第九章第3講二項(xiàng)式定理

第3講二項(xiàng)式定理 課本溫故追根求源— 教材回顧▼夯實(shí)基礎(chǔ)，[學(xué)生用書(shū)P185]) 知識(shí)梳理 1. 二項(xiàng)式定理 ⑴定理 (a+b)n=c|an+C眼2%+???+0^11?+???+(^臨€苛). (2) 通項(xiàng) 第k+1項(xiàng)為：Tv,i=c|anV. (3) 二項(xiàng)式系數(shù) 二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為：C泄=0,1,2,…，n). 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 1. 辨明三個(gè)易誤點(diǎn) (1) 通項(xiàng)Tk+1=cian-V是展開(kāi)式的第k+1項(xiàng)，不是第k項(xiàng). (2) (a+b)n寫(xiě)(b+a)11雖然相同，但具體到它們展開(kāi)式的某一項(xiàng)時(shí)是不相同的，所以公式中的第一個(gè)量a與第二個(gè)量b的位置不能顛倒. (3) 易混淆二項(xiàng)式中的“項(xiàng)”“項(xiàng)的系數(shù)”“項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”等概念，注意項(xiàng)的系數(shù)是指非字母因數(shù)所有部分，包含符號(hào)，項(xiàng)式系數(shù)僅指房(k=O,1,…，n). 2. 二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)最大項(xiàng)的求法 如求(a+bx)n(a,bGR)的展開(kāi)式系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開(kāi)式各項(xiàng)1系數(shù)分別為Ai，N，…，Ari，且第k項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)用、從而解出k來(lái)，即得. 雙基自刑 1. (2015?高專院西卷0二項(xiàng)式(x+lT(n£NQ的展開(kāi)式中X2的系數(shù)為15,則n=() A.7B.6 C.5D.4 解析：選B(x+l)n=(l+x)L(l+x)n的通項(xiàng)為Ti.i=CX，令r=2,則C；=15,即n(n-1)=30又n>0,得n=6. 己知(x-J)7展開(kāi)式的第4項(xiàng)等于5,則x等于()11 A7B.-7 C.7D.-7 解析：選B由丁4=(?瓣(-9=5得工=-;，故選B 2. 己知(2—x)10=a0+a1x4-a2x2Ha10x10,則祐等于() A.180B.-180 C.45D.-45 解析：選A由題意得as=Cio22(-1)8=180. 3. (堆修2-3P31例2(1)改始)(1+2x)7的展開(kāi)式的第4項(xiàng)為. 解析：(l+2x)，的展開(kāi)式的第4項(xiàng)是 T3.i=C?X17-3X(2x)3 =CjX23X^ =35X8x3 =280^ 答案：280X3 4. 在二項(xiàng)式(胃一§)的展開(kāi)式中，x的系數(shù)是一10,則實(shí)數(shù)a的值為. 解析：Tr.i=a(j)j?(-g=(-a)'%./-31 當(dāng)10-3r=l時(shí)，r=3,于是x的系數(shù)為(-a)，C；=-lOa',從而th已知得a=1. 答案：1 典例剖析▼考點(diǎn)突破1考點(diǎn)一二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)(高頻考點(diǎn))［學(xué)生用書(shū)P186］ 二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn).多以選擇題，填空題的形式呈現(xiàn).試題難度不大.多為容易題或中檔題.高考對(duì)二頊?zhǔn)蕉ɡ淼目疾橹饕幸韵氯齻€(gè)命跛角度： (1) 求展開(kāi)式中的某一項(xiàng)； (2) 求展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)； (3) 由已知條件求n的值或參數(shù)的值. 典例1 (1)(2015高考湖南卷)己知 (W一盅)的展開(kāi)式中含｛的項(xiàng)的系數(shù)為30,則a B.D.—6 于()A.3C.5 B.D.(l)Tr-i=C；(0)5”?(W，=C；(-a)rx2，由2=30,得a=-6. ［解析］ 4655—2r3=%解得r=l由Cl(-a) =() A弟 C.6 (2)(2016?山西省第三次四校聯(lián)考)若(/+春)的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則n的最小值等 (2)因?yàn)門r.］=CX/)i(W=C#6n-Wr,當(dāng)匚.】