八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試卷(含解析) 蘇科版2
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八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試卷(含解析) 蘇科版2
江蘇省無錫市陽山中學(xué)2016-2017學(xué)年八年級(上)第一次月考數(shù)學(xué)試卷
一、精心選一選(本大題共10小題,每小題3分,共30分)
1.下列圖形中:①平行四邊形;②有一個角是30的直角三角形;③長方形;④等腰三角形.其中是軸對稱圖形有( ?。﹤€.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
2.不能使兩個直角三角形全等的條件( ?。?
A.一條直角邊及其對角對應(yīng)相等
B.斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等
C.斜邊和一銳角對應(yīng)相等
D.兩個銳角對應(yīng)相等
3.下列能斷定△ABC為等腰三角形的是( )
A.∠A=30,∠B=60 B.∠A=50,∠B=80
C.AB=AC=2,BC=4 D.AB=3,BC=7,周長為13
4.如圖,△ACB≌△A′CB′,∠BCB′=30,則∠ACA′的度數(shù)為( ?。?
A.20 B.30 C.35 D.40
5.如圖,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列哪個條件不能判定△ABM≌△CDN( ?。?
A.∠M=∠N B.AB=CD C.AM∥CN D.AM=CN
6.如圖,AC=AD,BC=BD,則有( ?。?
A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB
C.AB與CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB
7.如圖,在平面內(nèi),把矩形ABCD沿EF對折,若∠1=50,則∠AEF等于( ?。?
A.115 B.130 C.120 D.65
8.已知:如圖所示,B、C、D三點(diǎn)在同一條直線上,AC=CD,∠B=∠E=90,AC⊥CD,則不正確的結(jié)論是( ?。?
A.∠A與∠D互為余角 B.∠A=∠2
C.△ABC≌△CED D.∠1=∠2
9.如圖,南北向的公路上有一點(diǎn)A,東西向的公路上有一點(diǎn)B,若要在南北向的公路上確定點(diǎn)P,使得△PAB是等腰三角形,則這樣的點(diǎn)P最多能確定 ( ?。﹤€.
A.2 B.3 C.4 D.5
10.如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=54,∠BAC的平分線與AB的垂直平分線OD交于點(diǎn)O,將∠C沿EF(E在BC上,F(xiàn)在AC上)折疊,點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合,則∠OEC度數(shù)為( ?。?
A.100 B.105 C.120 D.108
二、仔細(xì)填一填(本大題共10小題,每空2分,共計(jì)23分):
11.若等腰三角形有兩條邊的長度為3和1,則此等腰三角形的周長為 ;
(2)在等腰△ABC中,∠A=40,則∠B= ?。?
12.如圖,已知△ABC≌△FED,∠A=40,∠B=80,則∠EDF= ?。?
13.如圖,把Rt△ABC(∠C=90)折疊,使A、B兩點(diǎn)重合,得到折痕ED,再沿BE折疊,C點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合,則∠A等于 度.
14.如圖,Rt△ABC中,∠C=90,AD平分∠BAC,交BC于點(diǎn)D,CD=4,則點(diǎn)D到AB的距離為 ?。?
15.如圖,已知等邊△ABC中,BD=CE,AD與BE相交于點(diǎn)P,則∠APE的度數(shù)是 度.
16.如圖,在△ABC中,∠ABC=∠ACB=72,BD、CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線,它們的交點(diǎn)為F,則圖中等腰三角形有 個.
17.如圖,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=32,則∠BAC= ?。?
18.如圖,在△ABC中,∠C=90,AD平分∠CAB,BC=8cm,BD=5cm,那么點(diǎn)D到線段AB的距離是 cm.
19.如圖,等邊△ABC的邊長為1cm,D、E分別是AB、AC上的點(diǎn),將△ADE沿直線DE折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,且點(diǎn)A′在△ABC外部,則陰影部分圖形的周長為 cm.
