2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第十單元 計數(shù)原理 、概率與統(tǒng)計 第78講 隨機抽樣、用樣本估計總體練習(xí) 理（含解析）新人教A版

第78講　隨機抽樣、用樣本估計總體 1．(2018·湖北5月沖刺試題)某學(xué)校在校藝術(shù)節(jié)活動中，有24名學(xué)生參加了學(xué)校組織的唱歌比賽，他們比賽成績的莖葉圖如圖所示，將他們的比賽成績從低到高編號為1～24號，再用系統(tǒng)抽樣方法抽出6名同學(xué)周末到某音樂學(xué)院參觀學(xué)習(xí)．則樣本中比賽成績不超過85分的學(xué)生人數(shù)為(B) A.1 B．2 C．3 D．不確定 抽樣間隔k＝＝4，將應(yīng)分成6段，每一段中包含4個編號， 因為不超過85分的學(xué)生恰有8人，包含2段． 故樣本中不超過85分的學(xué)生人數(shù)為2人． 2．(2018·全國卷Ⅰ)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖： 則下面結(jié)論中不正確的是(A) A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少 B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上 C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍 D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半 設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前，農(nóng)村的經(jīng)濟收入為a，則新農(nóng)村建設(shè)后，農(nóng)村經(jīng)濟收入為2a.新農(nóng)村建設(shè)前后，各項收入的對比如下表： 新農(nóng)村建設(shè)前 新農(nóng)村建設(shè)后 新農(nóng)村建設(shè) 后變化情況 結(jié)論 種植收入 60%a 37%×2a＝74%a 增加 A錯 其他收入 4%a 5%×2a＝10%a 增加一倍以上 B對 養(yǎng)殖收入 30%a 30%×2a＝60%a 增加了一倍 C對 養(yǎng)殖收入＋第 三產(chǎn)業(yè)收入 (30%＋6%)a ＝36%a (30%＋28%)×2a ＝116%a 超過經(jīng)濟收 入2a的一半 D對 3．(經(jīng)典真題)若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為(C) A．8 B．15 C．16 D．32 已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為s＝8，則s2＝64，數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差為22s2＝22×64，所以其標(biāo)準(zhǔn)差為＝2×8＝16. 4．(2018·石家莊二模)某學(xué)校A，B兩個班的數(shù)學(xué)興趣小組在一次數(shù)學(xué)對抗賽中的成績繪制莖葉圖如下，通過莖葉圖比較兩個班數(shù)學(xué)興趣小組成績的平均值及標(biāo)準(zhǔn)差． ①A班數(shù)學(xué)興趣小組的平均成績高于B班的平均成績； ②B班數(shù)學(xué)興趣小組的平均成績高于A班的平均成績； ③A班數(shù)學(xué)興趣小組成績的標(biāo)準(zhǔn)差大于B班的成績的標(biāo)準(zhǔn)差； ④B班數(shù)學(xué)興趣小組成績的標(biāo)準(zhǔn)差大于A班的成績的標(biāo)準(zhǔn)差． 其中正確結(jié)論的編號為(B) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 由莖葉圖可知，A班數(shù)學(xué)興趣小組的平均成績明顯高于B班； A班的數(shù)學(xué)成績較穩(wěn)定，大多在70～90分，B班的數(shù)學(xué)成績較分散，故B班的方差、標(biāo)準(zhǔn)差較大． 由此可知①④正確． 5．在如圖所示的莖葉圖中，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別是　45　，　46　. 由莖葉圖可知，甲圖中共有9個數(shù)，分別是28,31,39,42,45,55,57,58,66，其中位數(shù)為45； 乙圖中共有9個數(shù)，分別是29,34,35,42,46,48,53,55,67，其中位數(shù)是46. 6．從某小學(xué)隨機抽取100名同學(xué)，將他們的身高(單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)．由圖中數(shù)據(jù)可知a＝　0.030　.若要從身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為　3　. 因為0.005×10＋0.035×10＋a×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，所以a＝0.030. 設(shè)身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]分別有x，y，z人， 所以＝0.030×10，所以x＝30，同理y＝20，z＝10， 所以在[140,150]內(nèi)選取的人數(shù)為×18＝3. 7．(經(jīng)典真題)某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表． 