2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 課后作業(yè)12 平面與平面垂直的判定 北師大版必修2

課后作業(yè)(十二) (時(shí)間45分鐘) 學(xué)業(yè)水平合格練(時(shí)間20分鐘) 1．已知直線l⊥平面α，則經(jīng)過(guò)l且和α垂直的平面(　　) A．有1個(gè) B．有2個(gè) C．有無(wú)數(shù)個(gè) D．不存在 [解析]　經(jīng)過(guò)l的平面都與α垂直，而經(jīng)過(guò)l的平面有無(wú)數(shù)個(gè)，故選C. [答案]　C 2．在棱長(zhǎng)都相等的四面體P－ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，則下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC [解析]　可畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形，如圖所示，則BC∥DF，又DF平面PDF，BC平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面PAE，故B成立；又DF平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立． [答案]　C 3．如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面ABC，點(diǎn)C是圓上的任意一點(diǎn)，圖中互相垂直平面的對(duì)數(shù)為(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 [解析]　∵PA⊥圓O所在平面ABC， ∴平面PAB⊥平面ABC， 同理可得：平面PAC⊥平面ABC， ∵AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC， 又∵PA⊥圓O所在平面ABC，BC平面ABC， ∴PA⊥BC. 又∵PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC. ∴BC⊥平面PAC. 又∵BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC. 綜上相互垂直的平面共有3對(duì)． [答案]　B 4．如圖所示，在三棱錐D—ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是(　　) A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE [解析]　∵AB＝CB，AD＝CD，E為AC的中點(diǎn)，∴AC⊥BE，AC⊥DE，∴AC⊥平面BDE.∵AC平面ABC，∴平面ABC⊥平面BDE.同理平面ADC⊥平面BDE. [答案]　C 5．如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，則圖中所有互相垂直的平面共有(　　) A．8對(duì) B．7對(duì) C．6對(duì) D．5對(duì) [解析]　由PA⊥平面ABCD可得平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面ABCD.又ABCD為正方形，CD⊥AD，因?yàn)镻A⊥CD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，同理可得，平面PBC⊥平面PAB，平面PAC⊥平面PBD.共7對(duì)． [答案]　B 6.在三棱錐P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如圖所示，則在三棱錐P－ABC的四個(gè)面中，互相垂直的面有________對(duì)． [解析]　∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P ∴PA⊥平面PBC ∵PA平面PAB，PA平面PAC ∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.同理可證：平面PAB⊥平面PAC. [答案]　3 7．在三棱錐S－ABC中，AC⊥平面SBC，已知SC＝a，BC＝a，SB＝2a，則二面角S－AC－B的平面角是________． [解析]　由已知可得AC⊥平面SBC，AC、BC平面SBC，所以AC⊥SC，AC⊥BC，所以∠SCB是二面角S－AC－B的平面角，又SC＝a，BC＝a，SB＝2a，所以SB2＝SC2＋BC2，故△SCB為直角三角形，∴∠SCB＝90°. [答案]　90° 8．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷： ①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α. 以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：________.(用序號(hào)表示) [解析]　當(dāng)m⊥α，m⊥n時(shí)，有n∥α或nα. ∴當(dāng)n⊥β時(shí)，α⊥β，即①③④?②.或當(dāng)α⊥β，m⊥α?xí)r，有m∥β或mβ. ∴當(dāng)n⊥β時(shí)m⊥n，即②③④?①. [答案]?、佗邰?②(或②③④?①) 9.如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，直線SC⊥平面ABCD，E是SA的中點(diǎn)，求證：平面EDB⊥平面ABCD. [證明]　連接AC，交BD于點(diǎn)F，連接EF， ∴EF是△SAC的中位線，∴EF∥SC. ∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD. 又EF平面EDB， ∴平面EDB⊥平面ABCD. 10．已知正四棱錐(底面為正方形各側(cè)面為全等的等腰三角形)的體積為12，底面對(duì)角線的長(zhǎng)為2，求側(cè)面與底面所成的二面角． [解]　設(shè)正四棱錐為S－ABCD，如圖所示，高為h，底面邊長(zhǎng)為a， 則2a2＝(2)2，∴a2＝12.又a2h＝12，∴h＝＝3. 設(shè)O為S在底面上的射影，作OE⊥CD于E，連接SE， 可知SE⊥CD，∠SEO為所求二面角的平面角． tan∠SEO＝＝＝＝，∴∠SEO＝60°. ∴側(cè)面與底面所成二面角的大小為60°. 應(yīng)試能力等級(jí)練(時(shí)間25分鐘) 11．一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系為(　　) A．相等 B．互補(bǔ) C．相等或互補(bǔ) D．不確定 [解析]　反例：如圖， 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是CD，C1D1的中點(diǎn)，二面角D－AA1－E與二面角B1－AB－D的兩個(gè)半平面就是分別對(duì)應(yīng)垂直的，但是這兩個(gè)二面角既不相等，也不互補(bǔ)，故選D. [答案]　D 12．如圖，P是菱形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且PA＝PC，則平面PAC與平面PBD之間的關(guān)系是________． [解析]　設(shè)AC∩BD＝O，∵四邊形ABCD為菱形，∴O為AC的中點(diǎn)，∵PA＝PC，∴PO⊥AC，∵BD⊥AC，BD∩PO＝O，∴AC⊥平面PBD，又AC平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD. [答案]　垂直 13.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿(mǎn)足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為正確的即可) [解析]　∵四邊形ABCD的邊長(zhǎng)相等 ∴四邊形為菱形．∴AC⊥BD 又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD ∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC. 若PC⊥平面BMD，則PC垂直于平面BMD中兩條相交直線．∴當(dāng)BM⊥PC時(shí)，PC⊥平面BDM. ∴平面PCD⊥平面BDM. [答案]　BM⊥PC 14.如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6. (1)求證：BD⊥平面PAC； (2)連接PE，求∠PEA的大?。? [解]　(1)證明：連接BD、AC交于E ∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD. ∴BD⊥PA. 又tan∠ABD＝＝，tan∠BAC＝＝. ∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC. 又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC. (2)在Rt△AEB中，AE＝AB·sin∠ABD＝ ∴tan∠AEP＝＝，∴∠AEP＝60°. 15．如下圖所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中點(diǎn)，沿BE將△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求證：平面A′BE⊥平面BCDE. [證明]　如圖所示，取CD的中點(diǎn)M，BE的中點(diǎn)N， 連接A′M，A′N(xiāo)，MN，則MN∥BC. ∵AB＝AD，E是AD的中點(diǎn)， ∴AB＝AE，即A′B＝A′E. ∴A′N(xiāo)⊥BE.∵A′C＝A′D， ∴A′M⊥CD. 在四邊形BCDE中，CD⊥MN， 又MN∩A′M＝M， ∴CD⊥平面A′MN， ∴CD⊥A′N(xiāo). ∵DE∥BC且DE＝BC，∴BE必與CD相交． 又A′N(xiāo)⊥BE，A′N(xiāo)⊥CD，∴A′N(xiāo)⊥平面BCDE. 又A′N(xiāo)平面A′BE， ∴平面A′BE⊥平面BCDE. 7