中考數(shù)學 第二部分 題型研究 題型四 反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題試題

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題型四　反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題 針對演練 1. 如圖，一次函數(shù)y＝kx＋1(k≠0)與反比例函數(shù)y＝(m≠0)的圖象有公共點A(1，2)，直線l⊥x軸于點N(3，0)，與一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象分別相交于點B，C，連接AC. (1)求k和m的值； (2)求點B的坐標； (3)求△ABC的面積． 第1題圖 2. 已知正比例函數(shù)y＝2x的圖象與反比例函數(shù)y＝(k≠0)在第一象限內的圖象交于點A，過點A作x軸的垂線，垂足為點P，已知△OAP的面積為1. (1)求反比例函數(shù)的解析式； (2)有一點B的橫坐標為2，且在反比例函數(shù)圖象上，則在x軸上是否存在一點M，使得MA＋MB最?。咳舸嬖?，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由． 第2題圖 3. 如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象交于點A、B，點A、B的橫坐標分別為1、－2，一次函數(shù)圖象與y軸交于點C，與x軸交于點D. (1)求一次函數(shù)的解析式； (2)對于反比例函數(shù)，當y＜－1時，寫出x的取值范圍； (3)在第三象限的反比例函數(shù)圖象上是否存在一點P，使得S△ODP＝ 2S△OCA？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由． 第3題圖 4. (2016巴中10分)已知，如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b(k、b為常數(shù)， k≠0)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且與反比例函數(shù)y＝(n為常數(shù)且n≠0)的圖象在第二象限交于點C.CD⊥x軸，垂足為D.若OB＝2OA＝3OD＝6. (1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式； (2)求兩函數(shù)圖象的另一個交點坐標； (3)直接寫出不等式：kx＋b≤的解集． 第4題圖 5. 如圖，點A(－2，n)，B(1，－2)是一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象和反比例函數(shù)y＝的圖象的兩個交點． (1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； (2)根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍； (3)若C是x軸上一動點，設t＝CB－CA，求t的最大值，并求出此時點C的坐標． 第5題圖 6. 如圖，直線y1＝x＋1與x軸交于點A，與y軸交于點C，與反比例函數(shù)y2＝(x>0)的圖象交于點P，過點P作PB⊥x軸于點B，且AC＝BC. (1)求點P的坐標和反比例函數(shù)y2的解析式； (2)請直接寫出y1>y2時，x的取值范圍； (3)反比例函數(shù)y2圖象上是否存在點D，使四邊形BCPD為菱形？如果存在，求出點D的坐標；如果不存在，說明理由． 第6題圖 7. 如圖，直線y＝x＋b與x軸交于點C(4，0)，與y軸交于點B，并與雙曲線y＝(x＜0)交于點A(－1，n)． (1)求直線與雙曲線的解析式； (2)連接OA，求∠OAB的正弦值； (3)若點D在x軸的正半軸上，是否存在以點D、C、B構成的三角形△OAB相似？若存在求出D點的坐標，若不存在，請說明理由． 第7題圖 8. (2016金華8分)如圖，直線y＝x－與x，y軸分別交于點A，B，與反比例函數(shù)y＝(k＞0)圖象交于點C，D，過點A作x軸的垂線交該反比例函數(shù)圖象于點E. (1)求點A的坐標； (2)若AE＝AC. ①求k的值； ②試判斷點E與點D是否關于原點O成中心對稱？并說明理由． 第8題圖 9. 如圖，已知雙曲線y＝經(jīng)過點D(6，1)，點C是雙曲線第三象限上的動點，過點C作CA⊥x軸，過點D作DB⊥y軸，垂足分別為A，B，連接AB，BC. (1)求k的值； (2)若△BCD的面積為12，求直線CD的解析式； (3)判斷AB與CD的位置關系，并說明理由． 第9題圖 10. 