中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二編 中檔題型突破專項訓(xùn)練篇 中檔題型訓(xùn)練（四）三角形、四邊形中的相關(guān)證明及計算試題

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中檔題型訓(xùn)練(四)　三角形、四邊形中的相關(guān)證明及計算 命題規(guī)律 縱觀近7年懷化市中考題，三角形常與旋轉(zhuǎn)、折疊、平移等知識點結(jié)合起來考查；四邊形中要特別關(guān)注平行四邊形、矩形、菱形和正方形的性質(zhì)和判定，以及運用其性質(zhì)解決有關(guān)計算的問題. 命題預(yù)測 根據(jù)懷化命題趨勢，此考點為必考，仍然是以大題形式呈現(xiàn)，一般設(shè)兩問，一問證明，一問解答，也可能大問都是證明. 　三角形的有關(guān)計算及證明 【例1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC，E為AC邊的中點，過點A作AD⊥AB交BE的延長線于點D.CG平分∠ACB交BD于點G，F(xiàn)為AB邊上一點，連接CF，且∠ACF＝∠CBG. 求證：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE. 【解析】(1)要證明AF＝CG，可以利用“ASA”證明△ACF≌△CBG來得到；(2)要證明CF＝2DE，由(1)得CF＝BG，則只要證明BG＝2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG＝2DE，再證明DG＝BG即可． 【學(xué)生解答】證明：(1)∵∠ACB＝90，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45.又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴CF＝BG，AF＝CG；(2)延長CG交AB于點H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H為AB中點．又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，又∵H為AB的中點，∴G為BD中點，∴BG＝DG，∠D＝∠EGC.∵E為AC中點，∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS)，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE. 1．(2016寧夏中考)在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，若CD＝2，過點D作DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F，求EF的長． 解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60，∠DEC＝∠A＝60，∴△EDC是等邊三角形，∴DE＝DC＝2.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90.Rt△DEF中，EF＝DEtan 60＝2. 2．(2016龍巖中考)已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC. (1)特殊情形：如圖1，當(dāng)DE∥BC時，有DB__＝__EC；(選填“>”“<”或“＝”) (2)發(fā)現(xiàn)探究：若將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α(0<α<180)到圖2位置，則(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由． (3)拓展運用：如圖3，P是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點，∠ACB＝90，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，求∠BPC的度數(shù)． 解：(2)成立．證明：由①易知AD＝AE，∴由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠DAB＝∠EAC.又AB＝AC，∴△DAB≌△EAC，∴DB＝CE； (3)如圖，將△CPB繞點C旋轉(zhuǎn)90到△CEA，連接PE，則△CPB≌△CEA，∴CE＝CP＝2，AE＝BP＝1，∠PCE＝90，∴∠CEP＝∠CPE＝45.在Rt△PCE中，PE＝2，在△PEA中，PE2＝(2)2＝8，AE2＝12＝1，PA2＝32＝9.∵PE2＋AE2＝AP2，∴△PEA是直角三角形且∠PEA＝90，∴∠CEA＝135.又∵△CPB≌△CEA，∴∠BPC＝∠CEA＝135. 3．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是點D，AE平分∠BAD，交BC于點E.在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC. (1)求證：BE＝CF； (2)在AB上取一點M，使BM＝2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME. 求證：①ME⊥BC；②DE＝DN. 證明：(1)∵∠BAC＝90，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45.∵FC⊥BC，∴∠BCF＝90.∴∠ACF＝90－45＝45，∴∠B＝∠ACF.∵∠BAC＝90，F(xiàn)A⊥AE，∴∠BAE＋∠CAE＝90，∠CAF＋∠CAE＝90，∴∠BAE＝∠CAF.