中考數(shù)學(xué) 第二部分 題型研究 題型四 反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題試題

題型四　反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題 針對(duì)演練 1. 如圖，一次函數(shù)y＝kx＋1(k≠0)與反比例函數(shù)y＝(m≠0)的圖象有公共點(diǎn)A(1，2)，直線l⊥x軸于點(diǎn)N(3，0)，與一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象分別相交于點(diǎn)B，C，連接AC. (1)求k和m的值； (2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)； (3)求△ABC的面積． 第1題圖 2. 已知正比例函數(shù)y＝2x的圖象與反比例函數(shù)y＝(k≠0)在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)P，已知△OAP的面積為1. (1)求反比例函數(shù)的解析式； (2)有一點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，且在反比例函數(shù)圖象上，則在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使得MA＋MB最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 第2題圖 3. 如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為1、－2，一次函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D. (1)求一次函數(shù)的解析式； (2)對(duì)于反比例函數(shù)，當(dāng)y＜－1時(shí)，寫出x的取值范圍； (3)在第三象限的反比例函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得S△ODP＝ 2S△OCA？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 第3題圖 4. (2016巴中10分)已知，如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b(k、b為常數(shù)， k≠0)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)y＝(n為常數(shù)且n≠0)的圖象在第二象限交于點(diǎn)C.CD⊥x軸，垂足為D.若OB＝2OA＝3OD＝6. (1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式； (2)求兩函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)； (3)直接寫出不等式：kx＋b≤的解集． 第4題圖 5. 如圖，點(diǎn)A(－2，n)，B(1，－2)是一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象和反比例函數(shù)y＝的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)． (1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； (2)根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍； (3)若C是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)t＝CB－CA，求t的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)． 第5題圖 6. 如圖，直線y1＝x＋1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，與反比例函數(shù)y2＝(x>0)的圖象交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PB⊥x軸于點(diǎn)B，且AC＝BC. (1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)和反比例函數(shù)y2的解析式； (2)請(qǐng)直接寫出y1>y2時(shí)，x的取值范圍； (3)反比例函數(shù)y2圖象上是否存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形？如果存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由． 第6題圖 7. 如圖，直線y＝x＋b與x軸交于點(diǎn)C(4，0)，與y軸交于點(diǎn)B，并與雙曲線y＝(x＜0)交于點(diǎn)A(－1，n)． (1)求直線與雙曲線的解析式； (2)連接OA，求∠OAB的正弦值； (3)若點(diǎn)D在x軸的正半軸上，是否存在以點(diǎn)D、C、B構(gòu)成的三角形△OAB相似？若存在求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 第7題圖 8. (2016金華8分)如圖，直線y＝x－與x，y軸分別交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)y＝(k＞0)圖象交于點(diǎn)C，D，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交該反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)E. (1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)； (2)若AE＝AC. ①求k的值； ②試判斷點(diǎn)E與點(diǎn)D是否關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱？并說(shuō)明理由． 第8題圖 9. 如圖，已知雙曲線y＝經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(6，1)，點(diǎn)C是雙曲線第三象限上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CA⊥x軸，過(guò)點(diǎn)D作DB⊥y軸，垂足分別為A，B，連接AB，BC. (1)求k的值； (2)若△BCD的面積為12，求直線CD的解析式； (3)判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由． 第9題圖 10. 如圖，點(diǎn)B為雙曲線y＝(x＞0)上一點(diǎn)，直線AB平行于y軸，交直線y＝x于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)D，雙曲線y＝與直線y＝x交于點(diǎn)C，若OB2－AB2＝4. (1)求k的值； (2)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4時(shí)，求△ABC的面積； (3)雙曲線上是否存在點(diǎn)P，使△APC∽△AOD？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 第10題圖 【答案】 1．