2019年高中數學 第二章 平面向量 2.5.1 平面幾何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的應用舉例練習（含解析）新人教A版必修4

2.5.1　平面幾何中的向量方法2.5.2　向量在物理中的應用舉例 1.若向量=(1,1),=(-3,-2)分別表示兩個力F1,F2,則|F1+F2|為(　C　) (A) (B)2 (C) (D) 解析:由于F1+F2=(1,1)+(-3,-2)=(-2,-1), 所以|F1+F2|==,故選C. 2.平行四邊形ABCD的三個頂點分別是A(4,2),B(5,7),C(-3,4),則頂點D的坐標是(　D　) (A)(12,5) (B)(-2,9) (C)(3,7) (D)(-4,-1) 解析:設D(x,y),由=知(1,5)=(-3-x,4-y),即所以故選D. 3.平面內四邊形ABCD和點O,若=a,=b,=c,=d,且a+c=b+d,則四邊形ABCD為(　D　) (A)菱形 (B)梯形 (C)矩形 (D)平行四邊形 解析:由題意知a-b=d-c,所以=, 所以四邊形ABCD為平行四邊形.故選D. 4.已知△ABC中,·<0,則△ABC為(　A　) (A)鈍角三角形 (B)直角三角形 (C)銳角三角形 (D)等腰直角三角形 解析:由已知得,∠A為鈍角,故△ABC為鈍角三角形. 5.已知三個力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同時作用于某物體上一點,為使物體保持平衡,需再加上一個力f4,則f4等于(　D　) (A)(-1,-2) (B)(1,-2) (C)(-1,2) (D)(1,2) 解析:f1+f2+f3=(-1,-2),由題意,得f4=-(f1+f2+f3)=(1,2).選D. 6.設a,b,c為同一平面內具有相同起點的任意三個非零向量,且滿足a與b不共線,a⊥c,|a|=|c|,則|b·c|的值一定等于(　A　) (A)以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積 (B)以b,c為鄰邊的平行四邊形的面積 (C)以a,b為兩邊的三角形的面積 (D)以b,c為兩邊的三角形的面積 解析:由題知a⊥c,所以|cos<b,c>|=|sin<a,b>|, 又|a|=|c|, 所以|b·c|=|b||c||cos<b,c>|=|b||a||sin<a,b>|. 故選A. 7.如圖所示,矩形ABCD中,AB=4,點E為AB中點,若⊥,則||等于(　B　) (A) (B)2 (C)3 (D)2 解析:建立如圖所示的直角坐標系, 則A(0,0),B(4,0),E(2,0). 設D(0,m)(m>0),C(4,m), 則=(2,-m),=(4,m). 因為⊥,所以2×4-m2=0,解得m2=8. 所以||==2.故選B. 8.△ABC是邊長為2的等邊三角形,已知向量a,b滿足=2a,=2a+b,則下列結論正確的是(　D　) (A)|b|=1 (B)a⊥b (C)a·b=1 (D)(4a+b)⊥ 解析:因為b=-=, 所以|b|=||=2,故A錯; 因為·=2×2×cos 60°=2,即-2a·b=2, 所以a·b=-1,故B,C都錯; 因為(4a+b)·=(4a+b)·b=4a·b+b2=-4+4=0, 所以(4a+b)⊥,故選D. 9.若力F1,F2,F3達到平衡且F1,F2大小均為1,夾角為60°,則F3的大小為　　　　.  解析:F1·F2=1×1×cos 60°=, 由F1+F2+F3=0可得F3=-(F1+F2), =(F1+F2)2=++2F1·F2=1+1+2×=3, 則|F3|=. 答案: 10.已知點A(2,0),B(-4,4),C(1,-1),D是線段AB的中點,延長CD到點E,使||=2||,則點E的坐標為　　　　.  解析:由已知,得D(-1,2). 因為||=2||,所以=2. 設E(x,y),則有(-2,3)=2(x+1,y-2), 所以所以 答案:(-2,) 11.在邊長為1的正三角形ABC中,·+·+·=　　　　.  