20.如圖,在平面內(nèi),兩條直線l1,l2相交于點(diǎn)O,對于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M,若p、q分別是點(diǎn)M到直線l1,l2的距離,則稱(p,q)為點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”.根據(jù)上述規(guī)定,“距離坐標(biāo)”是(1,1)的點(diǎn)共有 個.
三、解答題(本大題共7小題,共計(jì)47分.)
21.畫出△ABC關(guān)于直線L的對稱圖形△A′B′C′.
22.(4分)如圖:某通信公司在A區(qū) 要修建一座信號發(fā)射塔M,要求發(fā)射塔到兩城鎮(zhèn)P、Q的距離相等,同時(shí)到兩條高速公路l1、l2的距離也相等.請用直尺和圓規(guī)在圖中作出發(fā)射塔M的位置.(不寫作法,保留作圖痕跡 )
23.(7分)如圖,AB=CB,BE=BF,∠1=∠2,證明:△ABE≌△CBF.
24.(8分)如圖,B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上,AC∥DE,AC=CE,∠ACD=∠B.
(1)求證:BC=DE
(2)若∠A=40,求∠BCD的度數(shù).
25.(8分)如圖,在△ABC中,邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F.
(1)若BC=10,求△AEF周長.
(2)若∠BAC=128,求∠FAE的度數(shù).
26.(8分)如圖1,在四邊形ABCD中,DC∥AB,AD=BC,BD平分∠ABC.
(1)求證:AD=DC;
(2)如圖2,在上述條件下,若∠A=∠ABC=60,過點(diǎn)D作DE⊥AB,過點(diǎn)C作CF⊥BD,垂足分別為E、F,連接EF.判斷△DEF的形狀并證明你的結(jié)論.
27.(9分)如圖1,四邊形OABC中,OA=a,OC=3,BC=2,∠AOC=∠BCO=90,經(jīng)過點(diǎn)O的直線l將四邊形分成兩部分,直線l與
OC所成的角設(shè)為θ,將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)D處(如圖1).
(1)若折疊后點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)(如圖2),則θ= ?。?
(2)若θ=45,四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊后,點(diǎn)B落在點(diǎn)四邊形OABC的邊AB上的E處(如圖3),求a的值.
2016-2017學(xué)年江蘇省無錫市陽山中學(xué)八年級(上)第一次月考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、精心選一選(本大題共10小題,每小題3分,共30分)
1.下列圖形中:①平行四邊形;②有一個角是30的直角三角形;③長方形;④等腰三角形.其中是軸對稱圖形有( ?。﹤€.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【考點(diǎn)】軸對稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解.
【解答】解:①、②不是軸對稱圖形;
③長方形是軸對稱圖形;
④等腰三角形是軸對稱圖形.
共2個.
故選B.
【點(diǎn)評】軸對稱圖形的判斷方法:如果一個圖形沿一條直線折疊后,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個圖形叫做軸對稱圖形.
2.不能使兩個直角三角形全等的條件( )
A.一條直角邊及其對角對應(yīng)相等
B.斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等
C.斜邊和一銳角對應(yīng)相等
D.兩個銳角對應(yīng)相等
【考點(diǎn)】直角三角形全等的判定.
【分析】根據(jù)各選項(xiàng)提供的已知條件,結(jié)合直角三角形全等的判定方法,對選項(xiàng)逐一驗(yàn)證,選項(xiàng)D只有兩個銳角對應(yīng)相等是不符合直角三角形判定方法的,所以不能判定三角形全等.
【解答】解:A、符合AAS,正確;
B、符合HL,正確;
C、符合ASA,正確;
D、因?yàn)榕卸ㄈ切稳缺仨氂羞叺膮⑴c,錯誤.
故選D.
【點(diǎn)評】此題主要考查全等三角形的判定方法的掌握情況.判斷全等時(shí)必須要有邊對應(yīng)相等的關(guān)系.
