（新高考）2020版高考數學二輪復習 主攻36個必考點 選考系列 考點過關檢測三十五 文

考點過關檢測（三十五） 1．(2019·三湘名校聯考)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1：x2＋＝1，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2是圓心極坐標為(3，π), 半徑為1的圓． (1)求曲線C1的參數方程和曲線C2的直角坐標方程； (2)設M，N分別為曲線C1，C2上的動點，求|MN|的取值范圍． 解：(1)曲線C1的參數方程為(φ為參數)，曲線C2的直角坐標方程為(x＋3)2＋y2＝1. (2)設M(cos φ，2sin φ)，C2(－3,0)，則|MC2|2＝(cos φ＋3)2＋4sin2φ＝－3cos2φ＋6cos φ＋13＝－3(cos φ－1)2＋16，∵－1≤cos φ≤1，∴4≤|MC2|2≤16，即2≤|MC2|≤4，∴1≤|MN|≤5. 2．(2020屆高三·福建五校聯考)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數)．在以原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρ＝2cos θ. (1)求直線l的極坐標方程和曲線C的直角坐標方程； (2)若直線l與曲線C交于P，Q兩點，求∠POQ. 解：(1)由得直線l的普通方程為x＋y＝1＋， 又所以直線l的極坐標方程為ρ(cos θ＋sin θ)＝1＋. 由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，即x2＋y2＝2x， 所以曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0. (2)曲線C的方程可化為(x－1)2＋y2＝1，表示圓心為(1,0)且半徑為1的圓． 由(1)得直線l的普通方程為x＋y－(1＋)＝0， 則圓心到直線l的距離d＝， 所以|PQ|＝2＝1， 所以△PCQ是等邊三角形，所以∠PCQ＝， 又O是圓C上的點，所以∠POQ＝＝. 3．(2019·昆明模擬)已知曲線C1的參數方程為(t為參數)，A為當t＝1時曲線C1上的點；B為當t＝－1時曲線C1上的點．以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝. (1)求A，B的極坐標； (2)設M是曲線C2上的動點，求|MA|2＋|MB|2的最大值． 解：(1)當t＝1時 即點A的直角坐標為(－1，)． 當t＝－1時即點B的直角坐標為(1，－)． ∴點A的極坐標為，點B的極坐標為. (2)由ρ＝，得ρ2(4＋5sin2θ)＝36， ∴曲線C2的直角坐標方程為＋＝1. 設曲線C2上的動點M的坐標為(3cos α，2sin α)， 則|MA|2＋|MB|2＝10cos2α＋16≤26， 當且僅當cos α＝±1時等號成立， ∴|MA|2＋|MB|2的最大值為26. 4．(2019·河北六校聯考)在直角坐標系xOy中，點P(0，－1)，曲線C1：(t為參數)，其中0≤α<π，在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＋ρcos 2θ＝8sin θ. (1)若α＝，求C1與C2公共點的直角坐標； (2)若C1與C2相交于不同的兩點A，B，M是線段AB的中點，當|PM|＝時，求sin α的值． 解：(1)若α＝，則曲線C1的普通方程為y＝x－1，曲線C2的直角坐標方程為x2＝4y， 由解得 所以C1與C2公共點的直角坐標為(2,1)． (2)將C1：代入x2＝4y得， (cos2α)t2－4tsin α＋4＝0， 由Δ＝16sin2α－16cos2α>0，得sin α>. 設A，B對應的參數分別為t1，t2，則t1＋t2＝. 由|PM|＝＝＝， 得20sin2α＋9sin α－20＝0， 解得sin α＝. 5．(2019·沈陽模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C1的參數方程為(t為參數)，曲線C2的直角坐標方程為x2＋(y－2)2＝4.以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，射線l的極坐標方程為θ＝α，0＜α＜π. (1)求曲線C1，C2的極坐標方程； (2)設A，B分別為射線l與曲線C1，C2除原點之外的交點，求|AB|的最大值． 解：(1)由曲線C1的參數方程(t為參數)，消去參數t得，x2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－2y＝0， ∴曲線C1的極坐標方程為ρ＝2sin θ. 由曲線C2的直角坐標方程x2＋(y－2)2＝4，得x2＋y2－4y＝0，∴曲線C2的極坐標方程為ρ＝4sin θ. (2)聯立得A(2sin α，α)，∴|OA|＝2sin α， 聯立得B(4sin α，α)，∴|OB|＝4sin α， ∴|AB|＝|OB|－|OA|＝2sin α， ∵0＜α＜π，∴當α＝時，|AB|有最大值，最大值為2. 6．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(θ為參數)，直線l的參數方程為(t為參數)． (1)若a＝－1，求C與l的交點坐標； (2)若C上的點到l距離的最大值為，求a. 解：(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1. 當a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0， 由解得或 從而C與l的交點坐標為(3,0)，. (2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0， 故C上的點(3cos θ，sin θ)到l的距離為 d＝. 當a≥－4時，d的最大值為 . 由題設得＝，解得a＝8； 當a＜－4時，d的最大值為. 由題設得＝，解得a＝－16. 綜上，a＝8或a＝－16. 4