高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題三 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí) 理
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高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題三 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí) 理
第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1.(2016四川)為了得到函數(shù)y=sin的圖象,只需把函數(shù)y=sin 2x的圖象上所有的點(diǎn)( )
A.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度
B.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度
C.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度
D.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度
答案 D
解析 由題意可知,y=sin=sin,則只需把y=sin 2x的圖象向右平移個(gè)單位,故選D.
2.(2016課標(biāo)全國(guó)甲)若將函數(shù)y=2sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,則平移后圖象的對(duì)稱軸為( )
A.x=-(k∈Z) B.x=+(k∈Z)
C.x=-(k∈Z) D.x=+(k∈Z)
答案 B
解析 由題意將函數(shù)y=2sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的解析式為y=2sin,由2x+=kπ+,k∈Z,得函數(shù)的對(duì)稱軸為x=+(k∈Z),故選B.
3.(2016課標(biāo)全國(guó)乙)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ),x=-為f(x)的零點(diǎn),x=為y=f(x)圖象的對(duì)稱軸,且f(x)在上單調(diào),則ω的最大值為( )
A.11 B.9 C.7 D.5
答案 B
解析 因?yàn)閤=-為f(x)的零點(diǎn),x=為f(x)的圖象的對(duì)稱軸,所以-=+kT,即=T=,所以ω=4k+1(k∈N),又因?yàn)閒(x)在上單調(diào),所以-=≤=,即ω≤12,由此得ω的最大值為9,故選B.
4.(2016江蘇)定義在區(qū)間[0,3π]上的函數(shù)y=sin 2x的圖象與y=cos x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是________.
答案 7
解析 在區(qū)間[0,3π]上分別作出y=sin 2x和y=cos x的簡(jiǎn)圖如下:
由圖象可得兩圖象有7個(gè)交點(diǎn).
1.以圖象為載體,考查三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性.
2.考查三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、角的求值,重點(diǎn)考查分析、處理問(wèn)題的能力,是高考的必考點(diǎn).
熱點(diǎn)一 三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式及同角關(guān)系式
1.三角函數(shù):設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),則sin α=y(tǒng),cos α=x,tan α=.各象限角的三角函數(shù)值的符號(hào):一全正,二正弦,三正切,四余弦.
2.同角關(guān)系:sin2α+cos2α=1,=tan α.
3.誘導(dǎo)公式:在+α,k∈Z的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變,符號(hào)看象限”.
例1 (1)點(diǎn)P從(1,0)出發(fā),沿單位圓x2+y2=1逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn),則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A.(-,) B.(-,-)
C.(-,-) D.(-,)
(2)(2015四川)已知sin α+2cos α=0,則2sin αcos α-cos2α的值是________.
答案 (1)A (2)-1
解析 (1)設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),
則x=cos=-,y=sin=.
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(-,).
(2)∵sin α+2cos α=0,∴sin α=-2cos α,
∴tan α=-2,
又∵2sin αcos α-cos2α=
=,∴原式==-1.
思維升華 (1)涉及與圓及角有關(guān)的函數(shù)建模問(wèn)題(如鐘表、摩天輪、水車等),常常借助三角函數(shù)的定義求解.應(yīng)用定義時(shí),注意三角函數(shù)值僅與終邊位置有關(guān),與終邊上點(diǎn)的位置無(wú)關(guān).
(2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式時(shí)要弄清三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào);利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)過(guò)程要遵循一定的原則,如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡(jiǎn)等.
跟蹤演練1 (1)已知點(diǎn)P落在角θ的終邊上,且θ∈[0,2π),則θ的值為( )
A. B. C. D.
(2)如圖,以O(shè)x為始邊作角α (0<α<π),終邊與單位圓相交于點(diǎn)P,已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為,則=________.
答案 (1)D (2)
解析 (1)tan θ===-1,
又sin >0,cos <0,
所以θ為第四象限角且θ∈[0,2π),所以θ=.
(2)由三角函數(shù)定義,
得cos α=-,sin α=,
∴原式==
=2cos2α=22=.
