《有噪信道編碼》PPT課件.ppt
第六章有噪信道編碼,6.1譯碼準(zhǔn)則與譯碼錯誤概率,有噪聲信道編碼的主要目的是提高傳輸可靠性,增加抗干擾能力,因此也稱為糾錯編碼或抗干擾編碼。信源編碼之后的碼字序列抗干擾能力很脆弱,在信道噪聲的影響下容易產(chǎn)生差錯,為了提高通信系統(tǒng)的有效性和可靠性,要在信源編碼器和信道之間加上一個信道編碼器,,6.1.1譯碼準(zhǔn)則的含義,一個例子影響通信系統(tǒng)可靠性的一個重要問題是譯碼方式,可以通過一個例子看一下;有一個BSC信道,如圖所示。,對于這樣一個信道,如果采用自然的譯碼準(zhǔn)則,即收0判0,收1判1;這時可以明顯看到,當(dāng)信源先驗概率的等概時p(0)=p(1)=1/2;這時收到Y(jié)判X的后驗概率等于信道轉(zhuǎn)移概率,系統(tǒng)正確的譯碼概率為1/4,錯誤譯碼概率為3/4。但如果采用另一種譯碼準(zhǔn)則,收0判1,收1判0;則系統(tǒng)正確的譯碼概率為3/4,錯誤譯碼概率為1/4,通信的可靠性提高了。譯碼準(zhǔn)則,這時定義一個收到y(tǒng)j后判定為xi的單值函數(shù),即:F(yj)=xi(i=1,2,…n;j=1,2,…m);這個函數(shù)稱為譯碼函數(shù)。它構(gòu)成一個譯碼函數(shù)組,這些函數(shù)的值組成了譯碼準(zhǔn)則。對于有n個輸入,m個輸出的信道來說,可以有nm個不同的譯碼準(zhǔn)則。例如上面例子中有4中譯碼準(zhǔn)則分別為:A:{F(0)=0;F(1)=0}B:{F(0)=0;F(1)=1}C:{F(0)=1;F(1)=0}D:{F(0)=1;F(1)=1},6.1.2譯碼錯誤概率,譯碼準(zhǔn)則確定之后,當(dāng)接收端收到一個yj后,則按譯碼準(zhǔn)則譯成F(yj)=xi,這時如果發(fā)送的為xi則為正確譯碼,如果發(fā)送的不是xi則為錯誤譯碼。所以接收到y(tǒng)j后正確譯碼的概率就是接收端收到y(tǒng)j后,推測發(fā)送端發(fā)出xi的后驗概率:Prj=P{F(yj)=P(xi/yj)}而錯誤譯碼的概率為收到y(tǒng)j后,推測發(fā)出除了xi之外其它符號的概率:Pej=P{e/yj}=1-P{F(yj)=xi/yj},其中e表示除了xi之外的所有其它信源符號的集合。然后對所有的yj取平均,則平均正確譯碼概率為:,,同樣可以得到平均錯誤譯碼概率為:,,6.1.3最大后驗概率準(zhǔn)則,由平均錯誤譯碼概率的表達式可以看出,錯誤譯碼概率與信道輸出端隨機變量Y的概率分布p(yj)有關(guān),也與譯碼準(zhǔn)則有關(guān)。當(dāng)信道信道轉(zhuǎn)移概率p(yj/xi)確定后,而且信源統(tǒng)計特性p(xi)確定之后,信道輸出端的p(yj)也就確定了。因為:p(xi,yj)=p(xi)p(yj/xi);而p(yj)可以由p(xi,yj)的(i=1,2,n)求和得到。因此,在這種情況下,平均錯誤譯碼概率只與譯碼準(zhǔn)則有關(guān)了。通過選擇譯碼準(zhǔn)則可以使平均譯碼概率達到最小值。當(dāng)式中的每一項的P{F(yj)=xi/yj}達到最大值時,平均錯誤譯碼概率就可以為最小值。設(shè)信源X的信源空間為:,收到每一個yj(j=1,2,…m)后,推測發(fā)送為xi(i=1,2,…n)的后驗概率共有n個,為:p(x1/yj),p(x2/yj),……p(xn/yj)。這其中必有一個為最大的,設(shè)其為:p(x*/yj),即有:p(x*/yj)≥p(xi/yj)(對一切的i)這表明:收到符號yj后就譯為輸入符號x*,即譯碼函數(shù)選為:F(yj)=a*(j==1,2,…m)這種譯碼準(zhǔn)則稱為“最大后驗概率準(zhǔn)則”。,這個表達式平均錯誤譯碼概率的最小值,是把每一個yj對應(yīng)的后驗概率排除后再連續(xù)求和。從表達式中可以看到,這個最小值與信源先驗概率和信道轉(zhuǎn)移概率有關(guān),特別是信道轉(zhuǎn)移概率,如果除了p(yj/x*)外,其它的項多很小,錯誤譯碼概率會減小。