解析:·+·+· =·(+)+· =·-· =--||||cos 60° =-12-1×1×=-. 答案:- 12.如圖,已知△ABC的面積為,AB=2,·=1,則AC邊的長為　　　　.  解析:設點C的坐標為(x,y). 因為AB=2,所以B點坐標是(2,0), 所以=(2,0),=(x-2,y). 因為·=1,所以2(x-2)=1,所以x=. 又S△ABC=,所以||·|y|=. 所以y=. 所以C點坐標為(,),從而=(,), 所以||==. 故AC邊的長為. 答案: 13.已知F=(2,3)作用于一物體,使物體從A(2,0)移動到B(-2,3),求F對物體所做的功. 解:=(-4,3), W=F·s=F·=(2,3)·(-4,3)=-8+9=1(J). 所以力F對物體所做的功為1 J. 14.已知O,A,B,C是平面內四點,=sin2α+cos2α,α是銳角. (1)證明:C在線段AB上; (2)若α=45°,||=||=1,且|-|=,求||的大小. (1)證明:因為sin2α+cos2α=1,=sin2α+cos2α, 所以A,B,C共線,且C在線段AB上. (2)解:由題意,C是AB的中點, 因為||=||=1,且|-|=, 所以OA⊥OB,所以||=||=. 15.已知點A(1,2)和B(4,-1),問能否在y軸上找到一點C,使∠ACB= 90°,若不能,請說明理由;若能,求出C點的坐標. 解:假設存在點C(0,y)使∠ACB=90°,則⊥. 因為=(-1,y-2),=(-4,y+1),⊥, 所以·=4+(y-2)(y+1)=0, 所以y2-y+2=0. 而在方程y2-y+2=0中,Δ<0, 所以方程無實數解,故不存在滿足條件的點C. 16.已知,是非零向量且滿足(-2)⊥,(-2)⊥,則 △ABC的形狀是(　D　) (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等邊三角形 解析:因為(-2)⊥, 所以(-2)·=0, 所以-2·=0,所以=2·. 因為(-2)⊥,所以(-2)·=0, 所以-2·=0,所以=2·, 所以=,所以||=||,△ABC為等腰三角形. 又因為=2·=2||2·cos A, 所以2cos A=1,cos A=,∠A=60°, 所以△ABC是等邊三角形. 17.在平面直角坐標系中,點O(0,0),P(6,8),將向量繞點O按逆時針方向旋轉后得向量,則點Q的坐標是 (　A　) (A)(-7,-) (B)(-7,) (C)(-4,-2) (D)(-4,2) 解析:設點Q(x,y),由題意得||=||==10,所以x2+y2=100.① 因為向量與的夾角為, 所以cos ===-, 所以3x+4y=-25.　 ② 由①②解得或 又因為點Q在第三象限, 所以點Q的坐標為(-7,-). 18.點P在平面上做勻速直線運動,速度v=(4,-3)(即點P的運動方向與v相同,且每秒移動的距離為|v|個單位).設開始時點P的坐標為(-10,10),則5秒后點P的坐標為　　　　.  解析:設5秒后,點P運動到點A, 則=+=5v=(20,-15), 所以=(20,-15)+(-10,10)=(10,-5). 答案:(10,-5) 19.已知P為△ABC所在平面內一點,且滿足=+,則△APB的面積與△APC的面積之比為　　　　.  解析:5=+2, 2-2+2=-, -2(+)=, 如圖所示,=2=4, 所以===. 答案:1∶2 20.已知O為坐標原點,向量=(3cos x,3sin x),=(3cos x, sin x),=(,0),x∈(0,). (1)求證:(-)⊥; (2)若△ABC是以B為頂點的等腰三角形,求x的值. (1)證明:因為-=(0,2sin x), 所以(-)·=0×+2sin x×0=0, 所以(-)⊥. (2)解:若△ABC是以B為頂點的等腰三角形,則AB=BC, 所以(2sin x)2=(3cos x-)2+sin2x, 整理得2cos2x-cos x=0, 解得cos x=0,或cos x=, 因為x∈(0,), 所以cos x=,x=. - 8 -