解：(1)∵點(diǎn)A(1，2)是一次函數(shù)y＝kx＋1與反比例函數(shù)y＝的公共點(diǎn)， ∴k＋1＝2，＝2，∴k＝1，m＝2； (2)∵直線l⊥x軸于點(diǎn)N(3，0)，且與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B， ∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3， 將x＝3代入y＝x＋1，得y＝3＋1＝4， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，4)； (3)如解圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥直線l，垂足為點(diǎn)D， 由題意得，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3， ∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上， ∴y＝＝， ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(3，)， ∴BC＝BN－CN＝4－＝， 又∵AD＝3－1＝2， ∴S△ABC＝BCAD＝2＝. 第1題解圖 2．解：(1)設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則OP＝x，PA＝y(tǒng)， ∵△OAP的面積為1， ∴xy＝1， ∴xy＝2，即k＝2， ∴反比例函數(shù)的解析式為； (2)存在，如解圖，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，交x軸于點(diǎn)M，此時(shí)MA＋MB最小， ∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2， ∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為y＝＝1， 即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,1）. 又∵兩個(gè)函數(shù)圖象在第一象限交于A點(diǎn)， ∴， 解得x1＝1，x2＝－1(舍去)． ∴y＝2， ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，2)， ∴點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(1，－2)， 設(shè)直線A′B的解析式為y＝kx＋b，代入A′(1，－2)，B(2，1)得， ∴直線A′B的解析式為y＝3x－5， 令y＝0，得x＝， ∴直線y＝3x－5與x軸的交點(diǎn)為(，0)， 即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，0)． 第2題解圖 3．解：(1)∵反比例函數(shù)y＝圖象上的點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo) 分別為1、－2， ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，2)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－2，－1)， ∵點(diǎn)A(1，2)、B(－2，－1)在一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象上， ∴ ∴一次函數(shù)的解析式為y＝x＋1； (2)由圖象知，對(duì)于反比例函數(shù)，當(dāng)y＜－1時(shí)，x的取值范圍是－2＜x＜0； (3)存在． 對(duì)于y＝x＋1，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝－1，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－1，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，1)， 設(shè)點(diǎn)P(m，n)， ∵S△ODP＝2S△OCA， ∴1(－n)＝211， ∴n＝－2， ∵點(diǎn)P(m，－2)在反比例函數(shù)圖象上， ∴－2＝ ， ∴m＝－1， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，－2)． 4．解：(1)∵OB＝2OA＝3OD＝6， ∴OA＝3，OD＝2. ∴A(3，0)，B(0，6)，D(－2，0)． 將點(diǎn)A(3，0)和B(0，6)代入y＝kx＋b得， ∴一次函數(shù)的解析式為y＝－2x＋6. ……………………(3分) 將x＝－2代入y＝－2x＋6，得y＝－2(－2)＋6＝10， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－2，10)． 將點(diǎn)C(－2，10)代入y＝，得 10＝，解得n＝－20， ∴反比例函數(shù)的解析式為；………………………(5分) (2)將兩個(gè)函數(shù)解析式組成方程組，得 解得x1＝－2，x2＝5. ………………………………………(7分) 將x＝5代入 ∴兩函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是(5，－4)； …………… (8分) (3)－2≤x＜0或x≥5. …………………………………… (10分) 【解法提示】不等式kx＋b≤的解集，即是直線位于雙曲線下方的部分所對(duì)應(yīng)的自變量x的取值范圍，也就是－2≤x＜0或x≥5. 5．解：(1)∵點(diǎn)A(－2，n)，B(1，－2)是一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象和反比例函數(shù)y＝的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)， ∴m＝－2， ∴反比例函數(shù)解析式為， ∴n＝1， ∴點(diǎn)A(－2，1)， 將點(diǎn)A(－2，1)，B(1，－2)代入y＝kx＋b，得 ∴一次函數(shù)的解析式為y＝－x－1； (2)結(jié)合圖象知：當(dāng)－2＜x＜0或x＞1時(shí)，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值； (3)如解圖，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求， ∵A(－2，1)， ∴A′(－2，－1)， 設(shè)直線A′B的解析式為y＝mx＋n， ∴y＝－x－， 令y＝0，得x＝－5， 則C點(diǎn)坐標(biāo)為(－5，0)， ∴t的最大值為A′B＝＝. 第5題解圖 6．解：(1)∵一次函數(shù)y1＝x＋1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與 y軸交于點(diǎn)C， ∴A(－4，0)，C(0，1)， 又∵AC＝BC，CO⊥AB， ∴O為AB的中點(diǎn)，即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，2)， 將點(diǎn)P(4，2)代入y2＝，得m＝8， ∴反比例函數(shù)的解析式為y2＝； (2)x>4； 【解法提示】由圖象可知，當(dāng)y1＞y2時(shí)，即是直線位于雙曲線上方的部分，所對(duì)應(yīng)的自變量x的取值范圍是x＞4. (3)存在．