2021屆高三數(shù)學二輪復習專題能力提升訓練22數(shù)學思想在解題中的應用（2） 理

訓練22　數(shù)學思想在解題中的應用(二) (時間：45分鐘　滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(2013·咸陽模擬)函數(shù)f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)內(nèi)有極小值，則b的取值范圍是 (　　)． A．(0,2) B．(0,1) C．(0,1] D．[0,2] 2．某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有 (　　)． A．504種 B．960種 C．1 008種 D．1 108種 3．(2012·金華模擬)已知雙曲線的漸近線方程為y＝±x，則雙曲線的離心率為 (　　)． A. B. C.或 D.或 4．在等比數(shù)列{an}中，a1＝a，前n項和為Sn，若數(shù)列{an＋1}成等差數(shù)列，則Sn等于 (　　)． A．a(chǎn)n＋1－a B．n(a＋1) C．na D．(a＋1)n－1 5．(2012·濟寧模擬)已知函數(shù)f(x)＝－sin2x＋sin x＋a，若1≤f(x)≤對一切x∈R都成立，則參數(shù)a的取值范圍為 (　　)． A．3＜a＜4 B．3＜a≤4 C．3≤a≤4 D．3≤a＜4 二、填空題(每小題5分，共15分) 6．(2012·汕頭二模)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，則a的值是________． 7．已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9 成等比數(shù)列，則的值是________． 8．(2012·江西)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為________． 三、解答題(本題共3小題，共35分) 9．(11分)(2012·鹽城模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋1，數(shù)列{bn}是首項為1，公比為b的等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn. 10．(12分)(2012·遼寧)如圖，動圓C1：x2＋y2＝t2,1＜t＜3，與橢圓C2：＋y2＝1相交于A、B、C、D四點，點A1、A2分別為C2的左、右頂點． (1)當t為何值時，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積； (2)求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程． 11．(12分)(2011·新課標全國)已知函數(shù)f(x)＝＋，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為x＋2y－3＝0. (1)求a，b的值； (2)如果當x＞0，且x≠1時，f(x)＞＋，求k的取值范圍． 參考答案 訓練22　數(shù)學思想在解題中的應用(二) 1．B　[轉(zhuǎn)化為f′(x)＝3x2－3b在(0,1)內(nèi)與x軸有兩交點，只需f′(0)＜0且f′(1)＞0.即得0＜b＜1.] 2．C　[①當丙在10月7日值班時共AA＝240種； ②當丙不在10月7日值班時，若甲、乙有1人在10月7日值班時，共CCA＝192種排法，若甲、乙不在10月7日值班時，共有C(CA＋CAA)＝576種． 綜上知，共240＋192＋576＝1 008種．] 3．D　[當雙曲線焦點在x軸上時，＝，∴＝＝e2－1＝，∴e2＝，∴e＝； 當雙曲線焦點在y軸上時，＝， ∴＝＝e2－1＝， ∴e2＝，∴e＝.] 4．C　[利用常數(shù)列判斷a，a，a，…，則存在等差數(shù)列a＋1，a＋1，a＋1，…或通過下列運算得到：2(aq＋1)＝(a＋1)＋(aq2＋1)，q＝1，Sn＝na.] 5．C　[f(x)＝－sin2x＋sin x＋a＝－2＋a＋. 令t＝sin x，t∈[－1,1]， ∴f(x)變?yōu)間(t)＝－2＋a＋，t∈[－1,1]， g(t)max＝a＋，g(t)min＝a－2,1≤f(x)≤對x∈R恒成立，即g(t)max≤且g(t)min≥1恒成立，即3≤a≤4.] 6．解析　當a＞1時，y＝ax在[1,2]上遞增，故a2－a＝，得a＝；當0＜a＜1時，y＝ax在[1,2]上單調(diào)遞減，故a－a2＝，得a＝.故a＝或a＝. 答案　或 7．解析　由題意知，只要滿足a1、a3、a9成等比數(shù)列的條件，{an}取何種等差數(shù)列與所求代數(shù)式的值是沒有關系的．因此，可把抽象數(shù)列化歸為具體數(shù)列．比如，可選取數(shù)列an＝n(n∈N*)，則＝＝. 答案　 8．解析　依題意得|F1F2|2＝|AF1|·|BF1|，即4c2＝(a－c)·(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，得e＝＝. 答案　 9．解　(1)當n＝1時，a1＝S1＝2； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－(n－1)2－1＝2n－1. 所以an＝ (2)當b＝1時，anbn＝ 此時Tn＝2＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2＋1； 當b≠1時，anbn＝ 此時Tn＝2＋3b＋5b2＋…＋(2n－1)bn－1，① 兩端同時乘以b得，bTn＝2b＋3b2＋5b3＋…＋(2n－1)bn.② ①－②得， (1－b)Tn＝2＋b＋2b2＋2b3＋…＋2bn－1－(2n－1)bn ＝2(1＋b＋b2＋b3＋…＋bn－1)－(2n－1)bn－b ＝－(2n－1)bn－b， 所以Tn＝－－. 所以Tn＝ 10．解　(1)設A(x0，y0)，則矩形ABCD的面積S＝4|x0||y0|. 由＋y＝1得y＝1－， 從而xy＝x＝－2＋. 當x＝，y＝時，Smax＝6.從而t＝時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為6. (2)由A(x0，y0)，B(x0，－y0)，A1(－3,0)，A2(3,0)知直線AA1的方程為y＝(x＋3)．① 直線A2B的方程為y＝(x－3)．② 由①②得y2＝－(x2－9)．③ 又點A(x0，y0)在橢圓C2上，故y＝1－.④ 將④代入③得－y2＝1(x＜－3，y＜0)． 因此點M的軌跡方程為－y2＝1(x＜－3，y＜0)． 11．解　(1)f′(x)＝－. 由于直線x＋2y－3＝0的斜率為－，且過點(1,1)，故 即解得a＝1，b＝1. (2)由(1)知f(x)＝＋，所以 f(x)－＝. 考慮函數(shù)h(x)＝2ln x＋(x＞0)，則 h′(x)＝. (ⅰ)設k≤0，由h′(x)＝知，當x≠1時，h′(x)＜0.而h(1)＝0，故當x∈(0,1)時，h(x)＞0，可得h(x)＞0； 當x∈(1，＋∞)時，h(x)＜0，可得h(x)＞0. 從而當x＞0，且x≠1時，f(x)－＞0， 即f(x)＞＋. (ⅱ)設0＜k＜1，由于當x∈時，(k－1)(x2＋1)＋2x＞0， 故h′(x)＞0.而h(1)＝0，故當x∈時，h(x)＞0，可得h(x)＜0.與題設矛盾． (ⅲ)設k≥1.此時h′(x)＞0，而h(1)＝0，故當x∈(1，＋∞)時，h(x)＞0，可得h(x)＜0.與題設矛盾．綜合得k的取值范圍為(－∞，0]． 5