2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題18 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)（含解析）

專(zhuān)題18任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) 最新考綱 1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能進(jìn)行弧度與角度的互化. 3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義. 基礎(chǔ)知識(shí)融會(huì)貫通 1．角的概念 (1)任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形；②分類(lèi)：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角． (2)所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． (3)象限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限． 2．弧度制 (1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，1 rad＝°. (3)扇形的弧長(zhǎng)公式：l＝|α|·r，扇形的面積公式：S＝lr＝|α|·r2. 3．任意角的三角函數(shù) 任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)時(shí)， 則sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． 三個(gè)三角函數(shù)的性質(zhì)如下表： 三角函數(shù) 定義域 第一象限符號(hào) 第二象限符號(hào) 第三象限符號(hào) 第四象限符號(hào) sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋ tan α {α|α≠kπ＋，k∈Z} ＋ － ＋ － 4.三角函數(shù)線 如下圖，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過(guò)P作PM⊥x軸，垂足為M，過(guò)A(1,0)作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T. 【知識(shí)拓展】 1．三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律 三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函數(shù)的定義(推廣) 設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，其到原點(diǎn)O的距離為r，則sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． 重點(diǎn)難點(diǎn)突破 【題型一】角及其表示 【典型例題】 已知集合{α|2kπα≤2kπ，k∈Z}，則角α的終邊落在陰影處（包括邊界）的區(qū)域是（　?。? A． B． C． D． 【解答】解：集合{α|2kπα≤2kπ，k∈Z}，表示第一象限的角， 故選：B． 【再練一題】 直角坐標(biāo)系內(nèi)，β終邊過(guò)點(diǎn)P（sin2，cos2），則終邊與β重合的角可表示成（　?。? A．2+2πk，k∈Z B．2+kπ，k∈Z C．2+2kπ，k∈z D．﹣2+2kπ，k∈Z 【解答】解：∵β終邊過(guò)點(diǎn)P（sin2，cos2），即為（cos（2），sin（2）） ∴終邊與β重合的角可表示成2+2kπ，k∈Z， 故選：A． 思維升華 (1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫(xiě)出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需的角． (2)確定kα，(k∈N*)的終邊位置的方法 先寫(xiě)出kα或的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或的終邊所在位置． 【題型二】弧度制 【典型例題】 已知扇形的周長(zhǎng)是6cm，面積是2cm2，試求扇形的圓心角的弧度數(shù)（　?。? A．1 B．4 C．1或 4 D．1或 2 【解答】解：設(shè)扇形的圓心角為αrad，半徑為Rcm， 則，解得α＝1或α＝4． 故選：C． 【再練一題】 將300°化成弧度得：300°＝　　rad． 【解答】解：∵180°＝π， ∴1°， 則300°＝300． 故答案為：． 思維升華 應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法 (1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度． (2)求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題． (3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形． 【題型三】三角函數(shù)的概念及應(yīng)用 命題點(diǎn)1　三角函數(shù)定義的應(yīng)用 【典型例題】 已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸正半軸重合，若A（x，3）是角θ終邊上一點(diǎn)，且，則x＝（　　） A． B． C．1 D．﹣1 【解答】解：角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸正半軸重合，若A（x，3）是角θ終邊上一點(diǎn)，且， 則x＝﹣1， 故選：D． 