2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 分層特訓(xùn)卷 主觀題專練 數(shù)列（3） 文

數(shù)列(3) 1．[2019·河北聯(lián)盟考試]已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a2＝6，前n項(xiàng)和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19. (1)求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{bncos(anπ)}的前n項(xiàng)和Tn. 解析：(1)∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a2＝6， ∴S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19，∴b1＝1. ∵b2＝2，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，∴bn＝2n－1. ∴b3＝4，∵a1b3＝12，∴a1＝3， ∵a2＝6，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴an＝3n. (2)由(1)得，令Cn＝bncos(anπ)＝(－1)n2n－1， ∴Cn＋1＝(－1)n＋12n，∴＝－2，又C1＝－1， ∴數(shù)列 {bncos(anπ)}是以－1為首項(xiàng)、－2為公比的等比數(shù)列， ∴Tn＝＝－[1－(－2)n]． 2．[2019·遼寧大連二十四中模擬]已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，n∈N*. (1)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，且bn是an和an＋1的等比中項(xiàng)，設(shè)cn＝b－b，n∈N*，求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列； (2)若a＋a＋a＋…＋a＝S，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解析：(1)由題意得b＝anan＋1， 則cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1， 因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，∴{cn}是等差數(shù)列． (2)當(dāng)n＝1時(shí)，a＝a，∵a1>0，∴a1＝1. 當(dāng)n≥2時(shí)，a＋a＋a＋…＋a＝S，　① a＋a＋a＋…＋a＝S，　② ①－②得，a＝S－S＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)． ∵an>0，∴a＝Sn＋Sn－1＝2Sn－an，?、? ∵a1＝1合適上式，∴當(dāng)n≥2時(shí)，a＝2Sn－1－aa－1，?、? ③－④得a－a＝2(Sn－Sn－1)－an＋aa－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1， ∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1， ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，可得an＝n. 3．[2019·云南昆明質(zhì)檢]已知數(shù)列{an}中，a1＝3，{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＋1＝an＋n2(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn＝(－1)n＋2an，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解析：(1)由Sn＋1＝an＋n2　①，得Sn＋1＋1＝an＋1＋(n＋1)2　②， 由②－①，得an＝2n＋1.當(dāng)a1＝3時(shí)滿足上式． 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋1. (2)由(1)得bn＝(－1)n＋22n＋1，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝[(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)n]＋(23＋25＋…＋22n＋1) ＝＋＝＋(4n－1)． 4．[2019·四川成都二診]已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比q>1，且a2＋1為a1，a3的等差中項(xiàng)，S3＝14. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)記bn＝an·log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解析：(1)由題意，得2(a2＋1)＝a1＋a3.又S3＝a1＋a2＋a3＝14， ∴2(a2＋1)＝14－a2，∴a2＝4， ∵S3＝＋4＋4q＝14，∴q＝2或q＝， ∵q>1，∴q＝2. ∴an＝a2qn－2＝4·2n－2＝2n. (2)由(1)知an＝2n，∴bn＝an·log2an＝2n·n. ∴Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n. 2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1. ∴－Tn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－n×2n＋1 ＝－n×2n＋1＝(1－n)2n＋1－2. ∴Tn＝(n－1)2n＋1＋2. 5．[2019·遼寧沈陽聯(lián)考]若正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，點(diǎn)P(，Sn＋1)在曲線y＝(x＋1)2上． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，Tn表示數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，若Tn≥m－1對(duì)任意n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解析：(1)由已知可得Sn＋1＝(＋1)2，得－＝1，所以{}是以為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，所以＝＋(n－1)×1＝n，得Sn＝n2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，當(dāng)n＝1時(shí)，也符合上式，故{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1. (2)bn＝＝＝－，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝，顯然Tn是關(guān)于n的增函數(shù)，所以Tn有最小值(Tn)min＝T1＝，又Tn≥m－1對(duì)任意n∈N*恒成立，所以≥m－1恒成立，所以m≤4，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，4]． 6．[2019·山西河津二中月考]設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1,3a2－a1＝1，且＝(n≥2，n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列b1＝，4bn＝an－1an(n≥2，n∈N*)，{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：Tn<1. 解析：(1)∵＝(n≥2)， ∴＝＋，又a1＝1,3a2－a1＝1，∴＝1，＝， ∴－＝， ∴是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列， ∴＝1＋(n－1)＝(n＋1)，即an＝. (2)∵4bn＝an－1an(n≥2)，∴bn＝＝－(n≥2)，又b1＝符合上式，∴bn＝－(n∈N*)， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－<1. 3