2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）2.2.1.5 對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用練習(xí)（含解析）新人教A版必修1

課時(shí)25　對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P57 知識(shí)點(diǎn)一 比較大小 　　　　　　　 　 　　　　　 　 　 1．已知logb＜loga＜logc，則(　　) A．7a＞7b＞7c B．7b＞7a＞7c C．7c＞7b＞7a D．7c＞7a＞7b 答案　B 解析　由于函數(shù)y＝logx為減函數(shù)，因此由logb＜loga＜logc可得b＞a＞c，又由于函數(shù)y＝7x為增函數(shù)，所以7b＞7a＞7c. 2．比較下列各組數(shù)的大?。? (1)log2π與log20.9； (2)log20.3與log0.20.3； (3)log0.76,0.76與60.7； (4)log20.4與log30.4. 解　(1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝log2x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，π＞0.9，所以log2π＞log20.9； (2)由于log20.3＜log21＝0，log0.20.3＞log0.21＝0， 所以log20.3＜log0.20.3； (3)因?yàn)?0.7＞60＝1,0＜0.76＜0.70＝1， 又log0.76＜log0.71＝0，所以60.7＞0.76＞log0.76； (4)底數(shù)不同，但真數(shù)相同，根據(jù)y＝logax的圖象在a＞1，0＜x＜1時(shí)，a越大，圖象越靠近x軸，知log30.4＞log20.4. 知識(shí)點(diǎn)二 對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 3.已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上為x的減函數(shù)，則a的取值范圍為(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(0,2) D．[2，＋∞) 答案　B 解析　題目中隱含條件a>0，且a≠1， u＝2－ax為減函數(shù)， 故要使y＝loga(2－ax)在[0,1]上是減函數(shù)， 則a>1，且2－ax在x∈[0,1]時(shí)恒為正數(shù)， 即2－a>0，故可得1<a<2. 4．討論函數(shù)f(x)＝loga(3x2－2x－1)的單調(diào)性． 解　由3x2－2x－1＞0得函數(shù)的定義域?yàn)閤x＞1或x＜－.則當(dāng)a＞1時(shí)， 若x＞1，則u＝3x2－2x－1為增函數(shù)， ∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)為增函數(shù)． 若x＜－，則u＝3x2－2x－1為減函數(shù)． ∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)為減函數(shù)． 當(dāng)0＜a＜1時(shí)， 若x＞1，則f(x)＝loga(3x2－2x－1)為減函數(shù)； 若x＜－，則f(x)＝loga(3x2－2x－1)為增函數(shù)． 知識(shí)點(diǎn)三 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)綜合 5.已知f(x)＝log2(1－x)＋log2(1＋x)． (1)求f(x)的定義域； (2)判斷f(x)的奇偶性． 解　(1)∵1－x>0且1＋x>0，∴－1<x<1. ∴f(x)的定義域?yàn)閧x|－1<x<1}． (2)由(1)知，f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， ∵f(－x)＝log2(1＋x)＋log2(1－x)＝f(x)， ∴f(x)是偶函數(shù)． 6．已知函數(shù)f(x)＝lg 的定義域?yàn)?－1,1)． (1)求f＋f－； (2)探究函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并證明． 解　(1)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,1)，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱， 且f(－x)＝lg ＝－lg ＝－f(x)， ∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)， ∴f＋f－＝f－f＝0； (2)任取x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝lg －lg ＝lg ·＝lg . ∵－1＜x1＜x2＜1， ∴1＋x2＞1＋x1＞0,1－x1＞1－x2＞0， ∴＞1，＞1，則＞1. ∴l(xiāng)g ＞0，即f(x1)＞f(x2)． ∴函數(shù)f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)． 