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回歸分析與協(xié)方差分析.ppt

  • 資源ID:11657221       資源大?。?span id="seqyi4c" class="font-tahoma">2.04MB        全文頁數(shù):50頁
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回歸分析與協(xié)方差分析.ppt

回歸分析與協(xié)方差分析,內(nèi)容,,9.1一元線性回歸,學(xué)習(xí)目標(biāo),,散點圖,回歸系數(shù),正規(guī)方程,經(jīng)驗回歸方程;回歸平方和,剩余平方和,相關(guān)系數(shù),顯著性檢驗.,不確定關(guān)系,人的身高,體重,農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量,施肥量,9.1一元線性回歸,1.一元線性回歸的基本概念,線性模型,例為了研究彈簧懸掛不同重量(單位:克力)x時長度(單位:厘米)y的關(guān)系。通過試驗得到一組數(shù)據(jù)。,重量xi51015202530長度yj7.258.128.959.9010.9011.80,把這些數(shù)據(jù)點(xi,yj)畫在xoy坐標(biāo)系中,圖形稱為散點圖。,,,,*,*,*,*,*,*,L,散點圖,記L為,進行n次獨立試驗,測得數(shù)據(jù)如下:,我們的問題是,如何根據(jù)這些觀測值用“最佳的”形式來表達變量Y與X之間的相關(guān)關(guān)系?,一般而言,在變量x取值以后,若Y所取的值服從N(α+βx,σ2)分布,當(dāng)α、β及σ2未知時,根據(jù)樣本(x1,Y1),(x2,Y2),…,(xn,Yn)的觀測值(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)對未知參數(shù)α、β及σ2所作的估計與檢驗稱為一元線性回歸分析,而α稱為截距,β稱為回歸系數(shù),E(Y)=α+βx稱為回歸方程。,由回歸方程可以推出,根據(jù)樣本及其觀測值可以得到α、β及σ2的估計量及估計值,得到回歸方程的估計式或經(jīng)驗回歸方程,最常用的是最小二乘法,即求出,的值最小,所求出的a稱為經(jīng)驗截距,簡稱為截距,b稱為經(jīng)驗回歸系數(shù),簡稱為回歸系數(shù),而,2.總體中未知參數(shù)的估計,根據(jù)最小二乘法的要求由,得到一元線性回歸的正規(guī)方程組,并求出,建立一元線性回歸方程的具體步驟:,(3)計算b和a,寫出一元線性回歸方程。,與上述a和b相對應(yīng)的Q的數(shù)值又記作SSE,稱為剩余平方和。,將a、b和SSE以及和看作是統(tǒng)計量,它們的表達式分別為,這些統(tǒng)計量之間以及它們與總體參數(shù)之間有以下的內(nèi)在聯(lián)系:,①為提高a的估計精度,最理想的選擇是使=0,其絕對值越小越好;,②為提高b的估計精度,應(yīng)該使lxx取較大的數(shù)值,x1、x2、…、xn越分散越好;③觀測值的個數(shù)n不能太小。,3.線性回歸方程的顯著性檢驗,因此,必須對回歸方程的擬合情況或效果作顯著性檢驗。,其理論基礎(chǔ)就是總平方和的分解,即,表示n個y1、y2、…、yn與之間的差異,當(dāng)各個yi已知時,它是一個定值,稱為總平方和,記作SST。,通過回歸已經(jīng)達到了最小值,稱為剩余平方和,記作SSE。,稱為回歸平方和,記作SSR。,因此,SST=SSE+SSR。,如果SSR的數(shù)值較大,SSE的數(shù)值便比較小,說明回歸的效果好;如果SSR的數(shù)值較小,SSE的數(shù)值便比較大,說明回歸的效果差。,如果|r|較大,SSE的數(shù)值便比較小,說明回歸的效果好或者說x與Y的線性關(guān)系密切;如果|r|較小,SSE的數(shù)值便比較大,說明回歸的效果差或者說x與Y的線性關(guān)系不密切;因此稱r為x與Y的觀測值的相關(guān)系數(shù)。又由r及回歸系數(shù)的計算公式,可以推出:r>0時b>0,x增加時Y的觀測值呈增加的趨勢;r0時稱x與Y正相關(guān),r<0時稱x與Y負相關(guān)。