高考數(shù)學(xué)大二輪專題復(fù)習(xí) 第二編 專題整合突破 專題三 三角函數(shù)與解三角形 第二講 三角恒等變換與解三角形適考素能特訓(xùn) 理

專題三 三角函數(shù)與解三角形 第二講 三角恒等變換與解三角形適考素能特訓(xùn) 理 一、選擇題 1．[2016合肥質(zhì)檢]sin18sin78－cos162cos78＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　D 解析　sin18sin78－cos162cos78＝sin18sin78＋cos18cos78＝cos(78－18)＝cos60＝，故選D. 2．[2016廣西質(zhì)檢]已知<α<π，3sin2α＝2cosα，則cos(α－π)等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由3sin2α＝2cosα得sinα＝.因?yàn)?lt;α<π，所以cos(α－π)＝－cosα＝ ＝. 3．[2016鄭州質(zhì)檢]在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若＝，則cosB＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　由正弦定理知＝＝1，即tanB＝，所以B＝，所以cosB＝cos＝，故選B. 4．[2016武漢調(diào)研]據(jù)氣象部門預(yù)報(bào)，在距離某碼頭正西方向400 km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20 km/h的速度向東北方向移動(dòng)，距風(fēng)暴中心300 km以內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，則該碼頭處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為(　　) A．9 h B．10 h C．11 h D．12 h 答案　B 解析　記碼頭為點(diǎn)O，熱帶風(fēng)暴中心的位置為點(diǎn)A，t小時(shí)后熱帶風(fēng)暴到達(dá)B點(diǎn)位置，在△OAB中，OA＝400，AB＝20t，∠OAB＝45，根據(jù)余弦定理得4002＋400t2－220t400≤3002，即t2－20t＋175≤0，解得10－5≤t≤10＋5，所以所求時(shí)間為10＋5－10＋5＝10(h)，故選B. 5．[2016云南統(tǒng)測(cè)]已知△ABC的內(nèi)角A、B、C對(duì)的邊分別為a、b、c，sinA＋sinB＝2sinC，b＝3，當(dāng)內(nèi)角C最大時(shí)，△ABC的面積等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　根據(jù)正弦定理及sinA＋sinB＝2sinC得a＋b＝2c，c＝，cosC＝＝＝＋－≥2－＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)sinC＝，S△ABC＝absinC＝3＝. 6．[2016鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè)]在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，且c＝，C＝，則△ABC的面積是(　　) A. B. C. D.或 答案　D 解析　sin(B＋A)＝sinBcosA＋cosBsinA，sin(B－A)＝sinBcosA－cosBsinA，sin2A＝2sinAcosA，sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，即2sinBcosA＝6sinAcosA.當(dāng)cosA＝0時(shí)，A＝，B＝，又c＝，得b＝.由三角形面積公式知S＝bc＝；當(dāng)cosA≠0時(shí)，由2sinBcosA＝6sinAcosA可得sinB＝3sinA，根據(jù)正弦定理可知b＝3a，再由余弦定理可知cosC＝＝＝cos＝，可得a＝1，b＝3，所以此時(shí)三角形的面積為S＝absinC＝.綜上可得三角形的面積為或，所以選D. 二、填空題 7．已知tanα，tanβ是lg (6x2－5x＋2)＝0的兩個(gè)實(shí)根，則tan(α＋β)＝________. 答案　1 解析　lg (6x2－5x＋2)＝0?6x2－5x＋1＝0，∴tanα＋tanβ＝，tanαtanβ＝，∴tan(α＋β)＝＝＝1. 8．[2016貴陽(yáng)監(jiān)測(cè)]在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊分別是a、b、c，若sin2＝，則△ABC的形狀一定是________． 答案　直角三角形 解析　由題意，得＝，即cosB＝，又由余弦定理，得＝，整理，得a2＋b2＝c2，所以△ABC為直角三角形． 9．[2016西安質(zhì)檢]已知△ABC的三邊a，b，c所對(duì)的角分別為A，B，C，且a∶b∶c＝7∶5∶3，若△ABC的面積為45，則△ABC外接圓的半徑為________． 答案　14 解析　因?yàn)閍∶b∶c＝7∶5∶3，所以可設(shè)a＝7k，b＝5k，c＝3k(k>0)，由余弦定理得，cosA＝＝＝－.因?yàn)锳是△ABC的內(nèi)角，所以sinA＝ ＝，因?yàn)椤鰽BC的面積為45，所以bcsinA＝45，即5k3k＝45，解得k＝2.由正弦定理＝2R(R為△ABC外接圓的半徑)，即2R＝＝，解得R＝14，所以△ABC外接圓半徑為14. 三、解答題 10．