3.下列能斷定△ABC為等腰三角形的是( )
A.∠A=30,∠B=60 B.∠A=50,∠B=80
C.AB=AC=2,BC=4 D.AB=3,BC=7,周長為13
【考點(diǎn)】等腰三角形的判定.
【分析】A、B根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出第三個角,可得結(jié)果;C不能組成三角形,D利用周長求出第三邊即可得到答案,根據(jù)等腰三角形的判定,采用逐條分析排除的方法判斷.
【解答】解:A、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得,∠C=180﹣60﹣30=90,不是等腰三角形,故此選項(xiàng)錯誤;
B、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得,∠C=180﹣50﹣80=50,是等腰三角形,故此選項(xiàng)正確;
C、根據(jù)三角形中三邊的關(guān)系知,任意兩邊之和大于第三邊,而AB+AC=4=BC,不能構(gòu)成三角形,故此選項(xiàng)錯誤;
D、周長為13,而AB+BC=10,則第三邊為13﹣10=3,因?yàn)?+3<7,則不能構(gòu)成三角形,故此選項(xiàng)錯誤.
故選:B.
【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的判定,利用三角形內(nèi)角和定理:內(nèi)角和為180和三角形中三邊的關(guān)系求解.有的同學(xué)可能選C或D出現(xiàn)錯誤,所以同學(xué)們在做題時(shí)要深思熟慮,不能只看表面現(xiàn)象.
4.如圖,△ACB≌△A′CB′,∠BCB′=30,則∠ACA′的度數(shù)為( )
A.20 B.30 C.35 D.40
【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì).
【分析】本題根據(jù)全等三角形的性質(zhì)并找清全等三角形的對應(yīng)角即可.
【解答】解:∵△ACB≌△A′CB′,
∴∠ACB=∠A′CB′,
即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB,
∴∠ACA′=∠B′CB,
又∠B′CB=30
∴∠ACA′=30.
故選:B.
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定及全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用,利用全等三角形的性質(zhì)求解.
5.如圖,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列哪個條件不能判定△ABM≌△CDN( ?。?
A.∠M=∠N B.AB=CD C.AM∥CN D.AM=CN
【考點(diǎn)】全等三角形的判定.
【分析】利用三角形全等的條件分別進(jìn)行分析即可.
【解答】解:A、加上∠M=∠N可利用ASA定理證明△ABM≌△CDN,故此選項(xiàng)不合題意;
B、加上AB=CD可利用SAS定理證明△ABM≌△CDN,故此選項(xiàng)不合題意;
C、加上AM∥CN可證明∠A=∠NCB,可利用ASA定理證明△ABM≌△CDN,故此選項(xiàng)不合題意;
D、加上AM=CN不能證明△ABM≌△CDN,故此選項(xiàng)符合題意;
故選:D.
【點(diǎn)評】本題考查三角形全等的判定方法,判定兩個三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意:AAA、SSA不能判定兩個三角形全等,判定兩個三角形全等時(shí),必須有邊的參與,若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí),角必須是兩邊的夾角.
6.如圖,AC=AD,BC=BD,則有( ?。?
A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB
C.AB與CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB
【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】由已知條件AC=AD,利用線段的垂直平分線的性質(zhì)的逆用可得點(diǎn)A在CD的垂直平分線上,同理,點(diǎn)B也在CD的垂直平分線上,于是A是符合題意的,是正確的,答案可得.
【解答】解:∵AC=AD,BC=BD,
∴點(diǎn)A,B在線段CD的垂直平分線上.
∴AB垂直平分CD.
故選A.
【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)為:與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上;兩點(diǎn)確定一條直線.分別應(yīng)用垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理是解答本題的關(guān)鍵.
7.如圖,在平面內(nèi),把矩形ABCD沿EF對折,若∠1=50,則∠AEF等于( )
A.115 B.130 C.120 D.65
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題).
【分析】根據(jù)折疊前后角相等可知.
