《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》期末復(fù)習(xí)

期末復(fù)習(xí) 學(xué)了一個(gè)學(xué)期的點(diǎn)集拓?fù)?，大家?duì)它應(yīng)當(dāng)有了更多的了解，更深刻的認(rèn)識(shí)．大家掩卷回憶一下，點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的主要內(nèi)容有哪些？沿著什么思路研究？研究手法是什么？ 下面把這幾個(gè)方面的內(nèi)容理一下，僅供參考． 一、點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的主要內(nèi)容： 1．一般拓?fù)淇臻g： （1）任何點(diǎn)集只要定義了拓?fù)洌统闪送負(fù)淇臻g．任何拓?fù)淇臻g中均有開(kāi)集、基、閉集、閉包．任何點(diǎn)集均可能有凝聚點(diǎn)，任何點(diǎn)均有鄰域．指定了順序的元素就成了序列．（這些名詞的定義是什么？相互關(guān)系是什么？如何判定？） （2）常見(jiàn)的拓?fù)淇臻g有：度量空間、平庸空間、離散空間、有限補(bǔ)空間、可數(shù)補(bǔ)空間等．任何集合均可通過(guò)指定開(kāi)集而構(gòu)成上述空間．因此一個(gè)集合與不同的拓?fù)洌ㄩ_(kāi)集族）配對(duì)，可以構(gòu)成不同的拓?fù)淇臻g．（實(shí)數(shù)集合可能成為上述空間嗎？）（注意：實(shí)數(shù)集合與實(shí)數(shù)空間不同．） （3）一般拓?fù)淇臻g均可以有子空間，任意有限個(gè)拓?fù)淇臻g均可以構(gòu)成乘積空間．任一拓?fù)淇臻g中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系均可以造出商空間．（這些空間的拓?fù)涫窃鯓拥?？或基是怎樣的？? 2．有個(gè)性的拓?fù)淇臻g：與連通性有關(guān)的空間、各可數(shù)性公理空間、各分離性公理空間、與緊致性有關(guān)的空間、完備度量空間． （1）并不是任何空間都可以成為上述空間的．只有符合上述空間定義的空間才可以成為上述空間．（各類空間之間沒(méi)有必然的聯(lián)系） （）及必是上述空間嗎？ （）若有兩個(gè)空間，之間通過(guò)連續(xù)映射聯(lián)系起來(lái)，則原象空間的哪些性質(zhì)可以傳遞到象空間？ （4）上述空間的哪些性質(zhì)可以遺傳給子空間？（或閉遺傳？） （5）上述空間的哪些性質(zhì)可以是有限可積的？ 3．連通性： （1）§4.1的所有定義,定理均要掌握.以應(yīng)對(duì)判斷一個(gè)空間的連通性. （2兩）種分支的性質(zhì). 三)種連通性之間的關(guān)系． ()及卅的連通性. 4可數(shù)性： (1) P.14圖9表5.1 ()各空間的性質(zhì)?(特別，出空間中序列的性質(zhì)及如何構(gòu)造序列？) ()哪些常見(jiàn)空間是出'血的？是可分的？的？ 5分離性： (1)P.171圖表6.1 (2) 各分離性空間的定義及等價(jià)命題. ()常見(jiàn)空間及朝的分離性. ()兀中序列的極限點(diǎn)，爲(wèi)中點(diǎn)集的凝聚點(diǎn)，正規(guī)、完全正則空間與連續(xù)映射的關(guān)系. ()遺傳性、有限可積性、連續(xù)映射的保持性等. 6緊致性： ()90001的圖表. ()各空間的定義及等價(jià)命題. ()緊致性與分離性的關(guān)系. ()緊致、可數(shù)緊致的等價(jià)命題. ()疋中的緊致子集. 6)局部緊致、仿緊致只要求定義與聯(lián)系圖. 二、思路：不斷剖析卅,將対中的性質(zhì)作為公理搬到一般拓?fù)淇臻g中來(lái).考察具備怎樣的性質(zhì)的拓?fù)淇臻g才能具有與卅相應(yīng)的性質(zhì).及研究各拓?fù)淇臻g的性質(zhì)及這些性質(zhì)的遺傳性、有限可積性、連續(xù)映射的保持性、拓?fù)洳蛔冃? 三、研究手法：集合的運(yùn)算與邏輯推理. 四、收獲 收獲：復(fù)習(xí)了這些內(nèi)容后，對(duì)點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)有何了解？ 研究目的：研究各拓?fù)淇臻g的性質(zhì)及這些性質(zhì)的遺傳性、有限可積性、連續(xù)映射的保持性、拓?fù)洳蛔冃? 感受：原來(lái)卅具有性質(zhì). 提高：對(duì)邏輯推理性的證明能力有提高？證明的書(shū)寫(xiě)能力有提高？ 五、幾個(gè)注意點(diǎn): 1. 首先，要熟悉所有的定義、定理的內(nèi)容. 2. 涉及度量空間，常利用球形鄰域. 3. 有限個(gè)開(kāi)集的交是開(kāi)集,任意個(gè)開(kāi)集的并是開(kāi)集.有限個(gè)閉集的并是閉集,任意個(gè)閉集的交是閉集. 4. 一個(gè)集合的任意個(gè)拓?fù)涞慕皇峭負(fù)?即使有限個(gè)拓?fù)涞牟⒁部赡懿皇峭負(fù)? 5. 拓?fù)淇臻g中任意個(gè)緊致閉子集的交還是緊致子集.有限個(gè)緊致子集的并還是緊致子集. 6. 拓?fù)淇臻g與它的子集的連通性各自獨(dú)立. 不是連續(xù)映射所保持的性質(zhì)而是拓?fù)洳蛔兊牡强蛇z傳的有限可積的可 分空間不可遺傳但是連續(xù)映射所保持的有限可積的 空間閉遺傳不可積但是連續(xù)映射所能保持的 緊致空間閉遺傳但是連續(xù)映射所能保持的有限可積的 分離性公理空間不是連續(xù)映射所保持的但是拓?fù)洳蛔兊某?guī)空間是閉遺傳外其余均可遺傳除正規(guī)空間,不可積外其余均有限可積均不可商 .在A中構(gòu)造序列，可利用在處的鄰域基套%*二…，在每個(gè)％中取一點(diǎn)碼,就構(gòu)成序列 若涉及到連續(xù)映射：X-Y,總是將X中的子集映到Y(jié),或?qū)中的子集反射到X. 常對(duì)一個(gè)等式或包含關(guān)系式兩邊同取或/'或閉包，并注意利用的習(xí)題 或的定理或的定理 要對(duì)集族仏肌兀構(gòu)造一個(gè)單調(diào)上升或單調(diào)下降序列可令 陌=叭楓=… 則{小+，他山+分別為單調(diào)上升或單調(diào)下降序列 4注意拓?fù)淇臻g{X*,*},其中X*二XU{g},但*有兩種構(gòu)造法：的習(xí)題與 的例 注意定義中的措辭：是任給還是存在（有一個(gè)）.它的反面是什么？（互為反面）注意反證法.