是常數(shù)項(xiàng)時(shí)，6n-#r=0,即n=，故n的最小值為5. ［答案］(1)D(2)C與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的解題策略 (1) 求展開(kāi)式中的第n項(xiàng)，可依據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)直接求出第n項(xiàng). (2) 求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)，可依據(jù)條件寫(xiě)出第r+1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可. (3)已知展開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù)，可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫(xiě)出第r+1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求出其參數(shù). 通關(guān)練習(xí)〕1⑴(2015?高考全國(guó)卷【)(£+乂+療的展開(kāi)式中，石的系數(shù)為() B.20 D.60 A.10 的展開(kāi)式中的有理項(xiàng)共有 C.30項(xiàng). 解析：(1)法一：(r+x+y)5=[(x2+x)+y]5,含y3的項(xiàng)為T3=C；&+x)3?y2其中(r+x)3中含：的項(xiàng)為c護(hù)?x=cR 所以xY的系數(shù)為C］C\=30故選C. 法二：(Y+x+y)，為5個(gè)W+x+y之積，其中有兩個(gè)取y,兩個(gè)取x2,—個(gè)取x即可,所以x5y2的系數(shù)為C5C3C1=30故選C. (2) 的展開(kāi)式的通項(xiàng)為二.1=8(舊)8"?偵「 一1\(1Y16-3r=(?護(hù)次4(r=o，1， =T9=(-^cix-2=^?. 2,…，8),為使Tn為有理項(xiàng)，r必須是4的倍數(shù)，所以r=0,4,8,故共有3個(gè)有理項(xiàng),分別是Ti=(-gc&4=xL丁5=(-9答案:(1)C(2)3考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)或各項(xiàng)系數(shù)和［學(xué)生用書(shū)P186］ 典例2(1)(2016-1X寧省五根尚M取小)若(、斥+金的展開(kāi)式中只仃第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是() A.360B.180 C.90D.45 (2)(2016-安徵省“江南十?！甭?lián)考)若(x+2+m)9=a°+ai(x+l)+a2(x+l)2ag(x+1)七且(ao+a?a8),一(ai+a3a9)2=39»則實(shí)數(shù)m的值為() A.1或一3B.一1或3 C.1D.一3 ［解析］(1)展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式總共11項(xiàng)，所以n=10,通項(xiàng)為1；.1=血(《)1°”?③=00妥5一弟，所以r=2時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為180 (2)令x=0,得到ao+ai+32++39=(2+m)9,令x=-2,得到a。一a】+a?-a3+-39=m9,所以有(2+m)9m9=39,即m'+2m=3,解得m=l或-3 ［答案］(1)B(2)A Q互動(dòng)探究本例C)變?yōu)椋喝?x+?+m)9=ao+ai(x—l)+a2(x—iy+???+a9(x—1)七fi.(a04-a2+,,,+as)2-(a1+33+a9)2=39.則實(shí)數(shù)m的值為. 解析：令x=2,得到a。+a】+a?+…+ag=(4+m)',令x=0,得到a0-a!+a2-a3+-39=(m+2)9,所以有(4+m)9(m+2)9=3七m2+6m+5=0,解得m=-1或-5. 答案：一1或一5 規(guī)婉福賦值法的應(yīng)用 (1) 形如(ax+b)n,(a^+bx+c)%,b,c€R)的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x=l即可. (2) 對(duì)形如(ax+by)n(a,b£R)的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x=y=1即可. 若f(x)=ao+aix++,e,+則f(x)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(l),奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)f(1)+f(-1)之和為a0+a2+a4+―=,偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為ai+a3+a5+―=f(1)—f(-1) 跟蹤訓(xùn)練：2(1)在二項(xiàng)式(W+|f的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為A,各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為B,且A+B=72,則n=. (2)若(l+2x)n(其中n/N且nN6)的展開(kāi)式中X3與x，項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則系數(shù)最大的項(xiàng)為. 