在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF(ASA)．∴BE＝CF；(2)①過點E作EH⊥AB于點H，則△BEH是等腰直角三角形．∴HE＝BH，∠BEH＝45.∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE＝HE，∴DE＝BH＝HE.∵BM＝2DE，∴HE＝HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH＝45，∴∠BEM＝45＋45＝90，∴ME⊥BC；②由題意得∠CAE＝45＋45＝67.5，∴∠CEA＝180－45－67.5＝67.5，∴∠CAE＝∠CEA＝67.5，∴AC＝CE.在Rt△ACM和Rt△ECM中，∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL)，∴∠ACM＝∠ECM＝45＝22.5.又∵∠DAE＝45＝22.5，∴∠DAE＝∠ECM.∵∠BAC＝90，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD＝CD＝BC.在△ADE和△CDN中，∴△ADE≌△CDN(ASA)，∴DE＝DN. 　四邊形的有關(guān)計算及證明 【例2】(2014邵陽中考)準(zhǔn)備一張矩形紙片，按如圖所示操作：將△ABE沿BE翻折，使點A落在對角線BD上的M點；將△CDF沿DF翻折，使點C落在對角線BD上的N點． (1)求證：四邊形BFDE是平行四邊形； (2)若四邊形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面積． 【解析】(1)由矩形及翻折的性質(zhì)可證得△EDM≌△FBN，從而證出四邊形BFDE是平行四邊形；(2)由菱形及矩形的性質(zhì)得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30，利用銳角三角函數(shù)可求出AE，BE，進而求出AD，DE，即可求出菱形BFDE的面積． 【學(xué)生解答】解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90，AB＝CD.由翻折得：BM＝AB，DN＝DC，∠A＝∠EMB，∠C＝∠DNF，∴BM＝DN，∠EMB＝∠DNF＝90，∴BN＝DM，∠EMD＝∠FNB＝90.∵AD∥BC，∴∠EDM＝∠FBN，∴△EDM≌△FBN(ASA)，∴ED＝BF，又ED∥BF，∴四邊形BFDE是平行四邊形；(2)∵四邊形BFDE是菱形，∴∠EBD＝∠FBD.∵∠ABE＝∠EBD，∠ABC＝90，∴∠ABE＝90＝30.在Rt△ABE中，∵AB＝2，∴AE＝，BE＝，∴ED＝，∴S菱形＝EDAB＝2＝. 4．(2016哈爾濱中考)已知：如圖，在正方形ABCD中，點E在邊CD上，AQ⊥BE于點Q，DP⊥AQ于點P. (1)求證：AP＝BQ； (2)在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中四對線段，使每對中較長線段與較短線段長度的差等于PQ的長． 解：(1)∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90，∴∠BAQ＋∠DAP＝90.∵DP⊥AQ，∴∠APD＝90，∴∠ADP＋∠DAP＝90，∴∠ADP＝∠BAQ.∵AQ⊥BE，∴∠AQB＝90，∴∠APD＝∠AQB，∴△DAP≌△ABQ，∴AP＝BQ； (2)AQ與AP，DP與AP，AQ與BQ，DP與BQ. 5．(2016畢節(jié)中考)如圖，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC繞A點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE，連接BD，CE交于點F. (1)求證：△AEC≌△ADB； (2)若AB＝2，∠BAC＝45，當(dāng)四邊形ADFC是菱形時，求BF的長． 解：(1)由旋轉(zhuǎn)知△ABC≌△ADE且AB＝AC，∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE∴∠CAE＝∠DAB，在△AEC和△ADB中， ∴△AEC≌△ADB(SAS)； (2)∵四邊形ADFC是菱形且∠BAC＝45，∴∠DBA＝∠BAC＝45，而AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝45，∴△ABD是直角邊長為2的等腰直角三角形，∴BD2＝2AB2.∴BD＝2.又四邊形ADFC是菱形，∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，∴BF＝BD－DF＝2－2. 6．(2016棗莊中考)如圖，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得頂點E，F(xiàn)，P分別在線段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝6，∠BAD＝60，且AB>6. (1)求∠EPF的大?。? (2)若AP＝10，求AE＋AF的值； (3)若△EFP的三個頂點E，F(xiàn)，P分別在線段AB，AD，AC上運動，請直接寫出AP長的最大值和最小值． 解：(1)∠EPF＝120； (2)過P點作PM⊥AB于點M，PN⊥AD于點N.∵AC為菱形ABCD的對角線，∴∠DAC＝∠BAC，AM＝AN，PM＝PN.在Rt△PME和Rt△PNF中，PM＝PN，PE＝PF，∴Rt△PME≌Rt△PNF，∴ME＝NF.又∵AP＝10，∠PAM＝∠DAB＝30，∴AM＝AN＝APcos30＝10＝5，∴AE＋AF＝(AM＋ME)＋(AN－NF)＝AM＋AN＝10； (3)如圖，當(dāng)△EFP的三個頂點E，F(xiàn)，P分別在線段AB，AD，AC上運動時，點P在P1P2之間運動，易知P1O＝P2O＝3，AO＝9，∴AP的最大值為12，AP的最小值為6.