熱點(diǎn)二 三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用
函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象
(1)“五點(diǎn)法”作圖:
設(shè)z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值與相應(yīng)的y的值,描點(diǎn)、連線可得.
(2)圖象變換:
y=sin xy=sin(x+φ)
y=Asin(ωx+φ).
例2 (1)(2015山東)要得到函數(shù)y=sin的圖象,只需將函數(shù)y=sin 4x的圖象( )
A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位
C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位
(2)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ為常數(shù),A>0,ω>0,0<φ<π)的圖象如圖所示,則f()的值為_(kāi)_______.
答案 (1)B (2)1
解析 (1)∵y=sin=sin,
∴要得到y(tǒng)=sin的圖象,只需將函數(shù)y=sin 4x的圖象向右平移個(gè)單位.
(2)根據(jù)圖象可知,A=2,=-,所以周期T=π,由ω==2.
又函數(shù)過(guò)點(diǎn)(,2),
所以有sin(2+φ)=1,而0<φ<π,
所以φ=,則f(x)=2sin(2x+),
因此f()=2sin(+)=1.
思維升華 (1)已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象求解析式時(shí),常采用待定系數(shù)法,由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A;由函數(shù)的周期確定ω;確定φ常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解,其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口,可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置.
(2)在圖象變換過(guò)程中務(wù)必分清是先相位變換,還是先周期變換.變換只是相對(duì)于其中的自變量x而言的,如果x的系數(shù)不是1,就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長(zhǎng)度和方向.
跟蹤演練2 (1)已知函數(shù)f(x)=sin(x∈R,ω>0)的最小正周期為π,為了得到函數(shù)g(x)=cos ωx的圖象,只要將y=f(x)的圖象( )
A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
(2)(2015陜西)如圖,某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin+k,據(jù)此函數(shù)可知,這段時(shí)間水深(單位:m)的最大值為( )
A.5 B.6
C.8 D.10
答案 (1)A (2)C
解析 (1)由題意知,函數(shù)f(x)的周期T=π,
所以ω=2,即f(x)=sin,g(x)=cos 2x.
把g(x)=cos 2x變形得g(x)=sin=sin[2(x+)+],所以只要將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,即可得到g(x)=cos 2x的圖象.故選A.
(2)由題干圖易得ymin=k-3=2,則k=5.
∴ymax=k+3=8.
熱點(diǎn)三 三角函數(shù)的性質(zhì)
1.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:
y=sin x的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ-,2kπ+](k∈Z),單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ+,2kπ+](k∈Z);
y=cos x的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ,2kπ+π](k∈Z);
y=tan x的遞增區(qū)間是(kπ-,kπ+)(k∈Z).
2.y=Asin(ωx+φ),當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù);
當(dāng)φ=kπ+(k∈Z)時(shí)為偶函數(shù);對(duì)稱軸方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得.
y=Acos(ωx+φ),當(dāng)φ=kπ+(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù);
當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時(shí)為偶函數(shù);對(duì)稱軸方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.
y=Atan(ωx+φ),當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù).
例3 (2015重慶)已知函數(shù)f(x)=sinsin x-cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值;
(2)討論f(x)在上的單調(diào)性.
解 (1)f(x)=sinsin x-cos2x
=cos xsin x-(1+cos 2x)=sin 2x-cos 2x-=sin-,
因此f(x)的最小正周期為π,最大值為.
(2)當(dāng)x∈時(shí),0≤2x-≤π,從而
當(dāng)0≤2x-≤,即≤x≤時(shí),f(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)≤2x-≤π,即≤x≤時(shí),f(x)單調(diào)遞減.
綜上可知,f(x)在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減.
思維升華 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)及應(yīng)用的求解思路
第一步:先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式;
第二步:把“ωx+φ”視為一個(gè)整體,借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求y=Asin(ωx+φ)+B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對(duì)稱性等問(wèn)題.
