2019-2020年初中數(shù)學競賽專題復(fù)習 第二篇 平面幾何 第11章 比例與相似試題1 新人教版
2019-2020年初中數(shù)學競賽專題復(fù)習第二篇平面幾何第11章比
例與相似試題1新人教版
li.i.i*在中,角平分線與交于,,,,求、之長度(用、、表示).
解析如圖,易知有,,故,.
11.1.2★已知:等腰梯形中,、分別是腰、的中點,,且交于,解析如圖,不妨設(shè),貝y,,故,MN=-(AD+BC)=1=CE.
2
求證:.
C
11.1.3★在中,,的平分線交于,過分別作、的平行線交、于、,和的延長線交于,求證:.
GEBEBEBDAB1
解析如圖,由,及平分,知——=====-
GFDFAECDAC2
故,因此.
11.1.4★設(shè)為的邊的中點,過作一直線,交、或其延長線于、,又過作,交的延長線于,貝.
解析由平行知.于是由第一式與最后一式,轉(zhuǎn)化為乘法,即可得結(jié)論.
11.1.5★已知是平行四邊形內(nèi)的任意一點,過點作,分別交、于、,又過作,分別交、于、;連結(jié),交于;連結(jié),交于.如果,求證:平行四邊形是菱形.
解析如圖,易知,.
由于,,故OP-AB=GA-BF=AE-DH=OQ-AD,于是,四邊形是菱形.
11.1.6★中,是的角平分線.是的中點,過作直線平行于交、或延長線于和.求證:.解析如圖,易知比靠近,在上,而在延長線上.易知,而,故,同理,也是此值.
評注不用比例線段的方法是:延長一倍至,則,再證和均為等腰三角形.
11.1.7★凸四邊形中,,,平行于交延長線于點,平行于交延長線于點,連結(jié)、,證明:.解析如圖,設(shè)、交于,則由平行線性質(zhì),知,,同理,,故,故.
F
11.1.8★★如圖,在中.,、為的三等分角線,交的平分線于、,連結(jié)并延長交于,求證:.
解析易知關(guān)于對稱.
又設(shè),貝y,故,于是由角平分線之性質(zhì),知蘭=空=AC=也=AP,于是.
BRRQCQBQPQ
11.1.9★★梯形中,(),和交于,過作,交、于、,和交于,過作,交、于、.求證:.
解析空=如=DM=1-BM=1-EM,故,同理,故,同理,兩式相加并整理即得結(jié)BCACDBDBAD
論.
11.1.10★設(shè)、、分別是的三邊的長,且,求它的內(nèi)角、.
解析由條件,得,即,所以.
如圖,延長至,使,于是.因此在與,,且為公共角,所以S,而,故
ZABC=/D+上BAD=2ZD=2ZBAC.
11.1.11*設(shè)凸四邊形,對角線交于,過作直線與平行,交、及延長線于、、.若,,求.
解析延長與延長線交于,則有.
設(shè),則,代人上式,便得.故.
11.1.12^★為等腰三角形底邊上的高,為的平分線,作于,又作與直線交于,求證:.解析如圖,設(shè),,則由角平分線性質(zhì)知,
故.
又取中點,連結(jié),,,故,,故,從而,故.于是.
11.1.13*★足球場四周有四盞很高的燈,在長方形的四角,且一樣高,求某一運動員任何時刻的四個影子長之間的關(guān)系.跳起來呢?
解析設(shè)運動員在矩形球場內(nèi),如圖(a),過作,在上,在上,則
AP2-BP2=AM2—BM2=DN2-CN2=PD2—PC2,或.
D
N
C
又設(shè)燈高為,運動員身高為,點處的燈造成的影子長為',如圖①),貝y,得,同理,故四
個影子的關(guān)系是.
H
A'PA
圖(b)
H
跳起來時,不妨設(shè)腳底離地,此時點處的燈造成的影子長度為'〃,如圖(C),則
于是同理,所以'+=仍舊成立.
11.1.14*★求日高公式.
解析如圖所示,設(shè)太陽高度為,桿'=直立在地上,影子的長度分別為,‘',兩桿距
離為.所謂日高公式就是用、、表示,這里假定大地為平面,且、'‘與在同一平面上.
易知,代入得,故;同理,'.由代入得,由此解得.
11.1.15*★設(shè)梯形ABCD,E、F分別在AB、CD上,且,若,,,,梯形和梯形的周長相等,求.解析如圖,作平行四邊形,在上,貝,.設(shè)與交于.
易知梯形的周長為的周長加上6,梯形的周長為梯形的周長加6,故的周長=梯形的周長,也即周長的一半即.