【再練一題】 已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)A（2sinα，3），則cosα＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵由題意可得：x＝2sinα，y＝3，可得：r， ∴cosα，可得：cos2α，整理可得：4cos4α﹣17cos2α+4＝0， ∴解得：cos2α，或（舍去）， ∴cosα． 故選：A． 命題點(diǎn)2　三角函數(shù)線的應(yīng)用 【典型例題】 已知，a＝sinα，b＝cosα，c＝tanα，那么a，b，c的大小關(guān)系是（　?。? A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．c＞a＞b 【解答】解：作出三角函數(shù)對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)線如圖： 則AT＝tanα，MP＝sinα，OM＝cosα， 則sinα＞0，AT＜OM＜0， 即sinα＞cosα＞tanα， 則a＞b＞c， 故選：A． 【再練一題】 已知a＝sin，b＝cos，c＝tan，則（　?。? A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜b＜c 【解答】解：因?yàn)椋詂ossin，tan1， 所以b＜a＜c． 故選：A． 思維升華 (1)利用三角函數(shù)的定義，已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)可求α的三角函數(shù)值；已知角α的三角函數(shù)值，也可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)． (2)利用三角函數(shù)線解不等式要注意邊界角的取舍，結(jié)合三角函數(shù)的周期性寫(xiě)出角的范圍． 基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練 1．【湖南省衡陽(yáng)市第八中學(xué)2018-2019學(xué)年高一下學(xué)期期中考試】已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由任意角的三角函數(shù)定義可知： 本題正確選項(xiàng)： 2．【甘肅省會(huì)寧縣第一中學(xué)2018-2019學(xué)年高一下學(xué)期期中考試】函數(shù)的值域是（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由題意可知：角的終邊不能落在坐標(biāo)軸上， 當(dāng)角終邊在第一象限時(shí)， 當(dāng)角終邊在第二象限時(shí)， 當(dāng)角終邊在第三象限時(shí)， 當(dāng)角終邊在第四象限時(shí)，因此函數(shù)的值域?yàn)椋蔬x：C. 3．【安徽省淮北師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2018-2019學(xué)年高一下學(xué)期第二次月考】已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解：角α的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為， 它到原點(diǎn)的距離為r=1， 由任意角的三角函數(shù)定義知：， 故選：B． 4．【甘肅省寧縣第二中學(xué)2018-2019學(xué)年高一下學(xué)期期中考試】已知點(diǎn)P（sinα+cosα，tanα）在第四象限，則在[0，2π）內(nèi)α的取值范圍是（　?。? A．（，）∪（，） B．（0，）∪（，） C．（，）∪（，2π） D．（，）∪（π，） 【答案】C 【解析】 ∵點(diǎn)P（sinα+cosα，tanα）在第四象限， ∴， 由sinα+cosαsin（α）， 得2kπ＜α2kπ+π，k∈Z， 即2kπα＜2kππ，k∈Z． 由tanα＜0，得kπα＜kπ+π，k∈Z． ∴α∈（，）∪（，2π）． 故選：C． 5．【安徽省示范高中2018-2019學(xué)年高一下學(xué)期第三次聯(lián)考】若角是第四象限角，則是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【解析】 角是第四象限角. ，則 故是第三象限角.故選C. 6．【河南省南陽(yáng)市第一中學(xué)2018-2019學(xué)年高一下學(xué)期第四次月考】已知且，則下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由于且，故為第二象限角，故，故D選項(xiàng)一定成立，故本小題選D. 7．【寧夏石嘴山市第三中學(xué)2018-2019學(xué)年高一5月月考】半徑為1cm，中心角為150°的角所對(duì)的弧長(zhǎng)為（　　）cm． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由題意，半徑，中心角，又由弧長(zhǎng)公式， 故選：D． 8．【甘肅省會(huì)寧縣第一中學(xué)2018-2019學(xué)年高一下學(xué)期期中考試】與終邊相同的角是（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 與角終邊相同的角為：， 當(dāng)時(shí)，． 故選：C． 9．【安徽省淮北師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2018-2019學(xué)年高一下學(xué)期第二次月考】下列說(shuō)法正確的是（ ） A．鈍角是第二象限角 B．第二象限角比第一象限角大 C．大于的角是鈍角 D．是第二象限角 【答案】A 【解析】 解：鈍角的范圍為，鈍角是第二象限角，故A正確； ﹣200°是第二象限角，60°是第一象限角，-200°＜60°，故B錯(cuò)誤； 由鈍角的范圍可知C錯(cuò)誤； -180°＜-165°＜-90°，-165°是第三象限角，D錯(cuò)誤． 故選：A． 10．