【解答】解:∵∠1=50,
∴∠AEF=180﹣∠BFE=180﹣(180﹣50)2=115
故選A.
【點(diǎn)評】本題考查圖形的翻折變換,解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,根據(jù)軸對稱的性質(zhì),折疊前后圖形的形狀和大小不變,如本題中折疊前后角相等.
8.已知:如圖所示,B、C、D三點(diǎn)在同一條直線上,AC=CD,∠B=∠E=90,AC⊥CD,則不正確的結(jié)論是( )
A.∠A與∠D互為余角 B.∠A=∠2
C.△ABC≌△CED D.∠1=∠2
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】利用同角的余角相等求出∠A=∠2,再利用“角角邊”證明△ABC和△CDE全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等,即可解答.
【解答】解:∵∠B=∠E=90,
∴∠A+∠1=90,∠D+∠2=90,
∵AC⊥CD,
∴∠1+∠2=90,故D錯誤;
∴∠A=∠2,故B正確;
∴∠A+∠D=90,故A正確;
在△ABC和△CED中,
,
∴△ABC≌△CED(AAS),故C正確;
故選:D.
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等角的余角相等的性質(zhì),熟練掌握三角形全等的判定方法并確定出全等的條件∠A=∠2是解題的關(guān)鍵.
9.如圖,南北向的公路上有一點(diǎn)A,東西向的公路上有一點(diǎn)B,若要在南北向的公路上確定點(diǎn)P,使得△PAB是等腰三角形,則這樣的點(diǎn)P最多能確定 ( ?。﹤€.
A.2 B.3 C.4 D.5
【考點(diǎn)】等腰三角形的判定.
【分析】分為三種情況:AP=BP,AB=AP,AB=BP,想象圖形,即可得出答案.
【解答】解:分為三種情況:①作AB的垂直平分線交南北公路于一點(diǎn)P,此時(shí)PA=PB;
②以A為圓心,以AB為半徑交南北公路于兩點(diǎn),此時(shí)AB=AP;
③以B為圓心,以AB為半徑交南北公路于兩點(diǎn)(A點(diǎn)除外,有一點(diǎn)),此時(shí)AB=BP;
共1+2+1=4點(diǎn),
故選C.
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形判定的應(yīng)用,用了分類討論思想.
10.如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=54,∠BAC的平分線與AB的垂直平分線OD交于點(diǎn)O,將∠C沿EF(E在BC上,F(xiàn)在AC上)折疊,點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合,則∠OEC度數(shù)為( ?。?
A.100 B.105 C.120 D.108
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題);線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】連接OB、OC,根據(jù)角平分線的定義求出∠BAO,根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABC,再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得OA=OB,根據(jù)等邊對等角可得∠ABO=∠BAO,再求出∠OBC,然后判斷出點(diǎn)O是△ABC的外心,根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得OB=OC,再根據(jù)等邊對等角求出∠OCB=∠OBC,根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE=CE,然后根據(jù)等邊對等角求出∠COE,再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解.
【解答】解:如圖,連接OB、OC,
∵∠BAC=54,AO為∠BAC的平分線,
∴∠BAO=∠BAC=54=27,
又∵AB=AC,
∴∠ABC=(180﹣∠BAC)=(180﹣54)=63,
∵DO是AB的垂直平分線,
∴OA=OB,
∴∠ABO=∠BAO=27,
∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63﹣27=36,
∵AO為∠BAC的平分線,AB=AC,
∴△AOB≌△AOC(SAS),
∴OB=OC,
∴點(diǎn)O在BC的垂直平分線上,
又∵DO是AB的垂直平分線,
∴點(diǎn)O是△ABC的外心,
∴∠OCB=∠OBC=36,
∵將∠C沿EF(E在BC上,F(xiàn)在AC上)折疊,點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合,
∴OE=CE,
∴∠COE=∠OCB=36,
在△OCE中,∠OEC=180﹣∠COE﹣∠OCB=180﹣36﹣36=108.
