高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式大全

導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則,基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,(x ) = x -1 .,(ax) = ax lna .,(ex) = ex.,(sin x) = cos x.,(cos x) = - sin x.,(tan x) = sec2x .,(cot x) = - csc2x .,(sec x) = sec x tan x .,(csc x) = - csc x cot x .,另外還有反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：,定理2. 1設(shè)函數(shù) u(x)、v(x) 在 x 處可導(dǎo)，,在 x 處也可導(dǎo)，,(u(x) v(x) = u(x) v (x);,(u(x)v(x) = u(x)v(x) + u(x)v(x);,導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算,且,則它們的和、差、積與商,推論 1(cu(x) = cu(x) (c 為常數(shù)).,推論 2,乘法法則的推廣：,補(bǔ)充例題： 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,解根據(jù)推論 1 可得 (3x4) = 3(x4)，,(5cos x) = 5(cos x)，,(cos x) = - sin x，,(ex) = ex，,(1) = 0，,故,f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1) ,= (3x4) -(ex ) + (5cos x) - (1),= 12x3 - ex - 5sin x .,f (0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1,又(x4) = 4x3，,例 1設(shè) f (x) = 3x4 ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0).,例 2設(shè) y = xlnx ，,求 y .,解根據(jù)乘法公式，有,y = (xlnx),= x (lnx) + (x)lnx,解根據(jù)除法公式，有,教材P32 例2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,解：,高階導(dǎo)數(shù),如果可以對(duì)函數(shù) f(x) 的導(dǎo)函數(shù) f (x) 再求導(dǎo)，,所得到的一個(gè)新函數(shù)，,稱為函數(shù) y = f(x) 的二階導(dǎo)數(shù)，,記作 f (x) 或 y 或,如對(duì)二階導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)，則稱三階導(dǎo)數(shù)，,記作 f (x) 或,四階或四階以上導(dǎo)數(shù)記為 y(4)，y(5)， ，y(n),或 ，,而把 f (x) 稱為 f (x) 的一階導(dǎo)數(shù).,例3 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù),解：,二階以上的導(dǎo)數(shù)可利用后面的數(shù)學(xué)軟件來(lái)計(jì)算,推論設(shè) y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) y = f ( (x) 也可導(dǎo)，,以上法則說(shuō)明：復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合 函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù).,先將要求導(dǎo)的函數(shù)分解成基本初等函數(shù),或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商.,任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求出.,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵: 正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).,求導(dǎo)方法小結(jié)：,例5：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù),（1） （2） （3） （4）,二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法,求 對(duì)自變量 (或 )的偏導(dǎo)數(shù)時(shí),只須將另一自變量 (或 )看作常數(shù),直接利用一元函數(shù)求導(dǎo)公式和四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.,例1 設(shè)函數(shù),求,解：,例2 設(shè)函數(shù),解：,類似可得,二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù),函數(shù) z = f ( x , y ) 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù),一般說(shuō)來(lái)仍然是 x , y 的函數(shù)，,如果這兩個(gè)函數(shù)關(guān)于 x , y 的偏導(dǎo)數(shù)也存在，,則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)是 f (x , y)的二階偏導(dǎo)數(shù).,依照對(duì)變量的不同求導(dǎo)次序，,二階偏導(dǎo)數(shù)有四個(gè)：（用符號(hào)表示如下）,其中 及 稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù).,類似的，可以定義三階、四階、 、n 階偏導(dǎo)數(shù)，,二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)，,稱為函數(shù) f ( x , y ) 的一階偏導(dǎo)數(shù).,注：當(dāng)兩個(gè)二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，它們是相等的 即,例 3,試求函數(shù)的四個(gè)二階偏導(dǎo)函數(shù),思考題一,求曲線 上與 軸平行的切線方程.,思考題一解答,令,切點(diǎn)為,所求切線方程為,和,