直角坐標(biāo)系內(nèi)，角的終邊過(guò)點(diǎn)，則終邊與角重合的角可表示成（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因?yàn)辄c(diǎn)為第四象限內(nèi)的點(diǎn)，角的終邊過(guò)點(diǎn)， 所以為第四象限角， 所以終邊與角重合的角也是第四象限角， 而，均為第三象限角，為第二象限角， 所以BCD排除， 故選A 11．【江蘇省南通市啟東中學(xué)2018-2019學(xué)年高二5月月考】給出下列命題： ①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角； ③不論用角度制還是用弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形所在半徑的大小無(wú)關(guān)； ④若，則與的終邊相同； ⑤若，則是第二或第三象限的角． 其中正確的命題是______．（填序號(hào)） 【答案】③ 【解析】 ①，則為第二象限角；，則為第一象限角，此時(shí)，可知①錯(cuò)誤； ②當(dāng)三角形的一個(gè)內(nèi)角為直角時(shí)，不屬于象限角，可知②錯(cuò)誤； ③由弧度角的定義可知，其大小與扇形半徑無(wú)關(guān)，可知③正確； ④若，，此時(shí)，但終邊不同，可知④錯(cuò)誤； ⑤當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不屬于象限角，可知⑤錯(cuò)誤． 本題正確結(jié)果：③ 12．【甘肅省會(huì)寧縣第一中學(xué)2018-2019學(xué)年高一下學(xué)期期中考試】與角終邊相同的最小正角是______ 【答案】 【解析】 解：， 即與角終邊相同的最小正角是， 故答案為：． 13．【河南省平頂山市郟縣第一高級(jí)中學(xué)2018-2019學(xué)年高一下學(xué)期第二次5月月考】從到，分針轉(zhuǎn)了________（）． 【答案】 【解析】 從到，過(guò)了45分鐘，時(shí)針走一圈是60分鐘， 故 分針是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，應(yīng)為負(fù)角， 故分針轉(zhuǎn)了. 14．【2017屆四川省成都市石室中學(xué)高三二診模擬考試】已知角的始邊是軸非負(fù)半軸．其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為_(kāi)_________． 【答案】 【解析】 解：∵點(diǎn)P（1，2）在角α的終邊上，∴， 將原式分子分母除以，則原式 故答案為：5． 16．【江蘇省漣水中學(xué)2018-2019學(xué)年高二5月月考】歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第_______象限. 【答案】三 【解析】 由題e-3i＝cos3-isin3，又cos3<0, sin3>0,故表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第三象限. 故答案為三 17．【甘肅省會(huì)寧縣第一中學(xué)2018-2019學(xué)年高一下學(xué)期期中考試】（1）已知扇形的周長(zhǎng)為8，面積是4，求扇形的圓心角． （2）已知扇形的周長(zhǎng)為40，當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時(shí)，才使扇形的面積最大？ 【答案】（1）2；（2）當(dāng)半徑為10圓心角為2時(shí)，扇形的面積最大，最大值為100． 【解析】 （1）設(shè)扇形的圓心角大小為，半徑為， 則由題意可得：． 聯(lián)立解得：扇形的圓心角． （2）設(shè)扇形的半徑和弧長(zhǎng)分別為和, 由題意可得， ∴扇形的面積． 當(dāng)時(shí)S取最大值，此時(shí)， 此時(shí)圓心角為， ∴當(dāng)半徑為10圓心角為2時(shí)，扇形的面積最大，最大值為100． 18．【上海市徐匯區(qū)2019屆高三上學(xué)期期末學(xué)習(xí)能力診斷】我國(guó)的“洋垃極禁止入境”政策已實(shí)施一年多某沿海地區(qū)的海岸線為一段圓弧AB，對(duì)應(yīng)的圓心角，該地區(qū)為打擊洋垃圾走私，在海岸線外側(cè)20海里內(nèi)的海域ABCD對(duì)不明船只進(jìn)行識(shí)別查證如圖：其中海域與陸地近似看作在同一平面內(nèi)在圓弧的兩端點(diǎn)A，B分別建有監(jiān)測(cè)站，A與B之間的直線距離為100海里． 求海域ABCD的面積； 現(xiàn)海上P點(diǎn)處有一艘不明船只，在A點(diǎn)測(cè)得其距A點(diǎn)40海里，在B點(diǎn)測(cè)得其距B點(diǎn)海里判斷這艘不明船只是否進(jìn)入了海域ABCD？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】（1）平方海里； （2）這艘不明船只沒(méi)進(jìn)入了海域ABCD．. 【解析】 ，在海岸線外側(cè)20海里內(nèi)的海域ABCD， ， ， 平方海里， 由題意建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示； 由題意知，點(diǎn)P在圓B上，即， 點(diǎn)P也在圓A上，即； 由組成方程組， 解得； 又區(qū)域ABCD內(nèi)的點(diǎn)滿(mǎn)足， 由， 不在區(qū)域ABCD內(nèi)， 由， 也不在區(qū)域ABCD內(nèi)； 即這艘不明船只沒(méi)進(jìn)入了海域ABCD． 19．已知角β的終邊在直線x－y＝0上. ①寫(xiě)出角β的集合S； ②寫(xiě)出S中適合不等式－360°≤β<720°的元素. 【答案】①{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}；②－120°，240°，600°. 