跟蹤演練3 設(shè)函數(shù)f(x)=2cos2x+sin 2x+a(a∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[0,]時(shí),f(x)的最大值為2,求a的值,并求出y=f(x)(x∈R)的對(duì)稱軸方程.
解 (1)f(x)=2cos2x+sin 2x+a=1+cos 2x+sin 2x+a=sin(2x+)+1+a,
則f(x)的最小正周期T==π,
且當(dāng)2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)時(shí),f(x)單調(diào)遞增.
所以[kπ-,kπ+](k∈Z)為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)當(dāng)x∈[0,]時(shí)?≤2x+≤,
當(dāng)2x+=,即x=時(shí),sin(2x+)=1.
所以f(x)max=+1+a=2?a=1-.
由2x+=kπ+(k∈Z),
得x=+(k∈Z),
故y=f(x)的對(duì)稱軸方程為x=+,k∈Z.
1.已知函數(shù)f(x)=sin(x∈R,ω>0)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.為了得到函數(shù)g(x)=cos ωx的圖象,只要將y=f(x)的圖象( )
A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
押題依據(jù) 本題結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)確定函數(shù)解析式,然后考查圖象的平移,很有代表性,考生應(yīng)熟練掌握?qǐng)D象平移規(guī)則,防止出錯(cuò).
答案 A
解析 先求出周期確定ω,求出兩個(gè)函數(shù)解析式,然后結(jié)合平移法則求解.
由于函數(shù)f(x)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為,則其最小正周期T=π,
所以ω==2,即f(x)=sin,g(x)=cos 2x.
把g(x)=cos 2x變形得g(x)=sin=sin[2(x+)+],所以要得到函數(shù)g(x)的圖象,只要將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度.故選A.
2.如圖,函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|≤)與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)P、Q、R滿足P(2,0),∠PQR=,M為QR的中點(diǎn),PM=2,則A的值為( )
A. B.
C.8 D.16
押題依據(jù) 由三角函數(shù)的圖象求解析式是高考的熱點(diǎn),本題結(jié)合平面幾何知識(shí)求A,考查了數(shù)形結(jié)合思想.
答案 B
解析 由題意設(shè)Q(a,0),R(0,-a)(a>0).
則M(,-),由兩點(diǎn)間距離公式得,
PM==2,解得a1=8,a2=-4(舍去),由此得,=8-2=6,即T=12,故ω=,
由P(2,0)得φ=-,代入f(x)=Asin(ωx+φ)得,
f(x)=Asin(x-),
從而f(0)=Asin(-)=-8,得A=.
3.已知函數(shù)f(x)=2asin ωxcos ωx+2cos2ωx- (a>0,ω>0)的最大值為2,x1,x2是集合M={x∈R|f(x)=0}中的任意兩個(gè)元素,且|x1-x2|的最小值為6.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式及其圖象的對(duì)稱軸方程;
(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移2個(gè)單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖象,當(dāng)x∈(-1,2]時(shí),求函數(shù)h(x)=f(x)g(x)的值域.
押題依據(jù) 三角函數(shù)解答題的第(1)問(wèn)的常見(jiàn)形式是求周期、求單調(diào)區(qū)間及求對(duì)稱軸方程(或?qū)ΨQ中心)等,這些都可以由三角函數(shù)解析式直接得到,因此此類命題的基本方式是利用三角恒等變換得到函數(shù)的解析式.第(2)問(wèn)的常見(jiàn)形式是求解函數(shù)的值域(或最值),特別是指定區(qū)間上的值域(或最值),是高考考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)命題的基本模式.
解 (1)f(x)=2asin ωxcos ωx+2cos2ωx-=asin 2ωx+cos 2ωx.
由題意知f(x)的最小正周期為12,
則=12,得ω=.
由f(x)的最大值為2,得=2,
又a>0,所以a=1.
于是所求函數(shù)的解析式為
f(x)=sin x+cos x=2sin,
令x+=+kπ(k∈Z),
解得x=1+6k(k∈Z),
即函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x=1+6k(k∈Z).