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì),等腰三角形三線合一的性質(zhì),等邊對等角的性質(zhì),以及翻折變換的性質(zhì),綜合性較強(qiáng),難度較大,作輔助線,構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵.
二、仔細(xì)填一填(本大題共10小題,每空2分,共計(jì)23分):
11.(1)若等腰三角形有兩條邊的長度為3和1,則此等腰三角形的周長為 7??;
(2)在等腰△ABC中,∠A=40,則∠B= 40或70或100?。?
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系.
【分析】(1)顯然長度為3的邊只能是腰,可得出答案;
(2)分∠B為底角、頂角和∠A為頂角三種情況,再利用三角形內(nèi)角和定理求解即可.
【解答】解:(1)當(dāng)長度為3的邊為底時(shí),此時(shí)三邊為3、1、1,不滿足三角形三邊關(guān)系,此種情況不存在,
當(dāng)長度為3的邊為腰時(shí),此時(shí)三邊為3、3、1,滿足三角形的三邊關(guān)系,此時(shí)周長為7,
故答案為:7;
(2)當(dāng)∠A,∠B都為底角時(shí),則∠B=∠A=40,
當(dāng)∠A為頂角時(shí),此時(shí)∠B=(180﹣∠A)=140=70,
當(dāng)∠B為頂角時(shí),此時(shí)∠B=180﹣2∠A=180﹣80=100,
故答案為:40或70或100.
【點(diǎn)評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì),根據(jù)題意分情況討論是本題的關(guān)鍵,易錯題.
12.如圖,已知△ABC≌△FED,∠A=40,∠B=80,則∠EDF= 60?。?
【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì).
【分析】首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠EDF=∠BCA,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠BCA=60,進(jìn)而得到答案.
【解答】解:∵△ABC≌△FED,
∴∠EDF=∠BCA,
∵∠A=40,∠B=80,
∴∠BCA=60,
∴∠EDF=60,
故答案為:60.
【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì),關(guān)鍵是掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等.
13.如圖,把Rt△ABC(∠C=90)折疊,使A、B兩點(diǎn)重合,得到折痕ED,再沿BE折疊,C點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合,則∠A等于 30 度.
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題);銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】由折疊的性質(zhì)知,AD=BD=BC,可求得sinA=,所以可得∠A=30.
【解答】解:根據(jù)折疊的性質(zhì)得AD=BD=BC.
∴sinA=BC:AB=,
∴∠A=30.
【點(diǎn)評】本題利用了:①折疊的性質(zhì):折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,根據(jù)軸對稱的性質(zhì),折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等;②正弦的概念.熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.
14.如圖,Rt△ABC中,∠C=90,AD平分∠BAC,交BC于點(diǎn)D,CD=4,則點(diǎn)D到AB的距離為 4?。?
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).
【分析】直接根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出結(jié)論.
【解答】解:∵Rt△ABC中,∠C=90,AD平分∠BAC,交BC于點(diǎn)D,CD=4,
∴點(diǎn)D到AB的距離為4.
故答案為:4.
【點(diǎn)評】本題考查的是角平分線的性質(zhì),熟知角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵.
15.如圖,已知等邊△ABC中,BD=CE,AD與BE相交于點(diǎn)P,則∠APE的度數(shù)是 60 度.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)題目已知條件可證△ABD≌△BCE,再利用全等三角形的性質(zhì)及三角形外角和定理求解.
【解答】解:∵等邊△ABC,
∴∠ABD=∠C,AB=BC,
在△ABD與△BCE中,,
∴△ABD≌△BCE(SAS),
∴∠BAD=∠CBE,
∵∠ABE+∠EBC=60,
∴∠ABE+∠BAD=60,
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60,
∴∠APE=60.
故答案為:60.
【點(diǎn)評】本題利用等邊三角形的性質(zhì)來為三角形全等的判定創(chuàng)造條件,是中考的熱點(diǎn).
