高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題三 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習 理

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第1講　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1．(2016四川)為了得到函數(shù)y＝sin的圖象，只需把函數(shù)y＝sin 2x的圖象上所有的點(　　) A．向左平行移動個單位長度 B．向右平行移動個單位長度 C．向左平行移動個單位長度 D．向右平行移動個單位長度 答案　D 解析　由題意可知，y＝sin＝sin，則只需把y＝sin 2x的圖象向右平移個單位，故選D. 2．(2016課標全國甲)若將函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向左平移個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為(　　) A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z) C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z) 答案　B 解析　由題意將函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的解析式為y＝2sin，由2x＋＝kπ＋，k∈Z，得函數(shù)的對稱軸為x＝＋(k∈Z)，故選B. 3．(2016課標全國乙)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－為f(x)的零點，x＝為y＝f(x)圖象的對稱軸，且f(x)在上單調(diào)，則ω的最大值為(　　) A．11 B．9 C．7 D．5 答案　B 解析　因為x＝－為f(x)的零點，x＝為f(x)的圖象的對稱軸，所以－＝＋kT，即＝T＝，所以ω＝4k＋1(k∈N)，又因為f(x)在上單調(diào)，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值為9，故選B. 4．(2016江蘇)定義在區(qū)間[0,3π]上的函數(shù)y＝sin 2x的圖象與y＝cos x的圖象的交點個數(shù)是________． 答案　7 解析　在區(qū)間[0,3π]上分別作出y＝sin 2x和y＝cos x的簡圖如下： 由圖象可得兩圖象有7個交點． 1.以圖象為載體，考查三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、對稱性、周期性. 2.考查三角函數(shù)式的化簡、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、角的求值，重點考查分析、處理問題的能力，是高考的必考點. 熱點一　三角函數(shù)的概念、誘導公式及同角關(guān)系式 1．三角函數(shù)：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，則sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝.各象限角的三角函數(shù)值的符號：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．同角關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 3．誘導公式：在＋α，k∈Z的誘導公式中“奇變偶不變，符號看象限”． 例1　(1)點P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓x2＋y2＝1逆時針方向運動弧長到達Q點，則Q點的坐標為(　　) A．(－，) B．(－，－) C．(－，－) D．(－，) (2)(2015四川)已知sin α＋2cos α＝0，則2sin αcos α－cos2α的值是________． 答案　(1)A　(2)－1 解析　(1)設(shè)Q點的坐標為(x，y)， 則x＝cos＝－，y＝sin＝. ∴Q點的坐標為(－，)． (2)∵sin α＋2cos α＝0，∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2， 又∵2sin αcos α－cos2α＝ ＝，∴原式＝＝－1. 思維升華　(1)涉及與圓及角有關(guān)的函數(shù)建模問題(如鐘表、摩天輪、水車等)，常常借助三角函數(shù)的定義求解．應用定義時，注意三角函數(shù)值僅與終邊位置有關(guān)，與終邊上點的位置無關(guān)． (2)應用誘導公式時要弄清三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的符號；利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡過程要遵循一定的原則，如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡等． 跟蹤演練1　(1)已知點P落在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為(　　) A. B. C. D. (2)如圖，以O(shè)x為始邊作角α (0<α<π)，終邊與單位圓相交于點P，已知點P的坐標為，則＝________. 答案　(1)D　(2) 解析　(1)tan θ＝＝＝－1， 又sin >0，cos <0， 所以θ為第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝. (2)由三角函數(shù)定義， 得cos α＝－，sin α＝， ∴原式＝＝ ＝2cos2α＝22＝. 