（通用版）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 規(guī)范解答集訓(xùn)3 概率與統(tǒng)計 理

規(guī)范解答集訓(xùn)(三)　概率與統(tǒng)計 (建議用時：40分鐘) 1．(2019·成都高新區(qū)一診)當(dāng)前，以“立德樹人”為目標(biāo)的課程改革正在有序推進(jìn)．高中聯(lián)招對初三畢業(yè)學(xué)生進(jìn)行體育測試，是激發(fā)學(xué)生、家長和學(xué)校積極開展體育活動，保證學(xué)生健康成長的有效措施．成都2019年初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠(yuǎn)、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試，三項考試滿分50分，其中立定跳遠(yuǎn)15分，擲實心球15分，1分鐘跳繩20分．某學(xué)校在初三上學(xué)期開始時要掌握全年級學(xué)生每分鐘跳繩的情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測試，得到下邊頻率分布直方圖，且規(guī)定計分規(guī)則如下表： 每分鐘 跳繩個數(shù) [155,165) [165,175) [175,185) [185，＋∞) 得分 17 18 19 20 (1)現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于35分的概率； (2)若該校初三年級所有學(xué)生的跳繩個數(shù)X服從正態(tài)分布N(μ，σ2 )，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計總體的期望和方差，已知樣本方差s2≈169(各組數(shù)據(jù)用中點值代替)．根據(jù)往年經(jīng)驗，該校初三年級學(xué)生經(jīng)過一年的訓(xùn)練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進(jìn)步，假設(shè)今年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學(xué)期開始時個數(shù)增加10個，現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型： ①預(yù)計全年級恰有2 000名學(xué)生，正式測試每分鐘跳182個以上的人數(shù)；(結(jié)果四舍五入到整數(shù)) ②若在全年級所有學(xué)生中任意選取3人，記正式測試時每分鐘跳195以上的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量的分布列和期望． 附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2 )，則P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.997 3. [解](1)設(shè)“兩人得分之和不大于35分”為事件A，則事件A包括兩種情況：①兩人得分均為17分；②兩人中1人得17分，1人得18分． 由古典概型概率公式可得P(A)＝＝＝， 所以兩人得分之和不大于35分的概率為. (2)由頻率分布直方圖可得樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 ＝160×0.06＋170×0.12＋180×0.34＋190×0.30＋200×0.1＋210×0.08＝185(個)， 又由s2≈169，得s≈13， 所以正式測試時μ＝195，σ＝13， ∴μ－σ＝182. ①由正態(tài)曲線的對稱性可得P(ξ>182)＝1－＝0.841 35， ∴0.841 35×2 000＝1 682.7≈1 683(人)， 所以可預(yù)計全年級恰有2 000名學(xué)生，正式測試每分鐘跳182個以上的人數(shù)為1 683人. ②由正態(tài)分布模型，全年級所有學(xué)生中任取1人，每分鐘跳繩個數(shù)195以上的概率為0.5， 所以ξ～B(3,0.5)， ∴P(ξ＝0)＝C·(1－0.5)3＝0.125， P(ξ＝1)＝C·0.5·(1－0.5)2＝0.375， P(ξ＝2)＝C·0.52·(1－0.5)＝0.375， P(ξ＝3)＝C·0.53＝0.125. ∴ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 0.125 0.375 0.375 0.125 ∴E(X)＝3×0.5＝1.5. 2．某種水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果．某采購商從采購的一批水果中隨機(jī)抽取100個，利用水果的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下： 等級 標(biāo)準(zhǔn)果 優(yōu)質(zhì)果 精品果 禮品果 個數(shù) 10 30 40 20 (1)若將頻率為概率，從這100個水果中有放回地隨機(jī)抽取4個，求恰好有2個水果是禮品果的概率．(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示) (2)用樣本估計總體，果園老板提出兩種購銷方案給采購商參考． 方案1：不分類賣出，單價為20元/kg. 方案2：分類賣出，分類后的水果售價如下： 等級 標(biāo)準(zhǔn)果 優(yōu)質(zhì)果 精品果 禮品果 售價(元/kg) 16 18 22 24 從采購商的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？ (3)用分層抽樣的方法從這100個水果中抽取10個，再從抽取的10個水果中隨機(jī)抽取3個，X表示抽取的是精品果的數(shù)量，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)． [解](1)設(shè)從100個水果中隨機(jī)抽取一個，抽到禮品果的事件為A，則P(A)＝＝. 現(xiàn)有放回地隨機(jī)抽取4個，設(shè)抽到禮品果的個數(shù)為X，則 X～B. ∴恰好抽到2個禮品果的概率為：P(X＝2)＝C×＝. (2)設(shè)方案2的單價為ξ，則單價的期望值為： E(ξ)＝16×＋18×＋22×＋24×＝＝20.6. ∵E(ξ)＞20， 從采購商的角度考慮，應(yīng)該采用第一種方案． (3)用分層抽樣的方法從100個水果中抽取10個，則其中精品果4個，非精品果6個， 現(xiàn)從中抽取3個，則精品果的數(shù)量X服從超幾何分布，所有可能的取值為：0,1,2,3. 則P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝. ∴X的分布列如下： X 0 1 2 3 P ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 3．