16.如圖,在△ABC中,∠ABC=∠ACB=72,BD、CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線,它們的交點(diǎn)為F,則圖中等腰三角形有 8 個.
【考點(diǎn)】等腰三角形的判定;三角形內(nèi)角和定理;角平分線的性質(zhì).
【分析】由已知條件,根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180、角的平分線的性質(zhì)求得各個角的度數(shù),然后利用等腰三角形的判定進(jìn)行找尋,注意做到由易到難,不重不漏.
【解答】解:由題意可得:∠ABD=∠DBC=∠ECB=∠ACE=∠A=36,
∠ABC=∠ACB=∠CDB=∠CFD=∠BFE=∠BEF=72
∴△ABC,△ABD,△ACE,△BEF,△CDF,△BCF,△BCE,△BCD均為等腰三角形,
∴題中共有8個等腰三角形.
故填8.
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理;由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵.
17.如圖,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=32,則∠BAC= 69?。?
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì).
【分析】由題意,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=32,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以求出底角,再根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系即可求出內(nèi)角∠CAD,再相加即可求出∠BAC的度數(shù).
【解答】解:在△ABC中,AB=AD=DC,
在三角形ABD中,∵AB=AD,
∴∠B=∠ADB=(180﹣32)=74,
在三角形ADC中,又∵AD=DC,
∴∠CAD=∠ADB=74=37.
∴∠BAC=32+37=69.
故答案為:69.
【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及應(yīng)用等腰三角形兩底角相等,還考查了三角形的內(nèi)角和定理及內(nèi)角與外角的關(guān)系.利用三角形的內(nèi)角求角的度數(shù)是一種常用的方法,要熟練掌握.
18.如圖,在△ABC中,∠C=90,AD平分∠CAB,BC=8cm,BD=5cm,那么點(diǎn)D到線段AB的距離是 3 cm.
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).
【分析】求D點(diǎn)到線段AB的距離,由于D在∠BAC的平分線上,只要求出D到AC的距離CD即可,由已知可用BC減去BD可得答案.
【解答】解:CD=BC﹣BD,
=8cm﹣5cm=3cm,
∵∠C=90,
∴D到AC的距離為CD=3cm,
∵AD平分∠CAB,
∴D點(diǎn)到線段AB的距離為3cm.
故答案為:3.
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì);知道并利用CD是D點(diǎn)到線段AB的距離是正確解答本題的關(guān)鍵.
19.如圖,等邊△ABC的邊長為1cm,D、E分別是AB、AC上的點(diǎn),將△ADE沿直線DE折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,且點(diǎn)A′在△ABC外部,則陰影部分圖形的周長為 3 cm.
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題);軸對稱的性質(zhì).
【分析】由題意得AE=A′E,AD=A′D,故陰影部分的周長可以轉(zhuǎn)化為三角形ABC的周長.
【解答】解:將△ADE沿直線DE折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,
所以AD=A′D,AE=A′E.
則陰影部分圖形的周長等于BC+BD+CE+A′D+A′E,
=BC+BD+CE+AD+AE,
=BC+AB+AC,
=3cm.
故答案為:3.
【點(diǎn)評】折疊問題的實(shí)質(zhì)是“軸對稱”,解題關(guān)鍵是找出經(jīng)軸對稱變換所得的等量關(guān)系.
20.如圖,在平面內(nèi),兩條直線l1,l2相交于點(diǎn)O,對于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M,若p、q分別是點(diǎn)M到直線l1,l2的距離,則稱(p,q)為點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”.根據(jù)上述規(guī)定,“距離坐標(biāo)”是(1,1)的點(diǎn)共有 4 個.
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);點(diǎn)的坐標(biāo).
【分析】根據(jù)到直線l1的距離是1的直線有兩條,到l2的距離是1的直線有兩條,這四條直線的交點(diǎn)有4個解答.