熱點二　三角函數(shù)的圖象及應用 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象 (1)“五點法”作圖： 設(shè)z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值與相應的y的值，描點、連線可得． (2)圖象變換： y＝sin xy＝sin(x＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)． 例2　(1)(2015山東)要得到函數(shù)y＝sin的圖象，只需將函數(shù)y＝sin 4x的圖象(　　) A．向左平移個單位 B．向右平移個單位 C．向左平移個單位 D．向右平移個單位 (2)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ為常數(shù)，A>0，ω>0，0<φ<π)的圖象如圖所示，則f()的值為________． 答案　(1)B　(2)1 解析　(1)∵y＝sin＝sin， ∴要得到y(tǒng)＝sin的圖象，只需將函數(shù)y＝sin 4x的圖象向右平移個單位． (2)根據(jù)圖象可知，A＝2，＝－，所以周期T＝π，由ω＝＝2. 又函數(shù)過點(，2)， 所以有sin(2＋φ)＝1，而0<φ<π， 所以φ＝，則f(x)＝2sin(2x＋)， 因此f()＝2sin(＋)＝1. 思維升華　(1)已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象求解析式時，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點、最低點或特殊點求A；由函數(shù)的周期確定ω；確定φ常根據(jù)“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置． (2)在圖象變換過程中務必分清是先相位變換，還是先周期變換．變換只是相對于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向． 跟蹤演練2　(1)已知函數(shù)f(x)＝sin(x∈R，ω>0)的最小正周期為π，為了得到函數(shù)g(x)＝cos ωx的圖象，只要將y＝f(x)的圖象(　　) A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度 (2)(2015陜西)如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y＝3sin＋k，據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 答案　(1)A　(2)C 解析　(1)由題意知，函數(shù)f(x)的周期T＝π， 所以ω＝2，即f(x)＝sin，g(x)＝cos 2x. 把g(x)＝cos 2x變形得g(x)＝sin＝sin[2(x＋)＋]，所以只要將f(x)的圖象向左平移個單位長度，即可得到g(x)＝cos 2x的圖象．故選A. (2)由題干圖易得ymin＝k－3＝2，則k＝5. ∴ymax＝k＋3＝8. 熱點三　三角函數(shù)的性質(zhì) 1．三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： y＝sin x的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)； y＝cos x的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)； y＝tan x的遞增區(qū)間是(kπ－，kπ＋)(k∈Z)． 2．y＝Asin(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)； 當φ＝kπ＋(k∈Z)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得． y＝Acos(ωx＋φ)，當φ＝kπ＋(k∈Z)時為奇函數(shù)； 當φ＝kπ(k∈Z)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得． y＝Atan(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)． 例3　(2015重慶)已知函數(shù)f(x)＝sinsin x－cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)討論f(x)在上的單調(diào)性． 解　(1)f(x)＝sinsin x－cos2x ＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin－， 因此f(x)的最小正周期為π，最大值為. (2)當x∈時，0≤2x－≤π，從而 當0≤2x－≤，即≤x≤時，f(x)單調(diào)遞增， 當≤2x－≤π，即≤x≤時，f(x)單調(diào)遞減． 綜上可知，f(x)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減． 思維升華　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)及應用的求解思路 第一步：先借助三角恒等變換及相應三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式； 第二步：把“ωx＋φ”視為一個整體，借助復合函數(shù)性質(zhì)求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對稱性等問題． 跟蹤演練3　設(shè)函數(shù)f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a(a∈R)． (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； (2)當x∈[0，]時，f(x)的最大值為2，求a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的對稱軸方程． 