2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)二十二 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積 新人教A版必修2

課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià) 二十二 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積 (25分鐘·50分) 一、選擇題(每小題4分，共16分) 1.已知高為3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形，如圖，則三棱錐B-AB1C的體積為 (　　) A. B. C. D. 【解析】選D.==S△ABC×h=××3=. 2.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)P是面A1B1C1D1內(nèi)任意一點(diǎn)，則四棱錐P-ABCD的體積為 (　　) A. B. C. D. 【解析】選B.因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1的棱長為1， 點(diǎn)P是面A1B1C1D1內(nèi)任意一點(diǎn)， 所以點(diǎn)P到平面ABCD的距離d=AA1=1， S正方形ABCD=1×1=1，所以四棱錐P-ABCD的體積為VP-ABCD=×AA1×S正方形ABCD=×1×1=. 3.已知長方體兩兩相鄰三個(gè)面的面積分別為x，y，z，則長方體的體積為(　　) A.xyz B. C. D. 【解析】選B.設(shè)長方體的長、寬、高分別為a，b，c， 不妨設(shè)ab=x，bc=y，ca=z， 所以a2b2c2=xyz， 所以V=abc=. 4.如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為4，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱AB上，且EF=2，動(dòng)點(diǎn)Q在棱D′C′上，則三棱錐A′-EFQ的體積 (　　) A.與點(diǎn)E，F(xiàn)的位置有關(guān) B.與點(diǎn)Q的位置有關(guān) C.與點(diǎn)E，F(xiàn)，Q的位置都有關(guān) D.與點(diǎn)E，F(xiàn)，Q的位置均無關(guān)，是定值 【解析】選D.VA′-EFQ=VQ-A′EF=××EF×AA′×A′D′，所以其體積為定值，與點(diǎn)E，F(xiàn)，Q的位置均無關(guān). 二、填空題(每小題4分，共8分) 5.已知三棱錐S-ABC的棱長均為4，則該三棱錐的體積是________.  【解析】如圖，在三棱錐S-ABC中，作高SO，連接AO并延長AO交BC于點(diǎn)D，則AO=×4×=. 在Rt△SAO中，SO==， 所以V=×××42=. 答案： 6.(2019·全國卷Ⅲ)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=6 cm，AA1=4 cm，3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g.  【解析】S四邊形EFGH=4×6-4××2×3 =12(cm2)，V=6×6×4-×12×3 =132(cm3).m=ρV=0.9×132=118.8(g). 答案：118.8 三、解答題(共26分) 7.(12分)已知正四棱錐底面正方形的邊長為4，高與斜高的夾角為30°，求正四棱錐的側(cè)面積和表面積. 【解析】如圖，正四棱錐的高PO，斜高PE，底面邊心距OE組成Rt△POE. 因?yàn)镺E=2，∠OPE=30°，所以PE=2OE=4. 因此S側(cè)=4×PE×BC=4××4×4=32，S表面=S側(cè)+S底=32+16=48. 8.(14分)在四面體ABCD中三組對(duì)棱分別相等，AB=CD=，BC=AD=2，BD=AC=5，求四面體ABCD的體積. 【解析】以四面體的各棱為對(duì)角線還原為長方體，如圖. 設(shè)長方體的長、寬、高分別為x，y，z， 則　所以 因?yàn)閂D-ABE=DE·S△ABE=V長方體， 同理VC-ABF=VD-ACG=VD-BCH=V長方體， 所以V四面體ABCD=V長方體-4×V長方體=V長方體. 而V長方體=2×3×4=24，所以V四面體ABCD=8. (15分鐘·30分) 1.(4分)一個(gè)封閉的正三棱柱容器，高為3，內(nèi)裝水若干(如圖甲，底面處于水平狀態(tài))，將容器放倒(如圖乙，一個(gè)側(cè)面處于水平狀態(tài))，這時(shí)水面與各棱交點(diǎn)E，F(xiàn)，F(xiàn)1，E1分別為所在棱的中點(diǎn)，則圖甲中水面的高度為 (　　) A. B. C.2 D. 【解析】選D.因?yàn)镋，F(xiàn)，F(xiàn)1，E1分別為所在棱的中點(diǎn)，所以棱柱EFCB-E1F1C1B1的體積V=S梯形EFCB×3=S△ABC×3=S△ABC.設(shè)甲中水面的高度為h，則S△ABC×h=S△ABC，解得h=. 2.(4分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為 (　　) A.1∶1 B.1∶ C.1∶ D.1∶2 【解析】選C.如圖，三棱錐D1-AB1C的各面均是正三角形，其邊長為正方體的面對(duì)角線.設(shè)正方體的棱長為a，則面對(duì)角線長為a，S錐=4×(a)2× =2a2，S正方體=6a2，故S錐∶S正方體=1∶. 3.(4分)如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE、△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF=2，則該多面體的體積為________.   【解析】該多面體不是規(guī)則幾何體，不易直接求體積，應(yīng)將其分割轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體.分別過A、B作EF的垂線，垂足分別為G、H，連接DG、CH，則原幾何體分割為兩個(gè)三棱錐和一個(gè)直三棱柱，棱錐高為，棱柱高為1，AG==.取AD的中點(diǎn)M，則MG=，S△AGD=×1×=，所以V=×1+2×××=. 答案： 4.(4分)如圖所示，已知一個(gè)多面體的平面展開圖由一個(gè)邊長為1的正方形和4個(gè)邊長為1的正三角形組成，則該多面體的體積是________.  【解析】易知該幾何體是正四棱錐.設(shè)正四棱錐為P-ABCD，連接BD，則PD=PB=1，BD=，則PD⊥PB. 設(shè)底面中心為O，則四棱錐高PO=，則其體積是V=Sh=×12×=. 答案： 5.(14分)已知正四棱臺(tái)(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面邊長為6，高和下底面邊長都是12，求它的側(cè)面積. 【解析】如圖，E，E1分別是BC、B1C1的中點(diǎn)，O、O1分別是下、上底面正方形的中心，則O1O為正四棱臺(tái)的高，則O1O=12. 連接OE，O1E1，則OE=AB=×12=6， O1E1=A1B1=3. 過E1作E1H⊥OE，垂足為H，則E1H=O1O=12，OH=O1E1=3，HE=OE-O1E1=6-3=3. 在Rt△E1HE中，E1E2=E1H2+HE2=122+32=32×42+32=32×17，所以E1E=3. 所以S側(cè)=4××(B1C1+BC)×E1E=2×(6+12)×3=108. 1.用一張正方形的紙把一個(gè)棱長為1的正方體禮品盒完全包住，不將紙撕開，則所需紙的最小面積是________.   【解析】如圖①為棱長為1的正方體禮品盒，先把正方體的表面按如圖所示方式展成平面圖形，再把平面圖形盡可能拼成面積較小的正方形，如圖②所示，由圖知正方形的邊長為2，其面積為8. 答案：8 2.若E，F(xiàn)是三棱柱ABC-A1B1C1側(cè)棱BB1和CC1上的點(diǎn)，且B1E=CF，三棱柱的體積為m，求四棱錐A-BEFC的體積. 【解析】如圖所示，連接AB1，AC1. 設(shè)AA1=h，因?yàn)锽1E=CF，所以梯形BEFC的面積等于梯形B1EFC1的面積.又因?yàn)樗睦忮FA-BEFC的高與四棱錐A-B1EFC1的高相等， 所以VA-BEFC==. 又=·h，=·h=m，所以=，所以=-=m. 所以VA-BEFC=×m=， 即四棱錐A-BEFC的體積是. - 8 -