又,故.GF=CH-DF=45x4=30,
CD6611
11.1.16*★如圖,已知中,、交于,、交于,過作,交于,交于,求證:.
C
解析設(shè)與交于,與直線交于,則.
(PK、pGcdGM
于是MN=KN-KM=KM——-1=KM——=——PGPG=GM.
(GK丿GKBDPG
11.1.17★四邊形為正方形,、在延長線上,,,、分別是、與的交點.求證:為等腰三角形.解析如圖,不妨設(shè)正方形邊長為1,則,,.
作,交于?則c=
DG_AD_丄
DE~AD+EF~v2
于是,即為直角三角形斜邊之中點,于是.
11.1.18*★在中,,,,是內(nèi)一點,、、分別在、、上,且,,.若,求.
解析如圖,延長交于'(同理定義,圖中未畫出),設(shè),貝y,同理,,由于,故,
11.1.19★內(nèi)有一點,的延長線交邊于點',的延長線交邊于點',的延長線交邊于點'.若,求的值(用表示).
解析如圖,設(shè),,,則,而,即,展開得
+yz+zx+xyz
3+2(x+y+z)+xy+yz+zx=1+(x+y+z)+xy
故.
11.1.20★已知的三邊長分別為、、三角形中有一點,過作三邊的平行線,長度均為,試用、來表示.
解析設(shè)延長后與交于'(同理定義'與'),貝y,同理,
一仔士口亦知(111)°(PAPBPC')c
(abc丿|AA'BB'CC'丿
所以.
評注存在的條件是,,,代人得:、、可組成三角形三邊之長.
11.1.21★已知、、分別是銳角三角形的三邊、上的點,且、、相交于點,設(shè),,,,求的大小.解析由熟知結(jié)論,得,因此x(x+6)(z+6)+y(x+6)(z+6)+z(x+6)(y+6)=,即卩=24.
11.1.22★如圖,正方形邊長為1,為延長線上一點,與、分別交于點、,(點是與交點)與交于點,若,求的長.
解析連結(jié),則由,得,于是,,為中點,所以.
11.1.23*★如圖,已知,、分別在、上,則下面任兩條可推出第三條:(1)、、共點;(2);(3).
解析(1),(2)(3):,則,故.(2),(3)(1):,故可設(shè)、延長后交于,、延長后交于,,與重合.
(1),(3)(2):若與不平行,作,在上,在上,則有,得,即,矛盾
11.1.24★中,為的平分線,在、上取,、分別為、的中點,貝y.解析如圖,連結(jié),設(shè)中點為,連結(jié)、,則,所以,且ZGMF=ZGME+ZEMF=上ABE+180?!猌BEC=180。—ZBAC.取上的點,使,則等腰S等腰,且對應(yīng)邊,,故第三邊也平行,即.
11.1.25*★★已知:中,,為上一點,且非中點,,為中點,求證:,平分.
解析如圖,作,與延長線交于,延長交于,則由,有.又,故.由條件,知,于是,,四邊形乃等腰梯形(若四邊形是菱形,則,為中點,與題設(shè)矛盾),又為中點,顯然(比如由全等)有.
C
11.1.26*★★已知、分別為矩形的邊、的中點,延長線上有一點,延長后與交于.求證.平分.
解析如圖,設(shè)與交于,則,過作,交于,則.
又,,故,于是,由于將垂直平分,于是.
11.1.27*★在中,,求證:,、、為的對應(yīng)邊長.
解析如圖,延長至,使,于是,故,.中,,則.又由角平分線性質(zhì),得,代人前式,得即得結(jié)論.
D
評注中,ZA=2ZBoBC2=AC(AC+AB),證明如下:延長至,使,于是
ZD=ZABCoBC2=AC(AC+AD)或.
11.1.28^★已知,、分別是、上任兩點,、延長后交于,、延長后交于,求證:若,則、、共點;若,則.
解析如圖,設(shè),,,延長、分別與交于、,設(shè).由知,同理,即,于是,或.若,則,又做;,由,得、、共點(見題11.1.23).
11.1.29*★正三角形,、是、、的中點,、、分別在、、上,、、共線,、共線,、、共線,求.解析如圖,不妨設(shè)邊長為2,,,,則,,.
由,得,同理,1,于是,,1—x=—-——1=—-——1=—_-,1—z1—2x1—2x
所以,
FP=亠=3-后45-1
PE1一x<5一12
11.1.30^★任給銳角,問在、、上是否各存在一點、、,使,,?