解　(1)f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a＝sin(2x＋)＋1＋a， 則f(x)的最小正周期T＝＝π， 且當2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)時，f(x)單調(diào)遞增． 所以[kπ－，kπ＋](k∈Z)為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間． (2)當x∈[0，]時?≤2x＋≤， 當2x＋＝，即x＝時，sin(2x＋)＝1. 所以f(x)max＝＋1＋a＝2?a＝1－. 由2x＋＝kπ＋(k∈Z)， 得x＝＋(k∈Z)， 故y＝f(x)的對稱軸方程為x＝＋，k∈Z. 1．已知函數(shù)f(x)＝sin(x∈R，ω>0)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.為了得到函數(shù)g(x)＝cos ωx的圖象，只要將y＝f(x)的圖象(　　) A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度 押題依據(jù)　本題結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)確定函數(shù)解析式，然后考查圖象的平移，很有代表性，考生應熟練掌握圖象平移規(guī)則，防止出錯． 答案　A 解析　先求出周期確定ω，求出兩個函數(shù)解析式，然后結(jié)合平移法則求解． 由于函數(shù)f(x)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則其最小正周期T＝π， 所以ω＝＝2，即f(x)＝sin，g(x)＝cos 2x. 把g(x)＝cos 2x變形得g(x)＝sin＝sin[2(x＋)＋]，所以要得到函數(shù)g(x)的圖象，只要將f(x)的圖象向左平移個單位長度．故選A. 2．如圖，函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤)與坐標軸的三個交點P、Q、R滿足P(2,0)，∠PQR＝，M為QR的中點，PM＝2，則A的值為(　　) A. B. C．8 D．16 押題依據(jù)　由三角函數(shù)的圖象求解析式是高考的熱點，本題結(jié)合平面幾何知識求A，考查了數(shù)形結(jié)合思想． 答案　B 解析　由題意設(shè)Q(a,0)，R(0，－a)(a>0)． 則M(，－)，由兩點間距離公式得， PM＝＝2，解得a1＝8，a2＝－4(舍去)，由此得，＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝， 由P(2,0)得φ＝－，代入f(x)＝Asin(ωx＋φ)得， f(x)＝Asin(x－)， 從而f(0)＝Asin(－)＝－8，得A＝. 3．已知函數(shù)f(x)＝2asin ωxcos ωx＋2cos2ωx－ (a>0，ω>0)的最大值為2，x1，x2是集合M＝{x∈R|f(x)＝0}中的任意兩個元素，且|x1－x2|的最小值為6. (1)求函數(shù)f(x)的解析式及其圖象的對稱軸方程； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移2個單位后得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，當x∈(－1,2]時，求函數(shù)h(x)＝f(x)g(x)的值域． 押題依據(jù)　三角函數(shù)解答題的第(1)問的常見形式是求周期、求單調(diào)區(qū)間及求對稱軸方程(或?qū)ΨQ中心)等，這些都可以由三角函數(shù)解析式直接得到，因此此類命題的基本方式是利用三角恒等變換得到函數(shù)的解析式．第(2)問的常見形式是求解函數(shù)的值域(或最值)，特別是指定區(qū)間上的值域(或最值)，是高考考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)命題的基本模式． 解　(1)f(x)＝2asin ωxcos ωx＋2cos2ωx－＝asin 2ωx＋cos 2ωx. 由題意知f(x)的最小正周期為12， 則＝12，得ω＝. 由f(x)的最大值為2，得＝2， 又a>0，所以a＝1. 于是所求函數(shù)的解析式為 f(x)＝sin x＋cos x＝2sin， 令x＋＝＋kπ(k∈Z)， 解得x＝1＋6k(k∈Z)， 即函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程為x＝1＋6k(k∈Z)． (2)由題意可得g(x)＝2sin[(x－2)＋]＝2sin x， 所以h(x)＝f(x)g(x)＝4sinsin x ＝2sin2x＋2sin xcos x ＝1－cos x＋sin x ＝1＋2sin. 當x∈(－1,2]時，x－∈(－，]， 所以sin∈(－1,1]， 即1＋2sin∈(－1,3]， 于是函數(shù)h(x)的值域為(－1,3]． A組　專題通關(guān) 1．若0≤sin α≤，且α∈[－2π，0]，則α的取值范圍是(　　) A.∪ B.∪(k∈Z) C.∪ D.∪(k∈Z) 答案　A 解析　根據(jù)題意并結(jié)合正弦線可知， α滿足∪(k∈Z)， ∵α∈[－2π，0]， ∴α的取值范圍是∪. 故選A. 2．函數(shù)f(x)＝cos的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象對應的函數(shù)為(　　) A．y＝cos B．y＝sin C．y＝cos D．y＝sin 答案　C 解析　函數(shù)f(x)＝cos的圖象向左平移個單位長度后所得圖象的解析式為y＝cos[3(x＋)－]＝cos(3x＋)，故選C. 3．已知tan α＝3，則的值為(　　) A．－ B．－3 C. D．3 答案　A 解析?。剑剑剑? 4．