2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布 第58講 隨機(jī)事件的概率課時(shí)達(dá)標(biāo) 理（含解析）新人教A版

　第58講 隨機(jī)事件的概率 課時(shí)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1．設(shè)事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，則A，B之間的關(guān)系為(　　) A．兩個(gè)任意事件 B．互斥事件 C．非互斥事件 D．對立事件 A　解析 因?yàn)锳，B互斥時(shí)，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．反之不一定成立．所以A，B不一定是互斥事件，故選A. 2．(2019·廈門模擬)口袋中有100個(gè)大小相同的紅球、白球、黑球，其中紅球45個(gè)，從口袋中摸出一個(gè)球，摸出白球的概率為0.23，則摸出黑球的概率為(　　) A．0.45 B．0.67 C．0.64 D．0.32 D　解析 摸出紅球的概率為0.45，摸出白球的概率為0.23，故摸出黑球的概率P＝1－0.45－0.23＝0.32. 3．已知甲、乙兩人下棋，和棋的概率為，乙勝的概率為，則甲勝的概率和甲不輸?shù)母怕史謩e為(　　) A.， B.， C.， D.， C　解析 “甲勝”是“和棋或乙勝”的對立事件，所以“甲勝”的概率為1－－＝.設(shè)“甲不輸”為事件A，可看做是“甲勝”與“和棋”這兩個(gè)互斥事件的和事件，所以P(A)＝＋＝(或設(shè)“甲不輸”為事件A，可看做是“乙勝”的對立事件，所以 P(A)＝1－＝). 4．若隨機(jī)事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. D　解析 由題意可得即解得<a≤. 5．有3個(gè)相識(shí)的人某天各自乘同一火車外出，假設(shè)火車有10節(jié)車廂，則至少有2人在同一車廂內(nèi)相遇的概率為(　　) A. B. C. D. B　解析 設(shè)事件A是“至少有2人在同一車廂內(nèi)相遇”，則事件是“3人分別在3節(jié)不同的車廂”，P()＝＝，所以P(A)＝1－P()＝1－＝. 6．連續(xù)投擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角記為α，則α∈ 的概率為(　　) A. B. C. D. B　解析 cos〈a，b〉＝，因?yàn)棣痢?，所?lt;<1，所以n<m，又滿足n<m的骰子的點(diǎn)數(shù)有(2,1)，(3,1)，(3,2)，…，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共15個(gè)． 故所求概率為P＝＝. 二、填空題 7．已知向量a＝(x，－1)，b＝(3，y)，其中x∈{－1,1,3}，y∈{1,3}，那么a⊥b的概率是________． 解析 從集合{－1,1,3}中取一個(gè)數(shù)為x有3種取法，同理y有2種取法，滿足a⊥b的有一種取法故所求的概率P＝＝. 答案 8．某學(xué)校成立了數(shù)學(xué)、英語、音樂3個(gè)課外興趣小組，3個(gè)小組分別有39,32,33個(gè)成員，一些成員參加了不止一個(gè)小組，具體情況如圖所示．現(xiàn)隨機(jī)選取一名成員，他至少參加2個(gè)小組的概率是________，他至多參加2個(gè)小組的概率為________． 解析 隨機(jī)選一名成員，恰好參加2個(gè)小組的概率P(A)＝＋＋＝，恰好參加3個(gè)小組的概率P(B)＝＝，則他至少參加2個(gè)小組的概率為P(A)＋P(B)＝＋＝，至多參加2個(gè)小組的概率為1－P(B)＝1－＝. 答案 　 9．2019年第七屆世界軍運(yùn)會(huì)的一組志愿者全部通曉中文，并且每個(gè)志愿者還都通曉英語、日語和韓語中的一種(但無人通曉兩種外語)．已知從中任抽一人，其通曉中文和英語的概率為，通曉中文和日語的概率為.若通曉中文和韓語的人數(shù)不超過3人，則這組志愿者的人數(shù)為________． 解析 設(shè)通曉中文和英語的人數(shù)為x，通曉中文和日語的人數(shù)為y，通曉中文和韓語的人數(shù)為z，且x，y，z∈N*，則解得所以這組志愿者的人數(shù)為5＋3＋2＝10(人)． 答案 10人 三、解答題 10．(2019·漳州調(diào)研)某超市有獎(jiǎng)銷售中，購滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購多得，1 000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A，B，C.求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率； (3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率． 解析 (1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝. (2)因?yàn)槭录嗀，B，C兩兩互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.故1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為. (3)P()＝1－P(A∪B)＝1－＝. 故1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為. 11．在新年聯(lián)歡晚會(huì)上，游戲獲勝者甲和乙各有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，共有10個(gè)獎(jiǎng)品，其中一等獎(jiǎng)6個(gè)，二等獎(jiǎng)4個(gè)，甲、乙二人依次抽?。? (1)甲抽到一等獎(jiǎng)，乙抽到二等獎(jiǎng)的概率是多少？ (2)甲、乙二人中至少有一人抽到一等獎(jiǎng)的概率是多少？ 解析 (1)所有的抽法共有A種，而甲抽到一等獎(jiǎng)，乙抽到二等獎(jiǎng)的抽法有C·C種，故甲抽到一等獎(jiǎng)，乙抽到二等獎(jiǎng)的概率為＝. (2)所有的抽法共有A種，而甲、乙二人中至少有一人抽到一等獎(jiǎng)的抽法有2C·C＋A種，故甲、乙二人中至少有一人抽到一等獎(jiǎng)的概率為 ＝. 12．(2019·西安期中)某服務(wù)電話，打進(jìn)的電話響第1聲時(shí)被接的概率是0.1；響第2聲時(shí)被接的概率是0.2；響第3聲時(shí)被接的概率是0.3；響第4聲時(shí)被接的概率是0.35. (1)打進(jìn)的電話在響5聲之前被接的概率是多少？ (2)打進(jìn)的電話響4聲而不被接的概率是多少？ 解析 (1)設(shè)事件“電話響第k聲被接”為Ak(k∈N*)那么事件Ak彼此互斥，設(shè)“打進(jìn)的電話在響5聲之前被接”為事件A，根據(jù)互斥事件概率加法公式，得P(A)＝P(A1＋A2＋A3＋A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95. (2)事件“打進(jìn)電話響4聲而不被接”是事件“打進(jìn)電話在響5聲之前被接”的對立事件，記為；根據(jù)對立事件的概率公式，得P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05. 13．[選做題]如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下. 所用時(shí)間/分鐘 10～20 20～30 30～40 40～50 50 ～60 選擇L1的人數(shù) 6 12 18 12 12 選擇L2的人數(shù) 0 4 16 16 4 (1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的人數(shù)的概率； (2)分別求通過路徑L1和L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率； (3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，試通過計(jì)算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑？ 解析 (1)由已知共調(diào)查了 100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率為0.44. (2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得頻率為 所用時(shí)間/分鐘 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L1的頻率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 (3)設(shè)A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時(shí)，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時(shí)，在50分鐘內(nèi)趕到火車站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，因?yàn)镻(A1)>P(A2)，所以甲應(yīng)選擇L1；同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，因?yàn)镻(B1)<P(B2)，所以乙應(yīng)選擇L2. 5