解析這樣的是存在的.作法如下:在上任取一點',作'‘于',分別過作、的垂直線交于點
BD'DC
若'恰在上,貝y,即為滿足條件的三點、、;若,'不在上,設(shè)、‘,所在直線與
交點為(因為是銳角三角形,所以交點必在上),過分別作、的垂線交、于、,則,,連結(jié),易知,得由作法所以,、滿足條件.
11.1.31*★★已知凸四邊形內(nèi)有一點,、、、的平分線分別交、、、于、、、,求證:四邊形為平行四邊形的充要條件是為、的中垂線的交點.解析若為、的中垂線之交點,貝,于是,于是,同理,又同理,故四邊形為平行四邊形
反之,若四邊形為平行四邊形,由于,故由梅氏定理,若、不與平行,它們將與交于同一點這與矛盾,因此,,同理,故在、的中垂線上.
ii.i.32*★★已知梯形中,,分別在、上,求證:若,貝y.又此時若、交于,交于,問三直線、、共點的條件.
解析如圖(a),不妨議、延長后交于,于是有,
圖(a)
于是PA-PC=PB-PD=PE-PF,由此可得,故.
因為四邊形為平行四邊形,過的中點,若、共線,貝由塞瓦定理,有.下面刻畫或的位置如圖(b),設(shè)與交于,,則由,,而,,故,此即.
11.1.33*★如圖,已知中,、、交于,,延長后與的延長線交于,求證:.
FHFMFGHDHK
解析作,與父于,與父于,則由平仃,知,故——====,于是.
EJENGNDJEJ
11.1.34*★★已知,、是角平分線,、在上,且,求證:平分.
解析1設(shè)內(nèi)心為,與父于,與父于,連結(jié),父于.由角平分線及平仃性質(zhì),有,故有
FMFSSIFPAF
ENETIEPEAE
又,故S,于是,于是平分.
解析2由角平分線性質(zhì),知,,于是.又易見,,故,于是,以下同解析1.
評注注意解析1更好些,因為只要求平分.不要求是內(nèi)心,本題結(jié)論也成立.于是本題的逆命題是,由平分得出平分,而不能證明是內(nèi)心.這個逆命題也是正確的,讀詩者不妨一試.
11.1.35*★為內(nèi)一點,、在上,、在上,線段、交于.若,則平分,反之亦然.
解析如圖,作平仃四邊形,、分別在、上.設(shè),.
此時易得,因此喘
(1
1「
a—b’
(1
1]
1
=+b
1
(OD
OAJ
OC
1OC
OB丿
于是.但,故.所以平仃四邊
形是菱形,為之平分線.
Y
反之,可設(shè)所作平仃四邊形為菱形.設(shè)菱形邊長為,則,即得.同理,于是命題得證.
11.1.36*★已知,三邊分別為、、,是角平分線.求之長(用、,表示)
解析如圖,延長至,使,于是、、共圓,又",故==AD2+AD-DE=AD+BD-CD.
設(shè),,則,,故ADjbc_~^上正+心"2
(b+c)2(b+c)2
=bc(b+c+a)(b+c-a).
b+c
11.1.37*★在中,、三等分,且2,3,6,求的長.解析如圖,設(shè),,則由角平分線性質(zhì)知,.
由于,即,同理,
消去,得.
11.1.38*★★已知平行四邊形,點是點在上的垂足,點在上”,點在上,點是與的交點,又延長后與的延長線交于點,求證:.
解析如圖,作.對與來說,,而,如果能證明兩三角形(順向)相似,那么第三組對應(yīng)邊與就垂直了,于是只需證明或.事實上設(shè)、延長后交于點,且設(shè),則易知,于是
=cot0=cot0=cot0,又,故,于是,代人上式,即得.
IKIJADFB
§11.2相似三角形
11.2.1★已知,是中點,、在的同側(cè),且,,證明:.
解析如圖,易知ZDBE=ZDBC-ZEBC=ZA+ZADB-ZEBC=ZA.又s,故,于是s,故.
11.2.2★已知-貝『,
,從而此
解析如圖,作與使,則由條件',且,故s,即
評注這個結(jié)果用途極廣.
11.2.3★線段分為兩個相似的三角形,相似系數(shù)等于,求的各內(nèi)角.解析如圖,不妨設(shè)s,比較“大”.
由于>及,故只能有,于是.
不可能(否則今),故,,,,因此三內(nèi)角為:、、
11.2.4★★設(shè)中,在在上,且,求證:s.
解析過作,是是一點.于是,代入條件并整理,即得又,于是s,于是,故s.