假設(shè)存在這樣的D點(diǎn)，使四邊形BCPD為菱形，如解圖，連接DC與PB交于點(diǎn)E， ∵四邊形BCPD為菱形， ∴CE＝DE＝4， ∴CD＝8， ∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(8，1)， 將D(8，1)代入反比例函數(shù)，D點(diǎn)坐標(biāo)滿足函數(shù)關(guān)系式， 即反比例函數(shù)圖象上存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形，此時(shí) D點(diǎn)坐標(biāo)為(8，1)． 第6題解圖 7．解：(1)∵直線y＝x＋b與x軸交于點(diǎn)C(4，0)， ∴把點(diǎn)C(4，0)代入y＝x＋b，得b＝－4， ∴直線的解析式為y＝x－4， ∵直線也過(guò)A點(diǎn)， ∴把點(diǎn)A(－1，n)代入y＝x－4，得n＝－5， ∴A(－1，－5)， 將A(－1，－5)代入y＝(x＜0)，得m＝5， ∴雙曲線的解析式為； (2)如解圖，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)M， ∵點(diǎn)B是直線y＝x－4與y軸的交點(diǎn)， ∴令x＝0，得y＝－4， ∴點(diǎn)B(0，－4)，∴OC＝OB＝4， ∴△OCB是等腰直角三角形， ∴∠OBC＝∠OCB＝45， ∴在△OMB中，sin45＝＝，∴OM＝2， ∵AO＝＝， ∴在△AOM中，sin∠OAB＝＝＝； 第7題解圖 (3)存在． 如解圖，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥y軸于點(diǎn)N，則AN＝1，BN＝1， ∴AB＝＝， ∵OB＝OC＝4， ∴BC＝＝4， 又∵∠OBC＝∠OCB＝45， ∴∠OBA＝∠BCD＝135， ∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB， ∴＝或＝， 即＝或＝， ∴CD＝2或CD＝16， ∵點(diǎn)C(4，0)， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是(6，0)或(20，0)． 8．解：(1)當(dāng)y＝0時(shí)，得0＝x－，解得x＝3. ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，0)； ……………………………………(2分) (2)①如解圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F. 設(shè)AE＝AC＝t, 點(diǎn)E的坐標(biāo)是(3，t). 在Rt△AOB中， tan∠OAB＝＝， ∴∠OAB＝30. 在Rt△ACF中，∠CAF＝30， ∴CF＝t，AF＝ACcos30＝t， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(3＋t，t)． ∵點(diǎn)C、E在y＝的圖象上， ∴(3＋t)t＝3t， 解得t1＝0(舍去)，t2＝2， ∴k＝3t＝6； …………………………………………… (5分) ②點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，理由如下： 由①知，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3，2)， 設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是(x，x－)， ∴x(x－)＝6，解得x1＝6(舍去)，x2＝－3， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是(－3，－2)， ∴點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱．…………………(8分) 第8題解圖 9．解：(1)∵雙曲線y＝經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(6，1)， ∴＝1，解得k＝6； (2)設(shè)點(diǎn)C到BD的距離為h， ∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6，1)，DB⊥y軸， ∴BD＝6， ∴S△BCD＝6h＝12， 解得h＝4， ∵點(diǎn)C是雙曲線第三象限上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為1， ∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1－4＝－3， ∴＝－3，解得x＝－2， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－2，－3)， 設(shè)直線CD的解析式為y＝kx＋b，則 ∴直線CD的解析式為y＝x－2； (3)AB∥CD.理由如下： ∵CA⊥x軸，DB⊥y軸，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6，1)， 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(c，)， ∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(c，0)，B(0，1)， 設(shè)直線AB的解析式為y＝mx＋n，則 ∴直線AB的解析式為y＝－＋1， 設(shè)直線CD的解析式為y＝ex＋f，則 ∴直線CD的解析式為y＝－＋， ∵AB、CD的解析式中k都等于， ∴AB與CD的位置關(guān)系是AB∥CD. 10．解：(1)設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(a，0)， ∵AB∥y軸，點(diǎn)A在直線y＝x上，B為雙曲線y＝(x＞0)上一點(diǎn)， ∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(a，a)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(a，)， ∴AB＝a－，BD＝， 在Rt△OBD中，OB2＝BD2＋OD2＝()2＋a2， ∵OB2－AB2＝4， ∴()2＋a2－(a－)2＝4， ∴k＝2； (2)如解圖，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M， ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(，)， ∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4， ∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(4，4)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(4，)， ∴AB＝4－＝，CM＝4－， ∴S△ABC＝CMAB ＝(4－) ＝7－； 第10題解圖 (3)不存在，理由如下： 若△APC∽△AOD， ∵△AOD為等腰直角三角形， ∴△APC為等腰直角三角形，∠ACP＝90， ∴CM＝AP， 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(a，)，則A點(diǎn)坐標(biāo)為(a，a)， ∴AP＝|a－|， ∵C點(diǎn)坐標(biāo)為(，)， ∴CM＝|a－|， ∴|a－|＝|a－|， ∴(a－)2＝， 即(a－)2＝， ∴4a2－(a＋)2＝0，解得a＝或a＝－(舍去)， ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，則此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)P重合，所以不能構(gòu)成三角形，故不存在．