,6.1.4最大似然準(zhǔn)則,使用最大后驗概率譯碼準(zhǔn)則必須已知后驗概率,但信道的統(tǒng)計特性描述總是給出信道轉(zhuǎn)移概率,因此利用信道轉(zhuǎn)移概率的譯碼準(zhǔn)則。由概率中的貝葉斯定理可有:,,,這樣,根據(jù)最大后驗概率譯碼準(zhǔn)則,如果p(x*)p(yj/x*)≥p(xi)p(yj/xi)(i=1,2,……n)就等于:p(x*/yj)≥p(xi/yj)則選擇譯碼準(zhǔn)則:F(yj)=x*(j=1,2,……n)這樣,可以看到當(dāng)信道輸入符號集X的先驗概率為等概時[p(xi)=1/n],比較上面三個式子,最大后驗概率可以用最大信道轉(zhuǎn)移概率來取代。這時,在X的先驗概率為等概時,如果p(yj/x*)是yj相應(yīng)的n個信道轉(zhuǎn)移概率p(yj/x1),p(yj/x2),……,p(yj/xn)中的最大者,則我們就將yj譯成x*,這種譯碼方法稱為“最大似然譯碼準(zhǔn)則”。,最大似然譯碼準(zhǔn)則利用了信道轉(zhuǎn)移概率,而不用后驗概率,將會更方便。為了減小錯誤譯碼概率,主要方法是改變信道轉(zhuǎn)移概率,,,6.2信道編碼定理,[定理]:有噪聲信道編碼定理(Shannon第二編碼定理)如一個離散有噪聲信道有n個輸入符號,m個輸出符號,信道容量為C。當(dāng)信道的熵速率R≤C時,只要碼長足夠長,總可以找到一種編碼方法及譯碼準(zhǔn)則,使信道輸出端的平均錯誤譯碼概率達到任意小,[pe=ε]。當(dāng)R>C時,則不可能找到一種編碼方法及譯碼準(zhǔn)則,使信道輸出端的平均錯誤譯碼概率達到任意小。,編碼定理的證明比較復(fù)雜,主要參考課本140頁這個定理是一個存在定理,指出錯誤率趨于0的編碼方法是存在的。定理表明,在錯誤率趨于0的同時,還可以使R趨于C,這是具有理論指導(dǎo)意義的。,引入冗余,一個BSC信道,輸入為X={0,1},且為等概分布,信道模型為:,按最大似然譯碼準(zhǔn)則為:F(0)=0;F(1)=1;pe=0.01這里沒有采用任何信道編碼。,編譯碼方法,將0編為000,1編為111。這時的可用碼字為8;分別為:X1=000X2=001X3=010X4=100X5=011X6=110X7=101X8=111而許用碼字為000和111,相當(dāng)于信道輸入為X1=000,X2=111,而信道輸出端為:Y1=000;Y2=001;Y3=010;Y4=100Y5=011;Y6=110;Y7=101;Y8=111這時的信道轉(zhuǎn)移矩陣為:,這時如果按最大似然法則譯碼,將為:F(Y1)=F(Y2)=F(Y3)=F(Y4)=X1=000F(Y5)=F(Y6)=F(Y7)=F(Y8)=X2=111錯誤譯碼概率為:Pe≈310-4可見簡單重復(fù)碼可以將錯誤譯碼概率下降兩個數(shù)量級。這是三次方法;可以看出如果是五次重復(fù)碼,誤碼率還要降低,6.3信道編碼,信道編碼又稱為差錯控制編碼,簡稱為糾錯編碼,即在信息序列中按一定的規(guī)則附加若干監(jiān)督碼元,以便對信息傳輸(或存儲)起檢錯與糾錯作用,目的在于提高通信(或存儲)的可靠性,減低誤碼率。,6.3.1分類,幾個基本概念,碼字空間:如果原始信源空間有M個碼字,對其進行q元等長碼的信道編碼,碼長為N,信道碼字空間的所有碼字為qN個,編碼器將在這qN個可用碼字中選擇M個碼字分別代表原始信源中的M個碼字,信道編碼碼字空間的這M個碼字稱為“許用碼字”,而另外的qN-M個碼字稱為“禁用碼字”。為了實現(xiàn)糾錯編碼,一定有qN>M。這M個許用碼字也稱為一個碼組,或稱為碼字集合。,漢明距離:(Hammingdistance),在一個碼組(碼字集合)中,任意兩個等長碼字之間,如果有d個相對應(yīng)的碼元不同,則稱d為這兩個碼字的漢明距離。例如:α和β為碼組X中的兩個不同碼字,X為一個長度為N的二元碼組,其中:α=[a1,a2,……aN]ai∈{0,1}β=[b1,b2,……bN]bi∈{0,1}則α與β的漢明距離為:d=0表明為全同碼,d=N表明為全異碼,如果用模2加法的概念,有模2加法等同于“異或”運算,最小碼距:,,在一個碼字集合中,任何兩個碼字之間的漢明距離組成一個元素集合,D(α,β),這個集合中的最小值稱為這個碼字集合的最小漢明距離,簡稱最小碼距,記為:dmin。