（通用版）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 規(guī)范解答集訓(xùn)3 概率與統(tǒng)計(jì) 理

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1、規(guī)范解答集訓(xùn)(三)　概率與統(tǒng)計(jì) (建議用時(shí)：40分鐘) 1．(2019·成都高新區(qū)一診)當(dāng)前，以“立德樹人”為目標(biāo)的課程改革正在有序推進(jìn)．高中聯(lián)招對(duì)初三畢業(yè)學(xué)生進(jìn)行體育測(cè)試，是激發(fā)學(xué)生、家長(zhǎng)和學(xué)校積極開展體育活動(dòng)，保證學(xué)生健康成長(zhǎng)的有效措施．成都2019年初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠(yuǎn)、擲實(shí)心球、1分鐘跳繩三項(xiàng)測(cè)試，三項(xiàng)考試滿分50分，其中立定跳遠(yuǎn)15分，擲實(shí)心球15分，1分鐘跳繩20分．某學(xué)校在初三上學(xué)期開始時(shí)要掌握全年級(jí)學(xué)生每分鐘跳繩的情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，得到下邊頻率分布直方圖，且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如下表： 每分鐘 跳繩個(gè)數(shù) [155,165) [

2、165,175) [175,185) [185，＋∞) 得分 17 18 19 20 (1)現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于35分的概率； (2)若該校初三年級(jí)所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)X服從正態(tài)分布N(μ，σ2 )，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差，已知樣本方差s2≈169(各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替)．根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校初三年級(jí)學(xué)生經(jīng)過(guò)一年的訓(xùn)練，正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步，假設(shè)今年正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè)，現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型： ①預(yù)計(jì)全年級(jí)恰有2 000名學(xué)生，正式測(cè)試每分鐘跳182個(gè)

3、以上的人數(shù)；(結(jié)果四舍五入到整數(shù)) ②若在全年級(jí)所有學(xué)生中任意選取3人，記正式測(cè)試時(shí)每分鐘跳195以上的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量的分布列和期望． 附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2 )，則P(μ－σ

4、＝160×0.06＋170×0.12＋180×0.34＋190×0.30＋200×0.1＋210×0.08＝185(個(gè))， 又由s2≈169，得s≈13， 所以正式測(cè)試時(shí)μ＝195，σ＝13， ∴μ－σ＝182. ①由正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得P(ξ>182)＝1－＝0.841 35， ∴0.841 35×2 000＝1 682.7≈1 683(人)， 所以可預(yù)計(jì)全年級(jí)恰有2 000名學(xué)生，正式測(cè)試每分鐘跳182個(gè)以上的人數(shù)為1 683人. ②由正態(tài)分布模型，全年級(jí)所有學(xué)生中任取1人，每分鐘跳繩個(gè)數(shù)195以上的概率為0.5， 所以ξ～B(3,0.5)， ∴P(ξ＝0)＝C·(1－

5、0.5)3＝0.125， P(ξ＝1)＝C·0.5·(1－0.5)2＝0.375， P(ξ＝2)＝C·0.52·(1－0.5)＝0.375， P(ξ＝3)＝C·0.53＝0.125. ∴ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 0.125 0.375 0.375 0.125 ∴E(X)＝3×0.5＝1.5. 2．某種水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果．某采購(gòu)商從采購(gòu)的一批水果中隨機(jī)抽取100個(gè)，利用水果的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下： 等級(jí) 標(biāo)準(zhǔn)果 優(yōu)質(zhì)果 精品果 禮品果 個(gè)數(shù) 10 30 40 20 (1)若將頻率為概率

6、，從這100個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取4個(gè)，求恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率．(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示) (2)用樣本估計(jì)總體，果園老板提出兩種購(gòu)銷方案給采購(gòu)商參考． 方案1：不分類賣出，單價(jià)為20元/kg. 方案2：分類賣出，分類后的水果售價(jià)如下： 等級(jí) 標(biāo)準(zhǔn)果 優(yōu)質(zhì)果 精品果 禮品果 售價(jià)(元/kg) 16 18 22 24 從采購(gòu)商的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？ (3)用分層抽樣的方法從這100個(gè)水果中抽取10個(gè)，再?gòu)某槿〉?0個(gè)水果中隨機(jī)抽取3個(gè)，X表示抽取的是精品果的數(shù)量，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)． [解](1)設(shè)從100個(gè)水果中隨機(jī)抽取一個(gè)，抽到禮品果的事

