2020屆高考數學大二輪復習 沖刺創(chuàng)新專題 題型2 解答題 規(guī)范踩點 多得分 第1講 解答題的解法研究練習 文

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1、第1講　解答題的解法研究 一 數形結合思想方法 數形結合思想包含“以形助數”和“以數輔形”兩方面的內容：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數作為目的，比如應用函數的圖象來說明函數的性質；二是借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，比如應用曲線的方程來精確的闡明曲線的幾何性質．我們在解決數學問題時，應將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，實現抽象概念與具體形象的互化，從而得到原題的解． 總體目標：通過數形結合，抽象問題具體化，復雜問題簡單化． 解題途徑：根據問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義

2、，又揭示其幾何直觀，使數量精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡． 常見的手段：構造法、轉化法、數形結合、分離變量法等等． 典例1　記實數x1，x2，…，xn中最小數為min{x1，x2，…，xn}，求定義在區(qū)間[0，＋∞)上的函數f(x)＝min{x2＋1，x＋3,13－x}的最大值． 【方法點睛】　利用函數的圖象求最值，避免分段函數的討論，正確作出函數的圖象是解決此類問題的關鍵，數形結合應以快和準為原則． 典例2　關于x的方程sin2x＋cos2x＝a＋1在上有兩個不同的根，求實數a的取值范圍．

3、 【方法點睛】　本題要解的是一個帶參數的三角方程，直接解比較困難，可以從函數的角度來研究本方程的解．通過變形，左邊看成函數y1＝sin的圖象的一部分，右邊看成y2＝的圖象．因此，方程的解可通過“數形結合”方法輕松獲得．對于三角方程的解的個數問題，經?？煽紤]此思想方法解決． 　　　　　　 典例3　在平面直角坐標系xOy中，點B與點A(－1,1)關于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于－. (1)求動點P的軌跡方程； (2)設直線AP和BP分別與直線x＝3交于點M，N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

4、【方法點睛】　本題的想法看似簡單，即設P(x0，y0)，分別寫出直線AP和BP的方程，根據已知條件用x0，y0分別表示出△PAB與△PMN的面積，從而得到x0，y0的一個關系式，再結合點P(x0，y0)在橢圓x2＋3y2＝4上，得到第二個方程，從而問題轉化為解方程組，這是很多學生很容易想到的做法，可是這看似簡單的想法計算卻非常不簡單．如果能先作出圖形，根據△PAB與△PMN的面積相等，得到M是NC中點，易知B為AC中點，從而AM，BN都是中線，因此P為△ANC的重心，而A，N，C三點橫坐標易求得，故P點的橫坐標也就易求出來了．代入橢圓，很快求出P點的縱坐標．在解析幾何求解過程中，如果適當考慮其

5、中的幾何關系，計算量將大大減少，“數形結合”，事半功倍，提高解題效率． 　　　　　　 典例4　已知函數f(x)＝|2x－3|－|x＋1|. (1)若不等式f(x)≤a的解集是空集，求實數a的取值范圍； (2)若存在x0∈R，使得2f(x0)≤－t2＋4|t|成立，求實數t的取值范圍． 【方法點睛】　本題如果從不等式角度進行考慮，非常不好描述，而且不易求出正確解．根據題意，將不等式恒成立問題和存在性問題轉化為函數值域與參數的比較問題，思路清晰明了，再通過數形結合，很快求出相關函數的值域，繼而求出參數的取值范圍．在求解過程中，“數形結合”大大簡化了計算量． 二 轉化與

6、化歸思想 數學思想中的一條重要原則是轉化與化歸，不斷地變更數學問題，使要解決的問題化難為易，或變未知為已知，或把某一數學分支中的問題轉化為另外一個數學分支中的問題，最終求出原題的解． 總體目標：化難為易，化生為熟，化繁為簡． 解題途徑：函數、方程、不等式間的轉化；數與形間的轉化；一般與特殊的轉化；整體與局部的轉化；正面與反面的轉化等等． 常見的方法：換元法、數形結合法、構造法、設參法、特殊法，拆分與整合等． 典例1　設f(x)是定義在R上的單調增函數，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)對任意a∈[－1,1]恒成立，求x的取值范圍． 【方法點睛】　將不等式恒成立問題轉化為求

7、函數的值域問題，在轉化過程中，用到了構造函數法，次元、主元調換法，最后通過解不等式得到答案． 　　　　　　 典例2　(2017·浙江高考)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，求|a＋b|＋|a－b|的最小值和最大值． 【方法點睛】　一般問題特殊化，使問題處理變得直接、簡單．特殊問題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律，從而達到成批處理問題的效果． 　　　　　　 典例3　已知函數f(x)＝. (1)當x≥0時，f(x)≤(m>0)恒成立，求實數m的取值范圍； (2)求證：f(x)ln x<. 【方法點睛】　對于恒成立問題和存在性問題，經?？煽?/p>

8、慮用分離變量的辦法將不等式問題轉化為兩個函數值域的問題．在求函數值域時，經常用構造法，通過導數來分析單調性，求得函數的值域，繼而建立與參數有關的不等式，最終求得參數的取值范圍．當然在本題中導函數的零點不易求出，我們用了設而不求的方法，間接解決問題．實際上，在解決數學題時“無處不轉化”． 　　　　　　 典例4　已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的四個頂點所構成的菱形面積為6，且橢圓的焦點為拋物線y＝x2－8與x軸的交點． (1)求橢圓C的方程； (2)設直線l與橢圓C交于A，B兩點，若AD⊥BD，且D(3,0)，求△ABD面積的最大值． 【方法點睛】　在求橢圓方程時，經常把條