【解析】 ①如圖，直線x－y＝0過(guò)原點(diǎn)，傾斜角為60°，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊落在射線OA上的角是60°，終邊落在射線OB上的角是240°，所以以射線OA、OB為終邊的角的集合為： S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}， 所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}. ②由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n·180°<720°，n∈Z， 解得，n∈Z，所以n可?。?、－1、0、1、2、3. 所以S中適合不等式－360°≤β<720°的元素為： 60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°； 60°－0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420；60°＋3×180°＝600°. 20．已知，如圖所示. (1)分別寫(xiě)出終邊落在OA，OB位置上的角的集合. (2)寫(xiě)出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合. 【答案】(1) 終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}；(2) {α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}. 【解析】 (1)終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}. (2)由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之間的角及終邊與它們相同的角組成的集合，故該區(qū)域可表示為{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}. 能力提升訓(xùn)練 1．【安徽省蕪湖市2019屆高三模擬考試】如圖，點(diǎn)為單位圓上一點(diǎn)，，點(diǎn)沿單位圓逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角到點(diǎn)，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ∵點(diǎn)A為單位圓上一點(diǎn)，，點(diǎn)A沿單位圓逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α到點(diǎn)， ∴A（cos，sin），即A（），且cos（α），sin（α）． 則sinα＝sin[（α）]＝sin（α）coscos（α）sin， 故選：D． 2．【黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)2018-2019學(xué)年高一下學(xué)期期中考試】在中，若，那么是 （ ） A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不能確定 【答案】A 【解析】 ∵在中，， ∴， ∴為銳角． 又， ∴， ∴， ∴為銳角， ∴為銳角三角形． 故選A． 3．【河北省邯鄲市2018-2019學(xué)年高一下學(xué)期期中考試】已知，那么角是（ ） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 【答案】B 【解析】 由，得異號(hào)， 則角是第二或第三象限角， 故選:. 4．【河南省洛陽(yáng)市2018-2019學(xué)年高一下學(xué)期期中考試】已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-3，y），且y＜0，cosα=-，則tanα=（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由題意，角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則， ∴，所以， 故選：C． 5．【四川省攀枝花市2019屆高三下學(xué)期第三次統(tǒng)考】已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（　?。? A．±2 B．2 C．﹣2 D．﹣4 【答案】C 【解析】 ∵已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，則，故選：C． 6．【黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2019屆高三上學(xué)期期中考試】，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 根據(jù)題意，，且， 則. 故選：C． 7．【四川省華文大教育聯(lián)盟2019屆高三第二次質(zhì)量檢測(cè)考試】在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，則的值是___________． 【答案】 【解析】 ， ∵，且點(diǎn)在第一象限， ∴為銳角， ∴的值是， 故答案為： 8．【安徽省淮北市第一中學(xué)2018-2019學(xué)年高一下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試】函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____． 【答案】或， 【解析】 因?yàn)? 所以 等價(jià)于或 所以或， 故答案為：或，． 9．【四川省蓉城名校聯(lián)盟2018-2019學(xué)年上期期末聯(lián)考高一】在平面直角坐標(biāo)系中，已知一個(gè)角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（5，-12），則sinα+cosα的值為_(kāi)__． 【答案】 【解析】 ∵一個(gè)角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（5，-12）， ∴sinα= 則sinα+cosα=-， 故答案為：-． 10．對(duì)于任意實(shí)數(shù)，事件“”的概率為_(kāi)______． 【答案】 【解析】 由于“”，故為第二象限角，故概率為. 20