7、件為A，則P(A)＝＝. 現(xiàn)有放回地隨機(jī)抽取4個(gè)，設(shè)抽到禮品果的個(gè)數(shù)為X，則 X～B. ∴恰好抽到2個(gè)禮品果的概率為：P(X＝2)＝C×＝. (2)設(shè)方案2的單價(jià)為ξ，則單價(jià)的期望值為： E(ξ)＝16×＋18×＋22×＋24×＝＝20.6. ∵E(ξ)＞20， 從采購(gòu)商的角度考慮，應(yīng)該采用第一種方案． (3)用分層抽樣的方法從100個(gè)水果中抽取10個(gè)，則其中精品果4個(gè)，非精品果6個(gè)， 現(xiàn)從中抽取3個(gè)，則精品果的數(shù)量X服從超幾何分布，所有可能的取值為：0,1,2,3. 則P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝. ∴X的分布列如下： X 0

8、 1 2 3 P ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 3．(2019·北京高考)改革開放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下： 　　　　支付金額(元) 支付方式　　　　 (0，1 000] (1 000，2 000] 大于2 000 僅使用A 18人 9人 3人 僅使用B 10人 14人 1人 (1)從全校學(xué)生中

9、隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率； (2)從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1 000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望； (3)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2 000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由． [解](1)由題意知，樣本中僅使用A的學(xué)生有18＋9＋3＝30人，僅使用B的學(xué)生有10＋14＋1＝25人，A，B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人． 故樣本中A，B兩種

10、支付方式都使用的學(xué)生有100－30－25－5＝40人． 所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率估計(jì)為＝0.4. (2)X的所有可能值為0,1,2. 記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1 000元”，事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1 000元”． 由題設(shè)知，事件C，D相互獨(dú)立，且P(C)＝＝0.4，P(D)＝＝0.6. 所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24， P(X＝1) ＝P(C∪D) ＝P(C)P()＋P()P(D) ＝0.4×(1－0.6)

11、＋(1－0.4)×0.6 ＝0.52， P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.24. 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 0.24 0.52 0.24 故X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1. (3)記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額都大于2 000元”． 假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2 000元的人數(shù)沒(méi)有變化，則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得P(E)＝＝. 答案示例1：可以認(rèn)為有變化．理由如下： P(E)比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生．一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2 00

12、0元的人數(shù)發(fā)生了變化．所以可以認(rèn)為有變化． 答案示例2：無(wú)法確定有沒(méi)有變化．理由如下： 事件E是隨機(jī)事件，P(E)比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無(wú)法確定有沒(méi)有變化． 4．為“懲戒學(xué)術(shù)不端，力戒浮躁之風(fēng)”，教育部擬抽檢博士學(xué)位論文約6 000篇，預(yù)算為800萬(wàn)元．根據(jù)2014年印發(fā)的《博士碩士學(xué)位論文抽檢辦法》通知中規(guī)定：每篇抽檢的學(xué)位論文送3位同行專家進(jìn)行評(píng)議，3位專家中有2位以上(含2位)專家評(píng)議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將認(rèn)定為“存在問(wèn)題學(xué)位論文”．有且只有1位專家評(píng)議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將再送2位同行專家進(jìn)得復(fù)評(píng)，2位復(fù)評(píng)專家中有1位以上(含1位)專家評(píng)

13、議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將認(rèn)定為“存在問(wèn)題學(xué)位論文”．設(shè)每篇學(xué)位論文被每位專家評(píng)議為“不合格”的概率均為p(0

14、題學(xué)位論文”的概率為Cp(1－p)2[1－(1－p)2]， 所以一篇學(xué)位論文被認(rèn)定為“存在問(wèn)題學(xué)位論文”的概率為 f(p)＝Cp2(1－p)＋Cp3＋Cp(1－p)2[1－(1－p)2] ＝3p2(1－p)＋p3＋3p(1－p)2[1－(1－p)2] ＝－3p5＋12p4－17p3＋9p2. (2)設(shè)每篇學(xué)位論文的評(píng)審費(fèi)為X元，則X的可能取值為900,1 500. P(X＝1 500)＝Cp(1－p)2， P(X＝900)＝1－Cp(1－p)2， 所以E(X)＝900×[1－Cp(1－p)2]＋1 500×Cp(1－p)2＝900＋1 800p(1－p)2. 令g(p)＝p(1－p)2，p∈(0,1)， g′(p)＝(1－p)2－2p(1－p)＝(3p－1)(p－1)． 當(dāng)p∈時(shí)，g′(p)>0，g(p)在單調(diào)遞增， 當(dāng)p∈時(shí)，g′(p)<0，g(p)在單調(diào)遞減， 所以g(p)的最大值為g＝. 所以實(shí)施此方案，最高費(fèi)用為100＋6 000××10－4＝800(萬(wàn)元)． 綜上，若以此方案實(shí)施，不會(huì)超過(guò)預(yù)算． - 6 -