【解答】解:到l1的距離是1的點(diǎn),在與l1平行且與l1的距離是1的兩條直線上;
到l2的距離是1的點(diǎn),在與l2平行且與l2的距離是1的兩條直線上;
以上四條直線有四個交點(diǎn),故“距離坐標(biāo)”是(1,1)的點(diǎn)共有4個.
故答案為:4.
【點(diǎn)評】本題主要考查角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì),到直線的距離等于定長的點(diǎn)的集合是平行于這條直線的直線.
三、解答題(本大題共7小題,共計(jì)47分.)
21.畫出△ABC關(guān)于直線L的對稱圖形△A′B′C′.
【考點(diǎn)】作圖-軸對稱變換.
【分析】分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)A′、B′、C′,再連接各點(diǎn)得出即可.
【解答】解:如圖所示,
△A′B′C′即為所求三角形.
【點(diǎn)評】此題主要考查了作軸對稱圖形,根據(jù)已知得出對應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.
22.如圖:某通信公司在A區(qū) 要修建一座信號發(fā)射塔M,要求發(fā)射塔到兩城鎮(zhèn)P、Q的距離相等,同時(shí)到兩條高速公路l1、l2的距離也相等.請用直尺和圓規(guī)在圖中作出發(fā)射塔M的位置.(不寫作法,保留作圖痕跡 )
【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖.
【分析】作出A區(qū)的角平分線,再作出PQ的垂直平分線,兩線的交點(diǎn)就是發(fā)射塔M的位置.
【解答】解:如圖所示:
,
點(diǎn)M即為所求.
【點(diǎn)評】此題主要考查了作圖與應(yīng)用設(shè)計(jì),關(guān)鍵是掌握角到角兩邊距離相等的點(diǎn)在平分線上,到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.
23.如圖,AB=CB,BE=BF,∠1=∠2,證明:△ABE≌△CBF.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定.
【分析】利用∠1=∠2,即可得出∠ABE=∠CBF,再利用全等三角形的判定SAS得出即可.
【解答】證明:∵∠1=∠2,
∴∠1+∠FBE=∠2+∠FBE,即∠ABE=∠CBF,
在△ABE與△CBF中,
,
∴△ABE≌△CBF(SAS).
【點(diǎn)評】本題考查三角形全等的判定方法,判定兩個三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意:AAA、SSA不能判定兩個三角形全等,判定兩個三角形全等時(shí),必須有邊的參與,若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí),角必須是兩邊的夾角.
24.如圖,B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上,AC∥DE,AC=CE,∠ACD=∠B.
(1)求證:BC=DE
(2)若∠A=40,求∠BCD的度數(shù).
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ACB=∠DEC,∠ACD=∠D,再由∠ACD=∠B可得∠D=∠B,然后可利用AAS證明△ABC≌△CDE,進(jìn)而得到CB=DE;
(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠A=∠DCE=40,然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.
【解答】(1)證明:∵AC∥DE,
∴∠ACB=∠DEC,∠ACD=∠D,
∵∠ACD=∠B.
∴∠D=∠B,
在△ABC和△DEC中,
,
∴△ABC≌△CDE(AAS),
∴CB=DE;
(2)解:∵△ABC≌△CDE,
∴∠A=∠DCE=40
∴∠BCD=180﹣40=140.
【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.
25.如圖,在△ABC中,邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F.
(1)若BC=10,求△AEF周長.
(2)若∠BAC=128,求∠FAE的度數(shù).
【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】(1)由在△ABC中,邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F,易得AE=BE,AF=CF,即可得△AEF周長=BC;
(2)由∠BAC=128,可求得∠B+∠C的值,即可得∠BAE+∠CAF的值,繼而求得答案.