易錯(cuò)點(diǎn) 忽視底數(shù)a對(duì)函數(shù)圖象的影響 7.已知a>0，且a≠1，則函數(shù)y＝ax與y＝loga(－x)的圖象只能是(　　) 易錯(cuò)分析　解答本題易混淆函數(shù)類型或忽視底數(shù)a對(duì)函數(shù)圖象的影響致誤． 答案　B 正解　若0<a<1，則函數(shù)y＝ax的圖象下降且過(guò)點(diǎn)(0,1)，函數(shù)y＝loga(－x)的圖象上升且過(guò)點(diǎn)(－1,0)，以上圖象均不符合． 若a>1，則函數(shù)y＝ax的圖象上升且過(guò)點(diǎn)(0,1)，函數(shù)y＝loga(－x)的圖象下降且過(guò)點(diǎn)(－1,0)，只有B中圖象符合． 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P58 一、選擇題 　　　　　　　 　 　　　　　 　 　 1．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的反函數(shù)且f(2)＝1，則f(x)＝(　　) A．log2x B. C．logx D．2x－2 答案　A 解析　∵y＝ax的反函數(shù)為y＝logax， ∴f(x)＝logax，∵f(2)＝1，即loga2＝1， ∴a＝2，則f(x)＝log2x，選A. 2．函數(shù)y＝lg (x＋1)的圖象大致是(　　) 答案　C 解析　當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，而且函數(shù)為增函數(shù)，可見(jiàn)只有C符合． 3．函數(shù)f(x)＝|logx|的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A. B．(0,1] C．(0，＋∞) D．[1，＋∞) 答案　D 解析　f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知單調(diào)遞增區(qū)間為[1，＋∞)． 4．已知實(shí)數(shù)a＝log45，b＝0，c＝log30.4，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．b<c<a B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a 答案　D 解析　由題知，a＝log45>1，b＝0＝1，c＝log30.4<0，故c<b<a. 5．若函數(shù)f(x)＝且f(a)＞f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 答案　C 解析　由分段函數(shù)的表達(dá)式知，需要對(duì)a的正負(fù)進(jìn)行分類討論．由f(a)＞f(－a)，得或即或解得a＞1或－1＜a＜0. 二、填空題 6．設(shè)函數(shù)f(x)＝log2x的反函數(shù)為y＝g(x)，若g＝，則a＝________. 答案　 解析　由反函數(shù)的定義可得，函數(shù)f(x)＝log2x的反函數(shù)為g(x)＝2x，又g＝，所以2＝＝2－2，解得a＝. 7．若loga<1(a>0，且a≠1)，那么a的取值范圍是________． 答案　∪(1，＋∞) 解析　∵loga<1＝logaa，∴0<a<1時(shí)，>a；a>1時(shí)，<a.解得0<a<或a>1. 8．若函數(shù)f(x)＝|logx|的定義域?yàn)?，值域?yàn)閇0,1]，則m的取值范圍為_(kāi)_______． 答案　[1,2] 解析　作出f(x)＝|logx|的圖象(如圖)，可知f＝f(2)＝1，f(1)＝0，由題意結(jié)合圖象知1≤m≤2. 三、解答題 9．已知函數(shù)y＝log(x2－ax＋a)在區(qū)間(－∞，)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上是減函數(shù)， ∵0<<1，∴y＝logg(x)是減函數(shù)，而已知復(fù)合函數(shù)y＝log(x2－ax＋a)在區(qū)間(－∞，)上是增函數(shù)， ∴只要g(x)在(－∞，)上單調(diào)遞減，且g(x)>0， 即 ∴2≤a≤2(＋1)， 故a的取值范圍是[2，2(＋1)]． 10．已知函數(shù)f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0<a<1. (1)求函數(shù)f(x)的定義域； (2)若函數(shù)f(x)的最小值為－4，求a的值． 解　(1)要使函數(shù)有意義，則有 解得－3<x<1，所以函數(shù)的定義域?yàn)?－3,1)； (2)函數(shù)可化為： f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝loga(－x2－2x＋3) ＝loga[－(x＋1)2＋4]， 因?yàn)椋?<x<1，所以0<－(x＋1)2＋4≤4， 因?yàn)?<a<1，所以loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4， 即f(x)min＝loga4，由loga4＝－4得a－4＝4，所以a＝4－＝. - 7 -