如圖，點B為雙曲線y＝(x＞0)上一點，直線AB平行于y軸，交直線y＝x于點A，交x軸于點D，雙曲線y＝與直線y＝x交于點C，若OB2－AB2＝4. (1)求k的值； (2)點B的橫坐標為4時，求△ABC的面積； (3)雙曲線上是否存在點P，使△APC∽△AOD？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由． 第10題圖 【答案】 1．解：(1)∵點A(1，2)是一次函數(shù)y＝kx＋1與反比例函數(shù)y＝的公共點， ∴k＋1＝2，＝2，∴k＝1，m＝2； (2)∵直線l⊥x軸于點N(3，0)，且與一次函數(shù)的圖象交于點B， ∴點B的橫坐標為3， 將x＝3代入y＝x＋1，得y＝3＋1＝4， ∴點B的坐標為(3，4)； (3)如解圖，過點A作AD⊥直線l，垂足為點D， 由題意得，點C的橫坐標為3， ∵點C在反比例函數(shù)圖象上， ∴y＝＝， ∴C點坐標為(3，)， ∴BC＝BN－CN＝4－＝， 又∵AD＝3－1＝2， ∴S△ABC＝BCAD＝2＝. 第1題解圖 2．解：(1)設A點的坐標為(x，y)，則OP＝x，PA＝y(tǒng)， ∵△OAP的面積為1， ∴xy＝1， ∴xy＝2，即k＝2， ∴反比例函數(shù)的解析式為； (2)存在，如解圖，作點A關于x軸的對稱點A′，連接A′B，交x軸于點M，此時MA＋MB最小， ∵點B的橫坐標為2， ∴點B的縱坐標為y＝＝1， 即點B的坐標為（2,1）. 又∵兩個函數(shù)圖象在第一象限交于A點， ∴， 解得x1＝1，x2＝－1(舍去)． ∴y＝2， ∴點A的坐標為(1，2)， ∴點A關于x軸的對稱點A′(1，－2)， 設直線A′B的解析式為y＝kx＋b，代入A′(1，－2)，B(2，1)得， ∴直線A′B的解析式為y＝3x－5， 令y＝0，得x＝， ∴直線y＝3x－5與x軸的交點為(，0)， 即點M的坐標為(，0)． 第2題解圖 3．解：(1)∵反比例函數(shù)y＝圖象上的點A、B的橫坐標 分別為1、－2， ∴點A的坐標為(1，2)，點B的坐標為(－2，－1)， ∵點A(1，2)、B(－2，－1)在一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象上， ∴ ∴一次函數(shù)的解析式為y＝x＋1； (2)由圖象知，對于反比例函數(shù)，當y＜－1時，x的取值范圍是－2＜x＜0； (3)存在． 對于y＝x＋1，當y＝0時，x＝－1，當x＝0時，y＝1， ∴點D的坐標為(－1，0)，點C的坐標為(0，1)， 設點P(m，n)， ∵S△ODP＝2S△OCA， ∴1(－n)＝211， ∴n＝－2， ∵點P(m，－2)在反比例函數(shù)圖象上， ∴－2＝ ， ∴m＝－1， ∴點P的坐標為(－1，－2)． 4．解：(1)∵OB＝2OA＝3OD＝6， ∴OA＝3，OD＝2. ∴A(3，0)，B(0，6)，D(－2，0)． 將點A(3，0)和B(0，6)代入y＝kx＋b得， ∴一次函數(shù)的解析式為y＝－2x＋6. ……………………(3分) 將x＝－2代入y＝－2x＋6，得y＝－2(－2)＋6＝10， ∴點C的坐標為(－2，10)． 將點C(－2，10)代入y＝，得 10＝，解得n＝－20， ∴反比例函數(shù)的解析式為；………………………(5分) (2)將兩個函數(shù)解析式組成方程組，得 解得x1＝－2，x2＝5. ………………………………………(7分) 將x＝5代入 ∴兩函數(shù)圖象的另一個交點坐標是(5，－4)； …………… (8分) (3)－2≤x＜0或x≥5. …………………………………… (10分) 【解法提示】不等式kx＋b≤的解集，即是直線位于雙曲線下方的部分所對應的自變量x的取值范圍，也就是－2≤x＜0或x≥5. 5．解：(1)∵點A(－2，n)，B(1，－2)是一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象和反比例函數(shù)y＝的圖象的兩個交點， ∴m＝－2， ∴反比例函數(shù)解析式為， ∴n＝1， ∴點A(－2，1)， 將點A(－2，1)，B(1，－2)代入y＝kx＋b，得 ∴一次函數(shù)的解析式為y＝－x－1； (2)結合圖象知：當－2＜x＜0或x＞1時，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值； (3)如解圖，作點A關于x軸的對稱點A′，連接BA′延長交x軸于點C，則點C即為所求， ∵A(－2，1)， ∴A′(－2，－1)， 設直線A′B的解析式為y＝mx＋n， ∴y＝－x－， 令y＝0，得x＝－5， 則C點坐標為(－5，0)， ∴t的最大值為A′B＝＝. 第5題解圖 6．