解析：(1)(賦值法)由題意可知，B=2n,令x=l,得A=4n,由A+B=72,得=72,即2n=8,n=3 (2)由于X3與x，項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則n=7, 所以=C7(2x)\由' C對(duì)NC飄y,C淳肖時(shí)七 得所以k=5, 所以系數(shù)最大的項(xiàng)為C7(2x)5=67Zx5 答案：(1)3(2)672x5考點(diǎn)三二項(xiàng)式定理的應(yīng)用［學(xué)生用書(shū)P187］ 典例3設(shè)aWZ,且0WaV13,若5120164-afig被13整除，則a=() A.0B.1 C.11D.12 ［解析］51(2016-邢臺(tái)摸成今試)己知a=盧一當(dāng)cosxdx,則偵，一的二項(xiàng)展開(kāi)式中x的系數(shù)為? 016+a=(52-I)2016+a=C?oi6522016-cJoifiSl2015+…+C澈X52X(-I)2盅+C拙£x(-I)?。％a因?yàn)?2能被13整除，所以只需C拙gx(-I)2016+a能被13整除，即a+1能被13整除，所以a=12. ［答案］D (1)利用二項(xiàng)式定理解決整除問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是進(jìn)行合理地變形構(gòu)造二項(xiàng)式，應(yīng)注意：要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)式 子整除，只要證明這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開(kāi)后的各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除即可. C)求余數(shù)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)明確被除式f(x)與除式g(x)(g(x)40),商式q(x)與余式的關(guān)系及余式的范圍. 跟蹤訓(xùn)蛛3求證：i(n£N，,n>2). 證明：因?yàn)閚WN*,且n>2, 所以尸=(2+I)11展開(kāi)后至少有4項(xiàng). (2+1)n=2n+Ci?2n-1+???+C；-1?2+12n+n-2n'1+2n+1>2n+n-2n'1=(n+2)-2n-1, 故3+n>2). 名姬講壇I素養(yǎng)提丑} 拓展升華觸類旁通 ，［學(xué)生用書(shū)P187］) 交匯創(chuàng)新與二頊為定理有關(guān)的支匯問(wèn)題 典例(2016-湖北省黃岡中學(xué)調(diào)研)設(shè)函數(shù)Rx)=jlx；*--■則x>0時(shí)，4f(x)］表達(dá)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為［—0,xNO.作答) xVO, .(用數(shù)字 ［解析］根據(jù)題意得：當(dāng)x>0時(shí)，f［f(x)］= 6，所以其通項(xiàng)為Tl1=C«-x -?(凌)，=8(-1)6-，次-3,當(dāng)r=3時(shí)，得到［啊表達(dá)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C?x(-1)6-3X22解析：依題意得a=sinx|亍-馬=2,(a分=(*一3的展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr»i= =-160. ［答案］一160 2名師點(diǎn)評(píng)(1)本題為二項(xiàng)式定理與函數(shù)的交匯問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是當(dāng)x>0時(shí)，將qf<x)］的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式. (2)二項(xiàng)式定理作為一個(gè)工具，也常與其他知識(shí)交匯命題，如與數(shù)列交匯、與不等式交匯、與定積分交匯等.因此在一些題目中不僅僅考查二項(xiàng)式定理，還要考查其他知識(shí)，其解題的關(guān)鍵點(diǎn)是它們的交匯點(diǎn)，注意它們的聯(lián)系. 跟蹤劉II練1(2016-JK北三省三校一聯(lián))設(shè)二項(xiàng)式(X-：)(neN*)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和與各項(xiàng)系數(shù)和分別為a”，bn.