(2)由題意可得g(x)=2sin[(x-2)+]=2sin x,
所以h(x)=f(x)g(x)=4sinsin x
=2sin2x+2sin xcos x
=1-cos x+sin x
=1+2sin.
當(dāng)x∈(-1,2]時(shí),x-∈(-,],
所以sin∈(-1,1],
即1+2sin∈(-1,3],
于是函數(shù)h(x)的值域?yàn)?-1,3].
A組 專題通關(guān)
1.若0≤sin α≤,且α∈[-2π,0],則α的取值范圍是( )
A.∪
B.∪(k∈Z)
C.∪
D.∪(k∈Z)
答案 A
解析 根據(jù)題意并結(jié)合正弦線可知,
α滿足∪(k∈Z),
∵α∈[-2π,0],
∴α的取值范圍是∪.
故選A.
2.函數(shù)f(x)=cos的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為( )
A.y=cos B.y=sin
C.y=cos D.y=sin
答案 C
解析 函數(shù)f(x)=cos的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象的解析式為y=cos[3(x+)-]=cos(3x+),故選C.
3.已知tan α=3,則的值為( )
A.- B.-3
C. D.3
答案 A
解析?。剑剑剑?
4.已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-,a),若點(diǎn)A在拋物線y=-x2的準(zhǔn)線上,則sin α等于( )
A.- B.
C.- D.
答案 D
解析 由條件,得拋物線的準(zhǔn)線方程為y=1,因?yàn)辄c(diǎn)A(-,a)在拋物線y=-x2的準(zhǔn)線上,所以a=1,所以點(diǎn)A(-,1),所以sin α==.
5.函數(shù)f(x)=Asin ωx(A>0,ω>0)的部分圖象如圖所示,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 015)的值為( )
A.0 B.3
C.6 D.-
答案 A
解析 由圖可得,A=2,T=8,=8,ω=,
∴f(x)=2sin x,
∴f(1)=,f(2)=2,f(3)=,f(4)=0,f(5)=-,
f(6)=-2,f(7)=-,f(8)=0,而2 015=8251+7,
∴f(1)+f(2)+…+f(2 015)=0.
6.函數(shù)y=2sin(-)(0≤x≤9)的最大值與最小值之差為_(kāi)_______.
答案 2+
解析 因?yàn)?≤x≤9,
所以-≤-≤,
因此當(dāng)-=時(shí),
函數(shù)y=2sin(-)取得最大值,即ymax=21=2.
當(dāng)-=-時(shí),函數(shù)y=2sin(-)取得最小值,
即ymin=2sin(-)=-,
因此y=2sin(-)(0≤x≤9)的最大值與最小值之差為2+.
7.已知函數(shù)f(x)=3sin(ωx-)(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的圖象的對(duì)稱中心完全相同,若x∈[0,],則f(x)的取值范圍是________.
答案 [-,3]
解析 由兩個(gè)三角函數(shù)圖象的對(duì)稱中心完全相同,可知兩函數(shù)的周期相同,故ω=2,所以f(x)=3sin(2x-),那么當(dāng)x∈[0,]時(shí),-≤2x-≤,
所以-≤sin(2x-)≤1,故f(x)∈[-,3].
8.已知α是三角形的內(nèi)角,若sin α+cos α=,則tan α=________.
答案 -
解析 方法一 由
解得或
因?yàn)棣痢?0,π),所以sin α>0,
所以所以tan α==-.
方法二 由已知得(sin α+cos α)2=,
化簡(jiǎn)得2sin αcos α=-,
則可知角α是第二象限角,
且(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,
由于sin α-cos α>0,所以sin α-cos α=,
將該式與sin α+cos α=聯(lián)立,
解得所以tan α==-.
9.已知函數(shù)f(x)=cos.
(1)若f(α)=,其中<α<,求sin的值;
(2)設(shè)g(x)=f(x)f,求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.
解 (1)因?yàn)閒(α)=cos=,
且0<α-<,
所以sin=.