(2019·北京高考)改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下： 　　　　支付金額(元) 支付方式　　　　 (0，1 000] (1 000，2 000] 大于2 000 僅使用A 18人 9人 3人 僅使用B 10人 14人 1人 (1)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計該學(xué)生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率； (2)從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1 000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望； (3)已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2 000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化？說明理由． [解](1)由題意知，樣本中僅使用A的學(xué)生有18＋9＋3＝30人，僅使用B的學(xué)生有10＋14＋1＝25人，A，B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人． 故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100－30－25－5＝40人． 所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率估計為＝0.4. (2)X的所有可能值為0,1,2. 記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個月的支付金額大于1 000元”，事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個月的支付金額大于1 000元”． 由題設(shè)知，事件C，D相互獨立，且P(C)＝＝0.4，P(D)＝＝0.6. 所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24， P(X＝1) ＝P(C∪D) ＝P(C)P()＋P()P(D) ＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6 ＝0.52， P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.24. 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 0.24 0.52 0.24 故X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1. (3)記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額都大于2 000元”． 假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2 000元的人數(shù)沒有變化，則由上個月的樣本數(shù)據(jù)得P(E)＝＝. 答案示例1：可以認(rèn)為有變化．理由如下： P(E)比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生．一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2 000元的人數(shù)發(fā)生了變化．所以可以認(rèn)為有變化． 答案示例2：無法確定有沒有變化．理由如下： 事件E是隨機(jī)事件，P(E)比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無法確定有沒有變化． 4．為“懲戒學(xué)術(shù)不端，力戒浮躁之風(fēng)”，教育部擬抽檢博士學(xué)位論文約6 000篇，預(yù)算為800萬元．根據(jù)2014年印發(fā)的《博士碩士學(xué)位論文抽檢辦法》通知中規(guī)定：每篇抽檢的學(xué)位論文送3位同行專家進(jìn)行評議，3位專家中有2位以上(含2位)專家評議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”．有且只有1位專家評議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將再送2位同行專家進(jìn)得復(fù)評，2位復(fù)評專家中有1位以上(含1位)專家評議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”．設(shè)每篇學(xué)位論文被每位專家評議為“不合格”的概率均為p(0<p<1)，且各篇學(xué)位論文是否被評議為“不合格”相互獨立． (1)記一篇抽檢的學(xué)位論文被認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”的概率為f(p)，求f(p)； (2)若擬定每篇抽檢論文不需要復(fù)評的評審費用為900元，需要復(fù)評的評審費用為1 500元；除評審費外，其它費用總計為100萬元．現(xiàn)以此方案實施，且抽檢論文為6 000篇，問是否會超過預(yù)算？并說明理由． [解](1)因為一篇學(xué)位論文初評被認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”的概率為Cp2(1－p)＋Cp3， 一篇學(xué)位論文復(fù)評被認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”的概率為Cp(1－p)2[1－(1－p)2]， 所以一篇學(xué)位論文被認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”的概率為 f(p)＝Cp2(1－p)＋Cp3＋Cp(1－p)2[1－(1－p)2] ＝3p2(1－p)＋p3＋3p(1－p)2[1－(1－p)2] ＝－3p5＋12p4－17p3＋9p2. (2)設(shè)每篇學(xué)位論文的評審費為X元，則X的可能取值為900,1 500. P(X＝1 500)＝Cp(1－p)2， P(X＝900)＝1－Cp(1－p)2， 所以E(X)＝900×[1－Cp(1－p)2]＋1 500×Cp(1－p)2＝900＋1 800p(1－p)2. 令g(p)＝p(1－p)2，p∈(0,1)， g′(p)＝(1－p)2－2p(1－p)＝(3p－1)(p－1)． 當(dāng)p∈時，g′(p)>0，g(p)在單調(diào)遞增， 當(dāng)p∈時，g′(p)<0，g(p)在單調(diào)遞減， 所以g(p)的最大值為g＝. 所以實施此方案，最高費用為100＋6 000××10－4＝800(萬元)． 綜上，若以此方案實施，不會超過預(yù)算． - 6 -