,綜上所述,如果設(shè)H0為β=0,也就是假設(shè)x與Y不是線性關(guān)系,則可以用以下三種實質(zhì)相同的方法檢驗線性回歸方程的顯著性,且當(dāng)檢驗的結(jié)果顯著時x與Y的線性關(guān)系顯著,回歸方程可供應(yīng)用;當(dāng)檢驗的結(jié)果不顯著時x與Y的線性關(guān)系不顯著,回歸方程不可應(yīng)用。,⑴F檢驗法:,,當(dāng)H0為真時,,且SSR與SSE相互獨立;因此,當(dāng)H0為真時,,當(dāng)F≥F1-α(1,n-2)時應(yīng)該放棄原假設(shè)H0。,(2)t檢驗法:,當(dāng)H0為真時,,當(dāng)|t|≥t1-0.5α(n-2)時應(yīng)該放棄原假設(shè)H0。,(3)r檢驗法:,根據(jù)x與Y的觀測值的相關(guān)系數(shù),可以推出,當(dāng)H0為真時,,當(dāng)F≥F1-α(1,n-2)或|r|≥rα(n-2)時應(yīng)該放棄原假設(shè)H0,式中的,,可由r檢驗用表中查出。,因此,r常常用來表示x與Y的線性關(guān)系在x與Y的全部關(guān)系中所占的百分比,又稱為x與Y的觀測值的決定系數(shù)。,4.利用回歸方程進行點預(yù)測和區(qū)間預(yù)測,若線性回歸作顯著性檢驗的結(jié)果是放棄H0,也就是放棄回歸系數(shù)β=0的假設(shè),便可以利用回歸方程進行點預(yù)測和區(qū)間預(yù)測,這是人們關(guān)注線性回歸的主要原因之一。,⑴當(dāng)x=x0時,,Y0的觀測值y0的點預(yù)測是無偏的。,⑵當(dāng)x=x0時,用適合不等式P{Y0∈(G,H)}≥1-α的統(tǒng)計量G和H所確定的隨機區(qū)間(G,H)預(yù)測Y0的取值范圍稱為區(qū)間預(yù)測,而(G,H)稱為Y0的1-α預(yù)測區(qū)間。,若Y0與樣本中的各Yi相互獨立,則根據(jù)Z=Y(jié)0-(a+bx0)服從正態(tài)分布,E(Z)=0,,Z與SSE相互獨立,,可以導(dǎo)出,因此,Y0的1-α預(yù)測區(qū)間為a+bx0Δ(x0),,例1.1《吸附方程》某種物質(zhì)在不同溫度下可以吸附另一種物質(zhì),如果溫度x(單位:℃)與吸附重量Y(單位:mg)的觀測值如下表所示:,溫度x1.51.82.43.03.53.94.44.85.0,重量y4.85.77.08.310.912.413.113.615.3,試求線性回歸方程并用三種方法作顯著性檢驗,若x0=2,求Y0的0.95預(yù)測區(qū)間。,解:根據(jù)上述觀測值得到n=9,,所求的線性回歸方程為,顯著性檢驗方法⑴F檢驗法:SST=lyy=114.516,SSR=blxy=112.485,SSE=SST-blxy=2.031,n-2=7,F(xiàn)0.99(1,7)=12.2,,所以回歸方程極顯著;,⑵t檢驗法:,,所以回歸方程極顯著;,(3)r檢驗法:,所以回歸方程極顯著.,Y0的0.95預(yù)測區(qū)間為(4.09,8.15)。這說明當(dāng)溫度為2時,應(yīng)該預(yù)測吸附另一種物質(zhì)的重量在4.09至8.15之間,并且預(yù)測100次將有95次是正確的。,例1.2《植物保護》一些夏季害蟲的盛發(fā)期與春季溫度有關(guān),現(xiàn)有1956-1964年間3月下旬至4月中旬旬平均溫度的累計數(shù)x和一代三化螟蛾盛發(fā)期Y(以5月10日為0)的觀測值如下:,溫度x35.534.131.740.336.840.231.739.244.2,盛發(fā)期y12169273139-1,試求線性回歸方程并用三種方法作顯著性檢驗,若x0=40,求Y0的0.95預(yù)測區(qū)間。,解:根據(jù)上述觀測值得到n=9,,所求的線性回歸方程為,顯著性檢驗方法⑴F檢驗法:SST=lyy=249.5556,SSR=blxy=174.8886,SSE=SST-blxy=74.6670,n-2=7,F(xiàn)0.99(1,7)=12.2,,所以回歸方程極顯著;,⑵t檢驗法:,所以回歸方程極顯著;,(3)r檢驗法:,所以回歸方程極顯著.,Y0的0.95預(yù)測區(qū)間為(-3.80,12.92)。,這說明當(dāng)3月下旬至4月中旬旬平均溫度的累計數(shù)為40時,應(yīng)該預(yù)測一代三化螟蛾盛發(fā)期為5月6日至5月23日之間,并且預(yù)測100次將有95次是正確的。,

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