(2)g(x)=f(x)f
=coscos
=sincos=cos 2x.
x∈時(shí),2x∈.
則當(dāng)x=0時(shí),g(x)的最大值為;
當(dāng)x=時(shí),g(x)的最小值為-.
10.已知a>0,函數(shù)f(x)=-2asin+2a+b,當(dāng)x∈時(shí),-5≤f(x)≤1.
(1)求常數(shù)a,b的值;
(2)設(shè)g(x)=f且lg g(x)>0,求g(x)的單調(diào)區(qū)間.
解 (1)∵x∈,∴2x+∈.
∴sin∈,
∴-2asin∈[-2a,a].
∴f(x)∈[b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1,
∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.
(2)由(1)得,f(x)=-4sin-1,
g(x)=f=-4sin-1
=4sin-1,
又由lg g(x)>0,得g(x)>1,
∴4sin-1>1,∴sin>,
∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,
其中當(dāng)2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z時(shí),
g(x)單調(diào)遞增,即kπ<x≤kπ+,k∈Z,
∴g(x)的單調(diào)增區(qū)間為,k∈Z.
又∵當(dāng)2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z時(shí),
g(x)單調(diào)遞減,即kπ+<x<kπ+,k∈Z.
∴g(x)的單調(diào)減區(qū)間為,k∈Z.
B組 能力提高
11.已知函數(shù)f(x)=2sin,把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)g(x)的圖象.關(guān)于函數(shù)g(x),下列說(shuō)法正確的是( )
A.在上是增函數(shù)
B.其圖象關(guān)于直線x=-對(duì)稱
C.函數(shù)g(x)是奇函數(shù)
D.當(dāng)x∈時(shí),函數(shù)g(x)的值域是[-2,1]
答案 D
解析 因?yàn)閒(x)=2sin,把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位,得g(x)=f=2sin[2(x+)+]=2sin(2x+)=2cos 2x.
畫(huà)出g(x)的部分圖象,如圖所示.
由圖可知,函數(shù)g(x)在上是減函數(shù),A錯(cuò)誤;其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(-,0),B錯(cuò)誤;
函數(shù)g(x)為偶函數(shù),C錯(cuò)誤;
又g=2cos=1,
g=2cos=-1,
g=2cos=-2,
所以當(dāng)x∈時(shí),函數(shù)g(x)的值域是[-2,1],
D正確.故選D.
12.(2015課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
答案 D
解析 由圖象知,周期T=2=2,
∴=2,∴ω=π.
由π+φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=,
∴f(x)=cos.
由2kπ<πx+<2kπ+π,k∈Z,
得2k-<x<2k+,k∈Z,
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,k∈Z.故選D.
13.函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0)的部分圖象如圖所示,點(diǎn)A,B是最高點(diǎn),點(diǎn)C是最低點(diǎn),若△ABC是直角三角形,則f()=________.
答案
解析 由已知得△ABC是等腰直角三角形,且∠ACB=90,所以|AB|=f(x)max-f(x)min=1-(-1)=2,
即|AB|=4,而T=|AB|==4,解得ω=.
所以f(x)=sin,所以f()=sin=.
14.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0),g(x)=tan x,它們的最小正周期之積為2π2,f(x)的最大值為2g().
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)設(shè)h(x)=f2(x)+2cos2x.當(dāng)x∈[a,)時(shí),h(x)有最小值為3,求a的值.
解 (1)由題意,得π=2π2,所以ω=1.
又A=2g()=2tan π=2tan =2,
所以f(x)=2sin(x+).
令2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),
得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-,2kπ+](k∈Z).
(2)因?yàn)閔(x)=f2(x)+2cos2x
=4sin2(x+)+2cos2x
=3(sin x+cos x)2+2cos2x
=3+3sin 2x+(cos 2x+1)
=3++2sin(2x+),
又h(x)有最小值為3,
所以有3++2sin(2x+)=3,
即sin(2x+)=-.
因?yàn)閤∈[a,),所以2x+∈[2a+,),
所以2a+=-,即a=-.