[2016重慶測(cè)試]在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2cos2＋sin2A＝1. (1)求A； (2)設(shè)a＝2－2，△ABC的面積為2，求b＋c的值． 解　(1)由2cos2＋sin2A＝1可得，2＋2sinAcosA＝1， 所以1＋cos(π－A)＋2sinAcosA＝1，故2sinAcosA－cosA＝0. 因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以cosA≠0，故sinA＝， 從而A＝. (2)因?yàn)椤鰽BC的面積為bcsinA＝bc＝2，所以bc＝8. 因?yàn)锳＝，故cosA＝，由余弦定理可知，b2＋c2－a2＝2bccosA＝bc. 又a＝2－2，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝(2＋)bc＋a2＝8(2＋)＋(2－2)2＝32. 故b＋c＝＝4. 11．[2016武漢調(diào)研]在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知cos2B＋cosB＝1－cosAcosC. (1)求證：a，b，c成等比數(shù)列； (2)若b＝2，求△ABC的面積的最大值． 解　(1)證明：在△ABC中，cosB＝－cos(A＋C)． 由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cosAcosC， ∴－sin2B－(cosAcosC－sinAsinC)＝－cosAcosC， 化簡(jiǎn)，得sin2B＝sinAsinC.由正弦定理，得b2＝ac， ∴a，b，c成等比數(shù)列． (2)由(1)及題設(shè)條件，得ac＝4. 則cosB＝＝≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，等號(hào)成立． ∵0<B<π，∴sinB＝≤ ＝. ∴S△ABC＝acsinB≤4＝. ∴△ABC的面積的最大值為. 12．[2016濟(jì)寧模擬]已知向量m＝，n＝，記f(x)＝mn. (1)若f(x)＝1，求cos的值； (2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足(2a－c)cosB＝bcosC，求f(2A)的取值范圍． 解　(1)f(x)＝mn＝sincos＋cos2 ＝sin＋cos＋＝sin＋， 因?yàn)閒(x)＝1，所以sin＝， 所以cos＝1－2sin2＝. (2)因?yàn)?2a－c)cosB＝bcosC， 由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC， 所以2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC， 所以2sinAcosB＝sin(B＋C)． 因?yàn)锳＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0， 所以cosB＝，又0<B<，所以B＝. 則A＋C＝π，A＝π－C，又0<C<， 則<A<，得<A＋<， 所以<sin≤1又因?yàn)閒(2A)＝sin＋，故函數(shù)f(2A)的取值范圍是. 典題例證 [2016天津高考]已知函數(shù)f(x)＝4tanxsincos－－. (1)求f(x)的定義域與最小正周期； (2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性. 審題過程 　確定函數(shù)的定義域，運(yùn)用輔助角公式化為y＝Asin(ωx＋φ)的形式確定最小正周期． 　利用y＝sinx的單調(diào)性進(jìn)行求解，注意將ωx＋φ視為一個(gè)整體. 　(1)f(x)的定義域?yàn)? f(x)＝4tanxcosxcos－ ＝4sinxcos－ ＝4sinx－ ＝2sinxcosx＋2sin2x－ ＝sin2x＋(1－cos2x)－ ＝sin2x－cos2x ＝2sin. 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)令z＝2x－，函數(shù)y＝2sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 設(shè)A＝，B＝＋kπ≤x≤＋. 易知A∩B＝. 所以，當(dāng)x∈時(shí)，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減. 模型歸納 利用y＝sinx(y＝cosx)的圖象及性質(zhì)解決三角函數(shù)性質(zhì)的模型示意圖如下： 典題例證 △ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c. (1)求C； (2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng). 審題過程 　利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互化； 　由S△ABC得出ab，再由余弦定理聯(lián)立方程. 　(1)由已知及正弦定理得， 2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC， 2cosCsin(A＋B)＝sinC， 故2sinCcosC＝sinC. 可得cosC＝，所以C＝. (2)由已知，absinC＝. 又C＝，所以ab＝6. 由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7， 故a2＋b2＝13，從而(a＋b)2＝25. 所以△ABC的周長(zhǎng)為5＋. 模型歸納 利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意圖如下：