎn)考點(diǎn)1 1 銳角三角函數(shù)的定義銳角三角函數(shù)的定義在RtABC中，C90，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.考點(diǎn)考點(diǎn)2 2 特殊角的三角函數(shù)值特殊角的三角函數(shù)值考點(diǎn)考點(diǎn)3 解直角三角形解直角三角形6 6年年3 3考考典型例題典型例題運(yùn)用運(yùn)用類型類型1 1 銳角三角函數(shù)的定義銳角三角函數(shù)的定義【例1】2017湖州中考如圖，已知在RtABC中，C90，AB5，BC3，則cosB的值是()在RtABC中，BC3，AB5，cosBA技法點(diǎn)撥 在三角形中求三角函數(shù)值時(shí)，往往需要通過(guò)作三角形的高，構(gòu)造一個(gè)包含所求角的直角三角形，然后利用三角函數(shù)的定義解決在網(wǎng)格圖中求銳角的三角函數(shù)值時(shí)，要充分利用格點(diǎn)之間連線的特殊位置構(gòu)造直角三角形，借助勾股定理解答類型類型2 2 解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的應(yīng)用【例2】2017嘉興中考如圖是小強(qiáng)洗漱時(shí)的側(cè)面示意圖，洗漱臺(tái)(矩形ABCD)靠墻擺放，高AD80cm，寬AB48cm，小強(qiáng)身高166cm，下半身FG100cm，洗漱時(shí)下半身與地面成80(FGK80)，身體前傾成125(EFG125)，腳與洗漱臺(tái)距離GC15cm(點(diǎn)D，C，G，K在同一直線上)(1)此時(shí)小強(qiáng)頭部E點(diǎn)與地面DK相距多少？(2)小強(qiáng)希望他的頭部E恰好在洗漱盆AB的中點(diǎn)O的正上方，他應(yīng)向前或后退多少？(sin800.98，cos800.17， 1.41，結(jié)果精確到0.1)思路分析：(1)過(guò)點(diǎn)F作FNDK于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)E作EMFN于點(diǎn)M.求出MF，F(xiàn)N的值即可解決問(wèn)題；(2)過(guò)點(diǎn)E作EPAB于點(diǎn)P，延長(zhǎng)OB交MN于點(diǎn)H，求出OH，PH的值即可判斷自主解答：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)F作FNDK于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)E作EMFN于點(diǎn)M.EFFG166，F(xiàn)G100，EF66.FGK80，F(xiàn)N100sin8098.EFG125，EFM1801251045.FM66cos4533 46.53.MNFNFM144.5.此時(shí)小強(qiáng)頭部E點(diǎn)與地面DK相距約為144.5cm.(2)如圖，過(guò)點(diǎn)E作EPAB于點(diǎn)P，延長(zhǎng)OB交MN于點(diǎn)H.AB48，O為AB中點(diǎn)，AOBO24.EM66sin4546.53，PH46.53.GN100cos8017，CG15，OH24151756，OPOHPH5646.539.479.5.他應(yīng)向前9.5 cm.技法點(diǎn)撥技法點(diǎn)撥 1.將實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系，當(dāng)有些圖形不是直角三角形時(shí)，可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把它們分割成直角三角形尋求基礎(chǔ)直角三角形，并解這個(gè)三角形或設(shè)未知數(shù)進(jìn)行求解從要求的量所在的直角三角形分析，解之，若條件不足，轉(zhuǎn)而先去解所缺條件所在的直角三角形，然后返回；若條件仍不足，再去解第二次所缺條件所在的直角三角形，直至與全部已知條件掛上鉤，然后層層返回2利用三角函數(shù)進(jìn)行測(cè)量的問(wèn)題中，有如圖所示的兩種常見(jiàn)基本圖形：如圖1，要測(cè)量一個(gè)垂直于地面的物體高度h，分別在它的兩側(cè)測(cè)得物體頂端的仰角為、，如果這兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)與被測(cè)物體的底端在同一條直線上，并且兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)相距l(xiāng)，則h如圖2，如果這兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)在被測(cè)物體的同側(cè)，則h變式運(yùn)用 一個(gè)公共房門(mén)前的臺(tái)階高出地面1.2米，臺(tái)階拆除后，換成供輪椅行走的斜坡，數(shù)據(jù)如圖所示，則下列關(guān)系或說(shuō)法正確的是()A斜坡AB的坡度是10B斜坡AB的坡度是tan10CAC1.2tan10米DABB斜坡AB的坡角是10，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；坡度坡比坡角的正切，選項(xiàng)B正確；六年真題六年真題全練全練命題點(diǎn)命題點(diǎn)1 1 方位角方位角12017，河北，10,3分鏈接第18講六年真題全練第1題22015河北，9,3分已知：島P位于島Q的正西方，由島P，Q分別測(cè)得船R位于南偏東30和南偏西45方向上，符合條件的示意圖是()D根據(jù)方向標(biāo)示可知，兩條虛線都表示南北方向，它們與PR，QR的夾角就是方位角所表示的角度結(jié)合題意和圖形，可以判斷符合條件的示意圖是D.猜押預(yù)測(cè)猜押預(yù)測(cè) 如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東60方向，距離燈塔86n mile的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45方向上的B處，此時(shí)，B處與燈塔P的距離約為 n mile.(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)： 1.7， 1.4)102如圖，過(guò)點(diǎn)P作PDAB，垂足為D.一艘海輪位于燈塔P的北偏東60方向，距離燈塔86n mile的A處，MPAPAD60.PDAPsinPAD32012河北，25,10分如圖，A(5,0)，B(3,0)點(diǎn)C在y軸的正半軸上，CBO45，CDAB，CDA90.點(diǎn)P從點(diǎn)Q(4,0)出發(fā)，沿x軸向左以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒命題點(diǎn)命題點(diǎn)2 2 銳角三角函數(shù)及應(yīng)用銳角三角函數(shù)及應(yīng)用(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)當(dāng)BCP15時(shí)，求t的值；(3)以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的P隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化，當(dāng)P與四邊形ABCD的邊(或邊所在的直線)相切時(shí)，求t的值解：(1)BCOCBO45，OCOB3.又點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3)(2)分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，如圖1.由BCP15，得PCO30. 圖1 圖2當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，如圖2.由BCP15，得PCO60.故POOCtan603 .此時(shí)t43 .t的值為4 或43 .(3)由題意知，若P與四邊形ABCD的邊相切，有以下三種情況：當(dāng)P與BC相切于點(diǎn)C時(shí)，有BCP90，點(diǎn)P在x軸的正半軸上，從而OCP45，得到OP3.此時(shí)t1.當(dāng)P與CD相切于點(diǎn)C時(shí)，有PCCD，即點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，此時(shí)t4.當(dāng)P與AD相切時(shí)，由題意，得DAO90，點(diǎn)A為切點(diǎn)，如圖3， 圖3則PC2PA2(9t)2，PO2(t4)2.于是(9t)2(t4)232.解得t5.6.t的值為1或4或5.6.