2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.4 空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 3.1.5 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練 新人教A版選修2-1

3.1.4 空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 3.1.5 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 基礎(chǔ)練習(xí) 1．已知向量在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j(luò)＋k，c＝k＋i，則向量在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)是(　　) A．(12,14,10) B．(10,12,14) C．(14,12,10) D．(4,3,2) 【答案】A　 【解析】＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k. 2．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，下列說(shuō)法正確的是(　　) A．向量的坐標(biāo)與點(diǎn)B的坐標(biāo)相同 B．向量的坐標(biāo)與點(diǎn)A的坐標(biāo)相同 C．向量的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同 D．向量的坐標(biāo)與向量－的坐標(biāo)相同 【答案】D　 【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A不一定為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以選項(xiàng)A不正確；同理，選項(xiàng)B，C都不正確；由于＝－，故D正確． 3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值為(　　) A．－2　 B．－　 C．1 D． 【答案】D　 【解析】∵ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，2a－b＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，又兩向量互相垂直，∴3(k－1)＋2k－2×2＝0.解得k＝. 4．已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，點(diǎn)C滿足＝，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　) A． B． C． D． 【答案】C　 【解析】設(shè)C(x，y，z)，則(x－4，y－1，z－3)＝(－2，－6，－2)，∴∴故選C． 5．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，則a與b的夾角的大小為_(kāi)_______． 【答案】　 【解析】∵向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，∴a·b＝0×(－1)＋2×1＋1×(－2)＝0.∴a⊥b.∴a與b的夾角為. 6．與向量a＝(2，－1,2)共線且滿足方程a·x＝－18的向量x的坐標(biāo)是________． 【答案】(－4,2，－4)　 【解析】∵x與a共線，∴x＝ka.又a·x＝－18，∴ka2＝－18，解得k＝－2.∴x＝(－4,2，－4)． 7．已知空間三點(diǎn)A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設(shè)a＝，b＝. (1)求a與b的夾角的余弦值； (2)設(shè)|c|＝3且c∥，求c. 解：(1)∵a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)， ∴cos〈a，b〉＝＝＝－. ∴a與b的夾角的余弦值為－. (2)由c∥，＝(－2，－1,2)，可設(shè)c＝(－2λ，－λ，2λ)，∴|c|＝3|λ|. 又|c|＝3，∴3|λ|＝3.∴λ＝±1. ∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)． 8．設(shè)a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． (1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求實(shí)數(shù)k的值； (2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求實(shí)數(shù)k的值． 解：(1)ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)． ∵(ka＋b)∥(a－3b)，∴＝＝. 解得k＝－. (2)∵(ka＋b)⊥(a－3b)， ∴7(k－2)－4(5k＋3)－16(－k＋5)＝0. 解得k＝. 能力提升 9．已知A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，則△ABC的面積為(　　) A． B．2 C． D． 【答案】D　 【解析】＝(1,1,1)，||＝，＝(2,1,3)，||＝，cos A＝ ，sin A＝ ，S＝||||·sin A＝. 10．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)且BP⊥平面ABC，則等于(　　) A． B． C． D． 【答案】D　 【解析】∵⊥，∴·＝0，即1×3＋5×1＋(－2)z＝0，解得z＝4.∵BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥，即1×(x－1)＋5y＋(－2)×(－3)＝0，3(x－1)＋y＋(－3)×4＝0.解得x＝，y＝－.∴＝. 11．若向量a＝(x,2,2)，b＝(2，－3,5)的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________． 【答案】(－∞，－2)　 【解析】a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4.設(shè)a，b的夾角為θ.∵θ為鈍角，∴cos θ＝<0.又|a|>0，|b|>0，∴a·b<0，即2x＋4<0.∴x<－2.又a，b不會(huì)反向，∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是(－∞，－2)． 12．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中點(diǎn)，P為正方形ABCD的中心，以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求向量1，的坐標(biāo)及異面直線PA1與AM所成的角． 解：∵正方體棱長(zhǎng)為1，∴P，A1(1,0,1)，A(1,0,0)，M. ∴1＝(1,0,1)－＝， ＝－(1,0,0)＝. ∴·＝－＋0＋＝0. ∴PA1⊥AM，即異面直線PA1與AM所成的角為90°. - 4 -