2020屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時跟蹤練（三十二）等差數(shù)列及其前n項和 文（含解析）新人教A版

課時跟蹤練(三十二) A組　基礎(chǔ)鞏固 1．[一題多解]已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＋a7＝－8，a2＝2，則數(shù)列{an}的公差d等于(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 解析：法一　由題意可得 解得a1＝5，d＝－3. 法二　a1＋a7＝2a4＝－8，所以a4＝－4， 所以a4－a2＝－4－2＝2d，所以d＝－3. 答案：C 2．[一題多解](2016·全國卷Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27，a10＝8，則a100＝(　　) A．100 B．99 C．98 D．97 解析：法一　因為{an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d， 所以S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，所以a5＝3. 又因為a10＝8，所以所以 所以a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故選C. 法二　因為{an}是等差數(shù)列， 所以S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，所以a5＝3. 在等差數(shù)列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差數(shù)列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5. 故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故選C. 答案：C 3．(2019·太原模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＋a3＋a10＝9，則S9＝(　　) A．3 B．9 C．18 D．27 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d. 因為a2＋a3＋a10＝9， 所以3a1＋12d＝9，即a1＋4d＝3， 所以a5＝3， 所以S9＝＝＝27.故選D. 答案：D 4．(2019·汕頭模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝9，－＝－4，則Sn取最大值時的n為(　　) A．4 B．5 C．6 D．4或5 解析：由{an}為等差數(shù)列，得－＝a5－a3＝2d＝－4，即d＝－2， 由于a1＝9，所以an＝－2n＋11，令an＝－2n＋11<0，得n>，又因為n∈N*， 所以Sn取最大值時的n為5，故選B. 答案：B 5．(2019·合肥質(zhì)量檢測)中國古詩詞中，有一道“八子分綿”的數(shù)學(xué)名題：“九百九十六斤綿，贈分八子作盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言”．題意是：把996斤綿分給8個兒子作盤纏，按照年齡從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多17斤綿，那么第8個兒子分到的綿是(　　) A．174斤 B．184斤 C．191斤 D．201斤 解析：用a1，a2，…，a8表示8個兒子按照年齡從大到小得到的綿數(shù)， 由題意得數(shù)列a1，a2，…，a8是公差為17的等差數(shù)列，且這8項的和為996， 所以8a1＋×17＝996， 解得a1＝65. 所以a8＝65＋7×17＝184，即第8個兒子分到的綿是184斤．故選B. 答案：B 6．在等差數(shù)列{an}中，公差d＝，前100項的和S100＝45，則a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________． 解析：因為S100＝(a1＋a100)＝45，所以a1＋a100＝0.9.a1＋a99＝a1＋a100－d＝0.4，則a1＋a3＋a5＋…＋a99＝(a1＋a99)＝×0.4＝10. 答案：10 7．(2019·莆田質(zhì)量檢測)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an－an＋1＝2anan＋1，則a6＝________． 解析：將an－an＋1＝2anan＋1兩邊同時除以anan＋1可得－＝2. 所以是以＝1為首項，2為公差的等差數(shù)列， 所以＝＋5×2＝11，即a6＝. 答案： 8．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，S10＝16，S100－S90＝24，則S100＝________． 解析：依題意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列的公差為d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200. 答案：200 9．在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{an}的前k項和Sk＝－35，求k的值． 解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 則an＝a1＋(n－1)d. 由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3， 解得d＝－2. 從而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知an＝3－2n， 所以Sn＝＝2n－n2. 由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35， 即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 又k∈N*，故k＝7. 10．已知等差數(shù)列的前三項依次為a，4，3a，前n項和為Sn，且Sk＝110. (1)求a及k的值； (2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項公式bn＝，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求其前n項和Tn. (1)解：設(shè)該等差數(shù)列為{an}，則a1＝a，a2＝4，a3＝3a， 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2， 所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k. 由Sk＝110，得k2＋k－110＝0， 解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10. (2)證明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)， 則bn＝＝n＋1， 故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1， 即數(shù)列{bn}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列， 所以Tn＝＝. B組　素養(yǎng)提升 11．(2019·河南普通高中畢業(yè)班高考適應(yīng)性考試)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，且an＝2n＋λ，若數(shù)列{Sn}(n≥5，n∈N*)為遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍為(　　) A．(－3，＋∞) B．(－10，＋∞) C．(－11，＋∞) D．(－12，＋∞) 解析：在等差數(shù)列{an}中，由an＝2n＋λ，得a1＝2＋λ，d＝2，所以Sn＝na1＋d＝n(2＋λ)＋＝n2＋(λ＋1)n，其圖象的對稱軸方程為n＝－，要使數(shù)列{Sn}在{n|n≥5，n∈N*}內(nèi)為遞增數(shù)列，則－<，即λ>－12，故選D. 答案：D 12．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”．已知等差數(shù)列{bn}的首項為1，公差不為0，若數(shù)列{bn}為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列{bn}的通項公式為(　　) A．bn＝n－1 B．bn＝2n－1 C．bn＝n＋1 D．bn＝2n＋1 解析：設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d(d≠0)，＝k，因為b1＝1，則n＋n(n－1)d＝k， 即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d， 整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0. 因為對任意的正整數(shù)n上式均成立， 所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0， 解得d＝2，k＝， 所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n－1. 答案：B 13．(2019·中山一中統(tǒng)測)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________． 解析：因為an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1， 所以Sn＋1－Sn＝SnSn＋1. 因為Sn≠0，所以－＝1，即－＝－1. 又＝－1，所以是首項為－1，公差為－1的等差數(shù)列． 所以＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以Sn＝－. 答案：－ 14．(2019·北京海淀區(qū)模擬)已知{an}是各項為正數(shù)的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且4Sn＝(an＋1)2. (1)求a1，a2的值及{an}的通項公式； (2)求數(shù)列的最小值． 解：(1)因為4Sn＝(an＋1)2， 所以當(dāng)n＝1時，4a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1， 所以當(dāng)n＝2時4(1＋a2)＝(a2＋1)2， 解得a2＝－1或a2＝3， 因為{an}是各項為正數(shù)的等差數(shù)列，所以a2＝3. 所以{an}的公差d＝a2－a1＝2， 所以{an}的通項公式為an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. (2)因為4Sn＝(an＋1)2，所以Sn＝＝n2， 所以Sn－an＝n2－(2n－1)＝n2－7n＋＝－， 所以當(dāng)n＝3或n＝4時，Sn－an取得最小值－. 6