則怵=4}=()S十。2十?..十DnA.2n-1+3C.2nU B.2(2n-1+l)D.1 解析：選C二項(xiàng)式(x-|)n(neN)^開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為吐各項(xiàng)系數(shù)和為(l-7)n=C；?（M）5r?（—g'=C"25r.（一1），.！。-3,令］（）一3『=［得r=3因此所求系數(shù)等于C；X22x（-1）3=-40. g,所以a«，bn=(9：所以…f bi+b?+???+bn 1— ?i 2X(1-2n) 故選c 答案：一40以練促學(xué)強(qiáng)技提能基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 2. （2016?東北三校模擬）在（x'-g的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第二項(xiàng)的系數(shù)為（）B.-10D.-5解析：選D展開(kāi)式中的笫二項(xiàng)為T2=ckx2）5-1（-^）1,所以其系數(shù)為-C?=-5.（x-1）5+5（x-1）4+10（x-1）3+10（x-1）2+5（x-1）=（）A.x5B.x5—1C.?+lD.（x-l）5-l解析：選B逆用二項(xiàng)式定理，得原式=［（x-1）+I］5-1=x5-1（2016-云南省第一次延一檢測(cè)）若（正一3的二項(xiàng)展開(kāi)式中的第5項(xiàng)是常數(shù)，則自然 1. A.C. 105 數(shù)n的值為（）A.6C.12 解析：選C.展開(kāi)式的笫5項(xiàng)為夜版z? B.10D.154n：，n「=16<3女亍乂-4=16雋項(xiàng)6,依題意知丁- 6=0,故n=12. 4.（2016-江西省臨川一中等九校聯(lián)今）若二項(xiàng)式 的展開(kāi)式的第二項(xiàng)的系數(shù)為一 ,,則J*rdx的值為（）27 B.3 C.3或；D.3或-乎解析：選A二項(xiàng)展開(kāi)式的第二項(xiàng)為日=現(xiàn)"乂平，則由題意有平X"=解 得a=-l,所以J'-1x2dx== 1)4 5. '+Ix (x+g的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為( A.32C.36 B.34D.38 解析：選D.G3-'展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tm.LC*3/^. 12-4m=0,解得m= 的展開(kāi)式的通項(xiàng)為令8-2n=0,解得n=4,所以所求常數(shù)項(xiàng)為C：(-2)3+C*=38.6. A. 若(l+x+x2)n=ao4-a1x+a2x：!+???+a2nx2n»則a0+a2+a4++等于()3n-l B. C. 3n+lD.— 解析：選D設(shè)f(x)=(l+X+X3)11，則R1)=3“=a。+a】+a?+…+a^n，①R_1)=1=a。-a】+a?-a3+…+③頊②由①+②得2(ao+32+34+,,,+82n)=心)+*-1),化f(1)+f(-1)3、1所以30+32+34++32n 7.(2015?高考安心)(/+勃的展開(kāi)式中X5的系數(shù)是.(用數(shù)字填寫(xiě)答案) 解析：》1=0©"(步=6亍-氣令21-4『=5,得r=4,C?=35故展開(kāi)式中X5的系數(shù)為35. 答案：35 15 8.(2016?廣仃極擬) 的展開(kāi)式中, X的整數(shù)次幕的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為 解析：展開(kāi)式的通項(xiàng)為L(zhǎng)r=(-1)仔5?(W5- (- 30-5r1)&廣 -|r為非負(fù)整數(shù)，得r=0或6,所以符合要求的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為2 答案" 9. (2016-昆明調(diào)研)任+永1一但4的展開(kāi)式中x的系數(shù)是 解析：(1-3)4展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr-1=C；(-W)'=(-1)'?C*,任+)(1-W)，的展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為二?(-l/cjx3+x-(-1)°cS^=-?X2+x-1=3x,故系數(shù)是3XX 答案：3 。016?洛陽(yáng)模擬)(次4定)的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為729,則該展開(kāi)式中X。的系數(shù)為解析：依題意，得3』729,即n=6,二項(xiàng)式 的展開(kāi)式的通項(xiàng)是TlI=喘?(*)6 ”?慌 ?26"1-x6-y令6-?=2,得r=3因此，在該二項(xiàng)式的展開(kāi)式中X2的系數(shù)是席X?6?3=16O. 