工人編號　年齡 工人編號　年齡 工人編號　年齡 工人編號　年齡 　1　　　40 　10　　　36 　19　　 27 　28　 　34 　2　　　44 　11　　　31 　20　　 43 　29　 　39 　3　　　40 　12　　　38 　21　　 41 　30　 　43 　4　　　41 　13　　　39 　22　　 37 　31　 　38 續(xù)表 工人編號　年齡 工人編號　年齡 工人編號　年齡 工人編號　年齡 　5　　　33 　14　　　43 　23　　 34 　32　 　42 　6　　　40 　15　　　45 　24　　 42 　33　 　53 　7　　　45 　16　　　39 　25　　 37 　34　 　37 　8　　　42 　17　　　38 　26　　 44 　35　 　49 　9　　　43 　18　　　36 　27　　 42 　36　 　39 (1)用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，且在第一分段里用隨機抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44，列出樣本的年齡數(shù)據(jù)； (2)計算(1)中樣本的均值和方差s2； (3)36名工人中年齡在－s與＋s之間有多少人？所占的百分比是多少(精確到0.01%)? (1)36人分成9組，每組4人，其中第一組的工人年齡為44，所以它在組中的編號為2， 所以所有樣本數(shù)據(jù)的編號為4n－2(n＝1,2，…，9)， 其年齡數(shù)據(jù)為：44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)由均值公式知：＝＝40， 由方差公式知：s2＝[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝. (3)因為s2＝，s＝， 所以36名工人中年齡在－s和＋s之間的人數(shù)等于年齡在區(qū)間[37,43]上的人數(shù)，即40,40,41，…，39，共23人． 所以36名工人中年齡在－s和＋s之間的人數(shù)所占的百分比為×100%≈63.89%. 8．(2016·湖南省六校聯(lián)考)采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機編號為1,2，…，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9，抽到的32人中，編號落入?yún)^(qū)間[1,450]的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間[451,750]的人做問卷B，其余的人做問卷C，則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為(D) A．15 B．7 C．9 D．10 由題意得，系統(tǒng)抽樣的抽樣間隔為＝30，又因為第一組內(nèi)抽取的號碼為9，則由451≤9＋30k≤750(k∈N*)，得15≤k≤24，所以做問卷B的人數(shù)為10，故選D. 9．某校從參加高二年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(均為整數(shù))分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，畫出如圖所示的頻率分布直方圖(不完整)．觀察圖形的信息，可知這次考試成績的平均分為　71　. 數(shù)據(jù)落在[80,90)的頻率為 1－(0.1＋0.3＋0.3＋0.05)＝1－0.75＝0.25. 所以平均分估計為45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71. 10．(2018·華南師大附中模擬)某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后，畫出如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題： (1)求第四小組的頻率，補全頻率分布直方圖，并估計該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)． (2)從被抽取的數(shù)學(xué)成績是70分以上(包括70分)的學(xué)生中選兩人，求他們在同一分?jǐn)?shù)段的概率． (3)假設(shè)從全市參加高一年級期末考試的學(xué)生中，任意抽取4個學(xué)生，設(shè)這4個學(xué)生中數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分以上(包括80分)的人數(shù)為X(以該校學(xué)生的成績的頻率估計概率)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． (1)因為各組的頻率和等于1，故第四組的頻率： f4＝1－(0.01＋0.15×2＋0.025＋0.005) ×10＝0.3. 直方圖如圖所示． 設(shè)中位數(shù)為x，則0.4＋(x－70)×0.03＝0.5， 所以中位數(shù)是x＝70＋＝73.33， 估計這次考試的數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)是73.33分． (2)[70，80)，[80，90)，[90，100)的人數(shù)是18，15，3， 所以從成績是70分以上(包括70分)的學(xué)生中選兩人，他們在同一分?jǐn)?shù)段的概率： P＝＝. (3)樣本中80分以上(包括80分)的人數(shù)為18人，頻率為＝0.3， 由樣本估計總體知，任意抽1人，成績在80分以上的概率為0.4. 所以X～B(4，0.3)， 因為P(X＝k)＝C0.3k·0.74－k(k＝0，1，2，3，4)， 所以其分布列為： X 0 1 2 3 4 P(X＝k) 0.2401 0.4116 0.2646 0.0756 0.0081 數(shù)學(xué)期望為EX＝np＝4×0.3＝1.2. 7