9、件轉化為方程組，方程組解出來即得到橢圓方程．在解答圓錐曲線相關問題時，經常借助相關點的坐標來研究相關性質，如定點、共線、最值等問題．轉化的基本方向：消元，降次，化簡． 三 分類整合思想方法 在解某些數學問題時，我們常常會遇到這樣一種情況：解到某一步之后，發(fā)現問題的發(fā)展是按照不同的方向進行的．當被研究的問題包含了多種情況時，就必須抓住主導問題發(fā)展方向的主要因素，在其變化范圍內，根據問題的不同發(fā)展方向，劃分為若干部分分別研究，這就是分類整合思想方法．分類整合是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練學

10、生的思維條理性和概括性，因此在高考試題中占有重要的位置． 總體目標：大化小，整體化為部分，一般化為特殊． 解題途徑：根據問題的不同發(fā)展方向，劃分為若干部分分別進行研究，研究的基本方向是“分”，但分類解決問題之后，還必須把它們整合在一起． 常見的方法：化整為零、積零為整、構造法、轉化法、數形結合、分離變量法等等． 　　　　　　 典例1　(2018·全國卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|. (1)當a＝1時，求不等式f(x)>1的解集； (2)若x∈(0,1)時不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍． 【方法點睛】　本題(1)(2)問都涉及到絕對值不等式，要把絕對值去

11、掉，解答才得以繼續(xù)進行，在第(1)問中，通過對變量x進行分類討論，絕對值不等式轉化為一次不等式，原不等式從而得到解答；(2)問中對參數a進行討論，去掉絕對值，求出參數范圍． 　　　　　　 典例2　設b∈R，數列{an}的前n項和Sn＝3n＋b，試判斷{an}是否是等比數列？并說明理由． 【方法點睛】　本題中參數b的值影響著a1的值，進而影響著數列的通項公式．因此需要對參數b分類討論，并以a1的值是否滿足an＝2·3n－1為標準． 　　　　　　 典例3　設a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinxcosx－2a2的最大值和最小值． 【方法點睛】　本題通過作變

12、量代換t＝sinx＋cosx，將原函數變成關于t的二次函數(帶參數a)，然后根據對稱軸和區(qū)間的關系進行分類討論，繼而求出原函數的最大值． 　　　　　　 典例4　已知f(x)＝x－aex(a∈R，e為自然對數的底數)． (1)討論函數f(x)的單調性； (2)若f(x)≤e2x對x∈R恒成立，求實數a的取值范圍． 【方法點睛】　參數的變化取值導致不同的結果，需對參數進行討論，如含參數的方程、不等式、函數等．分類討論要標準明確、統(tǒng)一，層次分明，分類要做到“不重不漏”． 四 函數與方程思想 函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題．方程思想，是從問題

13、的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組)，然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解．有時，還實現函數與方程的互相轉化，達到解決問題的目的． 總體目標：動態(tài)化靜態(tài)，抽象化具體，函數方程相互轉化． 解題途徑：根據研究問題的需要，通過構造方程或函數，然后研究方程和函數的性質，從而解決原問題． 常見的方法：構造法、轉化法、動靜結合、數形結合、分離變量法等等． 　　　　　　 典例1　(2018·全國卷Ⅱ)記Sn為等差數列{an}的前n項和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通項公式； (2)求Sn，并求Sn的最小

14、值． 【方法點睛】　本題已知數列的屬性(等差或等比數列)，因此可以構造關于a1和d(q)的方程組，通過a1和d(q)，從而求出數列的通項公式，將前n項和Sn表示為n的函數，繼而求出其最小值．求解過程體現方程思想和函數思想． 　　　　　　 典例2　已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，求tanθ的值． 【方法點睛】　本題表面看是一個未知數θ，但是很難直接求出其大?。绢}通過韋達定理構造一個一元二次方程，其兩根分別為sinθ，cosθ，求出方程的兩個解(也就是sinθ，cosθ的值)，從而求出tanθ的值． 　　　　　　 典例3　(2018·全國卷Ⅱ)已知函數f(x)＝ex

15、－ax2. (1)若a＝1，證明：當x≥0時，f(x)≥1； (2)若f(x)在(0，＋∞)只有一個零點，求a. 【方法點睛】　本題第(1)問是個不等式問題，我們將其轉化為函數問題解決．通過構造函數，分析函數的單調性，求出函數的最大值為0，從而證明了原不等式，充分體現了函數思想的應用．第(2)問是函數零點個數問題，通過構造函數，分析函數的單調性，求出函數的最值，從而討論出不同a的值得到不同的零點個數． 　　　　　　 典例4　設橢圓中心在坐標原點，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個頂點，直線y＝kx(k＞0)與AB相交于點D，與橢圓相交于E，F兩點． (1)

16、若＝6，求k的值； (2)求四邊形AEBF面積的最大值． 【方法點睛】　幾何中的最值是高考的熱點，在圓錐曲線的綜合問題中經常出現，求解此類問題的一般思路為在深刻認識運動變化的過程之中，抓住函數關系，將目標量表示為一個(或者多個)變量的函數，然后借助于函數最值的求法來求解，這是求面積、線段長最值(范圍)問題的基本方法． 　　　　　　 典例5　(2017·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(θ為參數)，直線l的參數方程為(t為參數)． (1)若a＝－1，求C與l的交點坐標； (2)若C上的點到l距離的最大值為，求a. 【方法點睛】　本題第(1)問先將直線和橢圓的參數方程化為普通方程，然后聯立，求出交點坐標．第(2)問先將C上的點到直線的距離用θ表示出來，判斷3cosθ＋4sinθ的范圍，討論a，去掉絕對值得到距離的最大值的方程，求得a最后結果． - 19 -