dmin=min{d(α,β)α,β∈Xα≠β},碼字重量(漢明重量)(Hammingweight),在二元編碼的碼字集合中,碼字中“1”碼元的個數(shù)稱為這個碼字的重量。記為:W(α),舉例:,氣象臺預(yù)報天氣信碼監(jiān)督元碼字(偶校驗)傳輸中錯一位晴000(000)?100,010,001云011(011)?111,001,010陰101(101)?001,111,100雨110(110)?010,100,111許用碼字禁用碼組可檢一位錯,之所以能檢錯,是因為引入了冗余(禁用碼組),例2可檢查出2位錯。附加兩個監(jiān)督元,設(shè)只有“晴”、“雨”兩種信息:信碼監(jiān)督元碼字傳輸中錯一位晴000(000)?100,010,001?0雨111(111)?011,101,110?1可糾1位錯(000)(111)許用碼字,其他為禁用碼字.在例2中,若編碼規(guī)則為晴011,雨000,則無糾錯能力。當(dāng)發(fā)生1位錯時:(011)?111,001,010(000)?001,100,010則不能糾1位錯,但仍能檢1位錯。,糾、檢錯能力與最小距離d0之間的關(guān)系,一個碼能夠檢測出,個錯誤;,只用于糾錯,能糾正,個錯誤;,用于既糾tc個錯,又檢td個錯,6.3.2線性分組碼,分組碼是一種代數(shù)編碼,它的基本關(guān)系一個碼字包括獨立的信息元和監(jiān)督元,其監(jiān)督元與信息元之間是一種代數(shù)關(guān)系,如果這種代數(shù)關(guān)系為線性的則稱為線性分組碼。分組碼的編碼器的模型為:,[m]為編碼器的輸入,稱為信息碼元(信息位),它由k位碼元組成。[C]為編碼器的輸出,稱為碼字矢量,它由n位碼元組成,其中有k位信息元,r=n-k位監(jiān)督元。線性分組碼:監(jiān)督元與信息元之間的關(guān)系可用一組線性方程組來描述的(n,k)分組碼。,以(7,4)漢明碼為例簡單介紹,N=7,k=4,r=3.,[C]=[c6,c5,c4,c3,c2,c1,c0];其中[c6,c5,c4,c3]為信息位,[c2,c1,c0]為監(jiān)督位。,由[H][C]T=[0]可知:監(jiān)督方程為:c2=c5+c4+c3c1=c6+c4+c3c0=c6+c5+c3其中加號為”模2和”規(guī)則.,根據(jù)這個方程組可以進行編碼。例如信息碼元m=[1011],則有c2=c5+c4+c3=0+1+1=0c1=c6+c4+c3=1+1+1=1c0=c6+c5+c3=1+0+1=0則漢明碼字[C]=[1011010]。,假如接收碼字為[R]=[0100101]可以看到:[S]T=[H][R]T=[0]這時表明無差錯;如果接收碼字有一位差錯,[R]=[0110101];即錯誤圖樣[E]=[0010000];接收碼字的第三位錯。這時校驗子矢量為:,可見這時校驗子[S]T不為0,譯碼器認為有錯,且正好等于[H]的第三列,表明接收碼字的第三位碼元錯了。這時判斷發(fā)送碼字位[0100101],譯碼正確。,如果接收碼字由兩位差錯,[R]=[0111101];即錯誤圖樣[E]=[0011000];接收碼字的第三、四位錯。這時校驗子矢量為:,可見這時,校驗子矢量不為0,但是如果這時接收機按原來的譯碼方法,將認為第7位出錯。但如果接收機設(shè)計為檢錯系統(tǒng),當(dāng)校驗子不為0,就認為有錯。因為(7,4)漢明碼的最小碼距為3(3<1+2+1),其不具備一種方法同時具有糾錯檢錯能力.,注意:糾錯碼的選用要小心,要根據(jù)信道條件來確定,如果信道較差,而使用的糾錯碼能力不夠,可能使譯碼錯誤反而增加,不僅錯誤的碼元沒有糾正,原來正確的碼元還被錯誤的改變。錯上加錯。,這種糾檢錯能力是由碼組的最小碼距決定的??梢则炞C:下面的(7,3)線性分組碼的最小碼距為4,可以糾一位錯,同時檢兩位錯,其基本監(jiān)督矩陣為:,生成矩陣(Generatormatrix),[C]=[m3,m2,m1,m0].[G],[m]=[1100],[C]=[1100][G]=[1100110],即有:[H][G]T=[0],同時有:[G][H]T=[0]稱[H]與[G]為正交矩陣,