答案：160 10. 己知二項(xiàng)式(法+］的展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為256 ⑴求n； (2)求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng). 解：(1)由題意，得C?+C：+C：+???+C：=256, 即2n=256,解得n=8 (2)該二項(xiàng)展開(kāi)式中的第r+1項(xiàng)為 J=6(*)5?⑥=Cs-廠-, 令號(hào)一0，得r=2, 此時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為T3=C；=28. 令匚.1為常數(shù)項(xiàng)，則20-5r=0, 11. 己知(a2+l)n展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和等于(爭(zhēng)+±y的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，而(a2+Dn展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)等于54,求a的值. 所以r=4,所以常數(shù)項(xiàng)T5=C5Xy=16 又(a2l)n展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和等于2n由題意得2n=16,所以n=4. 由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，(a，+1)4展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是中間項(xiàng)T3,所以C^a4=54,所以a=±>/3和能力提升, (2016-棗莊模擬)若(x+y)9按x的降昇排列的展開(kāi)式中，第二項(xiàng)不大于第三項(xiàng)，且x+y=l,xy<0,則x的取值范圍是() A(—8,5)B.+8) C.(-8,-JD.(1.+8) 解析：選D二項(xiàng)式(x+y)9的展開(kāi)式的通項(xiàng)是 Tz=C&?f?寸 C5(7?)2(3r)3=270x 2 T3=頃/)3彩)2=90占 22 解之得X>1,即X的取值范圍為(1,+8). 1. 若(2x—3)5=ao+a1x+a2x解析：在已知等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得5(女-3)，X2=ai+2a2X+32招+42以+5aU，令x=1,得ai+2a2+3a3+4a4-»-5a5=5X(2Xl-3)4X2=10 答案：10 -l-a3X設(shè)(3x~1)8=38^+a7X74-,,,_l-aix4-ao»求： (1) as4-a7Ha】： (2) as+a6+a’+a?+a。 解：令x=0得a0=1. (1) 令x=l得(3-l)s=as+a7+…+a】+ao，① 所以as+a?++ai=28-ao=256~1=255 (2) 令x=-1得(-3-I)8=as-a7+a6-?,-~2l\+a0>② 由①+②得 28+4s=2(as+a6+a4+a2+ao), 所以as+36+34+32+ao=^(28+4s)=32896 4-a4X己知f(x)=(3>/?+3r)n展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大992. (1) 求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)： (2) 求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng). 解：⑴令x=l,則二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的和為《1)=(1+3)』4氣 又展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2”， 由題意知，4n-2n=992 所以(2n)2-2n-992=0, 所以(2n+31)(2n-32)=0, 所以T=-31(舍去)或2n=32,所以n=5. 由于n=5為奇數(shù). 所以展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間兩項(xiàng)， 它們分別是 4-a5X5,貝Ua!4-2a2+3a3+4a44-5a5等于 (2)展開(kāi)式中的通項(xiàng)為1.1=凈?頑5+2r). 假設(shè)I；.］項(xiàng)系數(shù)最大， _C"C；T?3'T,則有?廣, f(5-r)所以__51l(5-r)-X3^(6-r)l5'(r-1)，-W（4-『）產(chǎn)4】）：X3. 家土，所以' r6r79所以KrW； 1>Ji- 、5-r"r+126 405xT 因?yàn)閞《N,所以r=4,所以展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T5=?（3X2）4