解：(1)∵一次函數(shù)y1＝x＋1的圖象與x軸交于點A，與 y軸交于點C， ∴A(－4，0)，C(0，1)， 又∵AC＝BC，CO⊥AB， ∴O為AB的中點，即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2， ∴點P的坐標為(4，2)， 將點P(4，2)代入y2＝，得m＝8， ∴反比例函數(shù)的解析式為y2＝； (2)x>4； 【解法提示】由圖象可知，當y1＞y2時，即是直線位于雙曲線上方的部分，所對應的自變量x的取值范圍是x＞4. (3)存在．假設存在這樣的D點，使四邊形BCPD為菱形，如解圖，連接DC與PB交于點E， ∵四邊形BCPD為菱形， ∴CE＝DE＝4， ∴CD＝8， ∴D點的坐標為(8，1)， 將D(8，1)代入反比例函數(shù)，D點坐標滿足函數(shù)關系式， 即反比例函數(shù)圖象上存在點D，使四邊形BCPD為菱形，此時 D點坐標為(8，1)． 第6題解圖 7．解：(1)∵直線y＝x＋b與x軸交于點C(4，0)， ∴把點C(4，0)代入y＝x＋b，得b＝－4， ∴直線的解析式為y＝x－4， ∵直線也過A點， ∴把點A(－1，n)代入y＝x－4，得n＝－5， ∴A(－1，－5)， 將A(－1，－5)代入y＝(x＜0)，得m＝5， ∴雙曲線的解析式為； (2)如解圖，過點O作OM⊥AC于點M， ∵點B是直線y＝x－4與y軸的交點， ∴令x＝0，得y＝－4， ∴點B(0，－4)，∴OC＝OB＝4， ∴△OCB是等腰直角三角形， ∴∠OBC＝∠OCB＝45， ∴在△OMB中，sin45＝＝，∴OM＝2， ∵AO＝＝， ∴在△AOM中，sin∠OAB＝＝＝； 第7題解圖 (3)存在． 如解圖，過點A作AN⊥y軸于點N，則AN＝1，BN＝1， ∴AB＝＝， ∵OB＝OC＝4， ∴BC＝＝4， 又∵∠OBC＝∠OCB＝45， ∴∠OBA＝∠BCD＝135， ∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB， ∴＝或＝， 即＝或＝， ∴CD＝2或CD＝16， ∵點C(4，0)， ∴點D的坐標是(6，0)或(20，0)． 8．解：(1)當y＝0時，得0＝x－，解得x＝3. ∴點A的坐標為(3，0)； ……………………………………(2分) (2)①如解圖，過點C作CF⊥x軸于點F. 設AE＝AC＝t, 點E的坐標是(3，t). 在Rt△AOB中， tan∠OAB＝＝， ∴∠OAB＝30. 在Rt△ACF中，∠CAF＝30， ∴CF＝t，AF＝ACcos30＝t， ∴點C的坐標是(3＋t，t)． ∵點C、E在y＝的圖象上， ∴(3＋t)t＝3t， 解得t1＝0(舍去)，t2＝2， ∴k＝3t＝6； …………………………………………… (5分) ②點E與點D關于原點O成中心對稱，理由如下： 由①知，點E的坐標為(3，2)， 設點D的坐標是(x，x－)， ∴x(x－)＝6，解得x1＝6(舍去)，x2＝－3， ∴點D的坐標是(－3，－2)， ∴點E與點D關于原點O成中心對稱．…………………(8分) 第8題解圖 9．解：(1)∵雙曲線y＝經(jīng)過點D(6，1)， ∴＝1，解得k＝6； (2)設點C到BD的距離為h， ∵點D的坐標為(6，1)，DB⊥y軸， ∴BD＝6， ∴S△BCD＝6h＝12， 解得h＝4， ∵點C是雙曲線第三象限上的動點，點D的縱坐標為1， ∴點C的縱坐標為1－4＝－3， ∴＝－3，解得x＝－2， ∴點C的坐標為(－2，－3)， 設直線CD的解析式為y＝kx＋b，則 ∴直線CD的解析式為y＝x－2； (3)AB∥CD.理由如下： ∵CA⊥x軸，DB⊥y軸，點D的坐標為(6，1)， 設點C的坐標為(c，)， ∴點A、B的坐標分別為A(c，0)，B(0，1)， 設直線AB的解析式為y＝mx＋n，則 ∴直線AB的解析式為y＝－＋1， 設直線CD的解析式為y＝ex＋f，則 ∴直線CD的解析式為y＝－＋， ∵AB、CD的解析式中k都等于， ∴AB與CD的位置關系是AB∥CD. 10．解：(1)設D點坐標為(a，0)， ∵AB∥y軸，點A在直線y＝x上，B為雙曲線y＝(x＞0)上一點， ∴A點坐標為(a，a)，B點坐標為(a，)， ∴AB＝a－，BD＝， 在Rt△OBD中，OB2＝BD2＋OD2＝()2＋a2， ∵OB2－AB2＝4， ∴()2＋a2－(a－)2＝4， ∴k＝2； (2)如解圖，過點C作CM⊥AB于點M， ∴C點坐標為(，)， ∵點B的橫坐標為4， ∴A點坐標為(4，4)，B點坐標為(4，)， ∴AB＝4－＝，CM＝4－， ∴S△ABC＝CMAB ＝(4－) ＝7－； 第10題解圖 (3)不存在，理由如下： 若△APC∽△AOD， ∵△AOD為等腰直角三角形， ∴△APC為等腰直角三角形，∠ACP＝90， ∴CM＝AP， 設P點坐標為(a，)，則A點坐標為(a，a)， ∴AP＝|a－|， ∵C點坐標為(，)， ∴CM＝|a－|， ∴|a－|＝|a－|， ∴(a－)2＝， 即(a－)2＝， ∴4a2－(a＋)2＝0，解得a＝或a＝－(舍去)， ∴P點坐標為(，)，則此時點C與點P重合，所以不能構成三角形，故不存在．