已知角α的終邊經(jīng)過點A(－，a)，若點A在拋物線y＝－x2的準線上，則sin α等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　由條件，得拋物線的準線方程為y＝1，因為點A(－，a)在拋物線y＝－x2的準線上，所以a＝1，所以點A(－，1)，所以sin α＝＝. 5.函數(shù)f(x)＝Asin ωx(A>0，ω>0)的部分圖象如圖所示，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)的值為(　　) A．0 　　　　 B．3 C．6 　　　　 D．－ 答案　A 解析　由圖可得，A＝2，T＝8，＝8，ω＝， ∴f(x)＝2sin x， ∴f(1)＝，f(2)＝2，f(3)＝，f(4)＝0，f(5)＝－， f(6)＝－2，f(7)＝－，f(8)＝0，而2 015＝8251＋7， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝0. 6．函數(shù)y＝2sin(－)(0≤x≤9)的最大值與最小值之差為________． 答案　2＋ 解析　因為0≤x≤9， 所以－≤－≤， 因此當－＝時， 函數(shù)y＝2sin(－)取得最大值，即ymax＝21＝2. 當－＝－時，函數(shù)y＝2sin(－)取得最小值， 即ymin＝2sin(－)＝－， 因此y＝2sin(－)(0≤x≤9)的最大值與最小值之差為2＋. 7．已知函數(shù)f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的圖象的對稱中心完全相同，若x∈[0，]，則f(x)的取值范圍是________． 答案　[－，3] 解析　由兩個三角函數(shù)圖象的對稱中心完全相同，可知兩函數(shù)的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin(2x－)，那么當x∈[0，]時，－≤2x－≤， 所以－≤sin(2x－)≤1，故f(x)∈[－，3]． 8．已知α是三角形的內(nèi)角，若sin α＋cos α＝，則tan α＝________. 答案?。? 解析　方法一　由 解得或 因為α∈(0，π)，所以sin α>0， 所以所以tan α＝＝－. 方法二　由已知得(sin α＋cos α)2＝， 化簡得2sin αcos α＝－， 則可知角α是第二象限角， 且(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝， 由于sin α－cos α>0，所以sin α－cos α＝， 將該式與sin α＋cos α＝聯(lián)立， 解得所以tan α＝＝－. 9．已知函數(shù)f(x)＝cos. (1)若f(α)＝，其中<α<，求sin的值； (2)設(shè)g(x)＝f(x)f，求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． 解　(1)因為f(α)＝cos＝， 且0<α－<， 所以sin＝. (2)g(x)＝f(x)f ＝coscos ＝sincos＝cos 2x. x∈時，2x∈. 則當x＝0時，g(x)的最大值為； 當x＝時，g(x)的最小值為－. 10．已知a>0，函數(shù)f(x)＝－2asin＋2a＋b，當x∈時，－5≤f(x)≤1. (1)求常數(shù)a，b的值； (2)設(shè)g(x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間． 解　(1)∵x∈，∴2x＋∈. ∴sin∈， ∴－2asin∈[－2a，a]． ∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1， ∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5. (2)由(1)得，f(x)＝－4sin－1， g(x)＝f＝－4sin－1 ＝4sin－1， 又由lg g(x)>0，得g(x)>1， ∴4sin－1>1，∴sin>， ∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z， 其中當2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z時， g(x)單調(diào)遞增，即kπ0)的部分圖象如圖所示，點A，B是最高點，點C是最低點，若△ABC是直角三角形，則f()＝________. 答案　 解析　由已知得△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90，所以|AB|＝f(x)max－f(x)min＝1－(－1)＝2， 即|AB|＝4，而T＝|AB|＝＝4，解得ω＝. 所以f(x)＝sin，所以f()＝sin＝. 14．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋)(A>0，ω>0)，g(x)＝tan x，它們的最小正周期之積為2π2，f(x)的最大值為2g()． (1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)設(shè)h(x)＝f2(x)＋2cos2x.當x∈[a，)時，h(x)有最小值為3，求a的值． 解　(1)由題意，得π＝2π2，所以ω＝1. 又A＝2g()＝2tan π＝2tan ＝2， 所以f(x)＝2sin(x＋)． 令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)． 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)． (2)因為h(x)＝f2(x)＋2cos2x ＝4sin2(x＋)＋2cos2x ＝3(sin x＋cos x)2＋2cos2x ＝3＋3sin 2x＋(cos 2x＋1) ＝3＋＋2sin(2x＋)， 又h(x)有最小值為3， 所以有3＋＋2sin(2x＋)＝3， 即sin(2x＋)＝－. 因為x∈[a，)，所以2x＋∈[2a＋，)， 所以2a＋＝－，即a＝－.