【解答】解:(1)∵在△ABC中,邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F,
∴AE=BE,AF=CF,
∵BC=10,
∴△AEF周長為:AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10;
(2)∵AE=BE,AF=CF,
∴∠B=∠BAE,∠C=∠CAF,
∵∠BAC=128,
∴∠B+∠C=180﹣∠BAC=52,
∴∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=52,
∴∠FAE=∠BAC﹣(∠BAE+∠CAF)=76.
【點(diǎn)評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì).此題難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
26.如圖1,在四邊形ABCD中,DC∥AB,AD=BC,BD平分∠ABC.
(1)求證:AD=DC;
(2)如圖2,在上述條件下,若∠A=∠ABC=60,過點(diǎn)D作DE⊥AB,過點(diǎn)C作CF⊥BD,垂足分別為E、F,連接EF.判斷△DEF的形狀并證明你的結(jié)論.
【考點(diǎn)】等邊三角形的判定;等腰三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出對應(yīng)角關(guān)系即可得出∠CDB=∠CBD進(jìn)而得出AD=DC,
(2)利用等腰三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)F是BD的中點(diǎn),再利用直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定得出答案.
【解答】(1)證明:∵DC‖AB,
∴∠CDB=∠ABD,
又∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=∠ABD,
∴∠CDB=∠CBD,
∴BC=DC,
又∵AD=BC,
∴AD=DC;
(2)△DEF為等邊三角形,
證明:∵BC=DC(已證),CF⊥BD,
∴點(diǎn)F是BD的中點(diǎn),
∵∠DEB=90,∴EF=DF=BF.
∵∠ABC=60,BD平分∠ABC,∠BDE=60,
∴△DEF為等邊三角形.
【點(diǎn)評】此題主要考查了等邊三角形判定以及等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識,得出EF=DF=BF是解題關(guān)鍵.
27.如圖1,四邊形OABC中,OA=a,OC=3,BC=2,∠AOC=∠BCO=90,經(jīng)過點(diǎn)O的直線l將四邊形分成兩部分,直線l與
OC所成的角設(shè)為θ,將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)D處(如圖1).
(1)若折疊后點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)(如圖2),則θ= 30??;
(2)若θ=45,四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊后,點(diǎn)B落在點(diǎn)四邊形OABC的邊AB上的E處(如圖3),求a的值.
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題).
【分析】(1)延長ND交OA的延長線于M,根據(jù)折疊性質(zhì)得∠CON=∠DON=θ,∠ODN=∠C=90,由點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)得到D點(diǎn)為MN的中點(diǎn),所以O(shè)D垂直平分MN,則OM=ON,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠MOD=∠NOD=θ,則∠θ+∠θ+∠θ=90,計(jì)算得到∠θ=30;
(2)作ED⊥OA于D,根據(jù)折疊性質(zhì)得AB⊥直線l,OD=OC=3,DE=BC=2,由于θ=45,AB⊥直線l,即直線l平分∠AOC,則∠A=45,所以△ADE為等腰直角三角形,則AD=DE=2,所以O(shè)A=OD+AD=3+2=5,即a=5.
【解答】解:(1)如圖2,延長ND交OA的延長線于M,
∵四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)D處,
∴∠CON=∠DON=θ,∠ODN=∠C=90,
∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),
∴D點(diǎn)為MN的中點(diǎn),
∴OD垂直平分MN,
∴OM=ON,
∴∠MOD=∠NOD=θ,
∴∠θ+∠θ+∠θ=90,
∴∠θ=30;
故答案為30;
(2)如圖3,作ED⊥OA于D,
∵四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊后,點(diǎn)B落在點(diǎn)四邊形OABC的邊AB上的E處,
∴AB⊥直線l,OD=OC=3,DE=BC=2,
∵θ=45,AB⊥直線l,
即直線l平分∠AOC,
∴∠A=45,
∴△ADE為等腰直角三角形,
∴AD=DE=2,
∴OA=OD+AD=3+2=5,
∴a=5.
【點(diǎn)評】本題考查了折疊的性質(zhì):折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.也考查了線段垂直平分線的性質(zhì).