（浙江專用）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 計(jì)數(shù)原理與古典概率 第3講 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ图岸?xiàng)分布專題強(qiáng)化訓(xùn)練

第3講 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ图岸?xiàng)分布 專題強(qiáng)化訓(xùn)練 1．如果ξ～B(5，0.1)，那么P(ξ≤2)＝(　　) A．0.072 9　　　　　　　　 B．0.008 56 C．0.918 54 D．0.991 44 解析：選D.P(ξ≤2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2) ＝C·(0.1)k·(0.9)5－k ＝(0.9)5＋5×(0.1)×(0.9)4＋×(0.1)2×(0.9)3 ＝0.590 49＋0.328 05＋0.072 9 ＝0.991 44. 2．在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分，若某運(yùn)動員罰球命中的概率為0.8，則他罰球兩次得分的均值為(　　) A．0.8分 B．1.2分 C．1.6分 D．2分 解析：選C.設(shè)罰球得分為X，則X的所有取值為0，1，2. P(X＝0)＝C×0.80×0.22＝0.04， P(X＝1)＝C×0.8×0.2＝0.32， P(X＝2)＝C×0.82×0.20＝0.64， E(X)＝0.04×0＋0.32×1＋0.64×2＝1.6. 3．投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B，則事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率是(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選C.依題意，得P(A)＝，P(B)＝，且事件A，B相互獨(dú)立，則事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率為1－P(·)＝1－P()·P()＝1－×＝，故選C. 4．投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試的概率為(　　) A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 解析：選A.3次投籃投中2次的概率為P(X＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率為P(X＝3)＝0.63，所以通過測試的概率為P(X＝2)＋P(X＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故選A. 5．(2019·臺州高三期末質(zhì)量評估)經(jīng)檢測，有一批產(chǎn)品的合格率為，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取5件，設(shè)取得合格產(chǎn)品的件數(shù)為ξ，則P(ξ＝k)取得最大值時(shí)，k的值為(　　) A．5　　　　　　　　　　 B．4 C．3 D．2 解析：選B.根據(jù)題意得，P(ξ＝k)＝C(1－)5－k，k＝0，1，2，3，4，5，則P(ξ＝0)＝C×＝，P(ξ＝1)＝C()1×()4＝，P(ξ＝2)＝C()2×()3＝，P(ξ＝3)＝C()3×()2＝，P(ξ＝4)＝C()4×()1＝，P(ξ＝5)＝C()5×()0＝，故當(dāng)k＝4時(shí)， P(ξ＝k)最大． 6．某商場在兒童節(jié)舉行回饋顧客活動，凡在商場消費(fèi)滿100元者即可參加射擊贏玩具活動，具體規(guī)則如下：每人最多可射擊3次，一旦擊中，則可獲獎且不再繼續(xù)射擊，否則一直射擊到3次為止．設(shè)甲每次擊中的概率為p(p≠0)，射擊次數(shù)為η，若η的數(shù)學(xué)期望E(η)>，則p的取值范圍是(　　) A. B．(0，1) C. D. 解析：選A.由已知得P(η＝1)＝p，P(η＝2)＝(1－p)p，P(η＝3)＝(1－p)2，則E(η)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>，解得p>或p<，又p∈(0，1)，所以p∈. 7．一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX＝________． 解析：依題意，X～B(100，0.02)，所以DX＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96. 答案：1.96 8．國慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為，乙去北京旅游的概率為，假定二人的行動相互之間沒有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為________． 解析：記在國慶期間“甲去北京旅游”為事件A，“乙去北京旅游”為事件B，又P( )＝P()·P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝＝， 甲、乙二人至少有一人去北京旅游的對立事件為甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率為1－P( )＝1－＝. 答案： 9．拋擲兩枚骰子，當(dāng)至少一枚5點(diǎn)或一枚6點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，則在10次試驗(yàn)中成功次數(shù)的均值為________． 解析：拋擲兩枚骰子，當(dāng)兩枚骰子不出現(xiàn)5點(diǎn)和6點(diǎn)時(shí)的概率為×＝，所以至少有一次出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)的概率為1－＝，用X表示10次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，則X～B， E(X)＝10×＝. 答案： 10．某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡歷．假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的．記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個(gè)數(shù)．若P(X＝0)＝，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________． 解析：由題意知P(X＝0)＝(1－p)2＝，所以p＝. 隨機(jī)變量X的分布列為： X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 答案： 11．(2019·開封第一次模擬)某生物產(chǎn)品，每一個(gè)生產(chǎn)周期成本為20萬元，此產(chǎn)品的產(chǎn)量受氣候影響、價(jià)格受市場影響均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表： 產(chǎn)量(噸) 30 50 概率 0.5 0.5 市場價(jià)格(萬元/噸) 0.6 1 概率 0.4 0.6 (1)設(shè)X表示1個(gè)生產(chǎn)周期此產(chǎn)品的利潤，求X的分布列； (2)連續(xù)3個(gè)生產(chǎn)周期，求這3個(gè)生產(chǎn)周期中至少有2個(gè)生產(chǎn)周期的利潤不少于10萬元的概率． 解：(1)設(shè)A表示事件“產(chǎn)品產(chǎn)量為30噸”，B表示事件“產(chǎn)品市場價(jià)格為0.6萬元/噸”，則P(A)＝0.5，P(B)＝0.4， 因?yàn)槔麧櫍疆a(chǎn)量×市場價(jià)格－成本， 所以X的所有值為 50×1－20＝30，50×0.6－20＝10， 30×1－20＝10，30×0.6－20＝－2， 則P(X＝30)＝P()P()＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3， P(X＝10)＝P()P(B)＋P(A)P()＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P(X＝－2)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2， 則X的分布列為 X 30 10 －2 P 0.3 0.5 0.2 (2)設(shè)Ci表示事件“第i個(gè)生產(chǎn)周期的利潤不少于10萬元” (i＝1，2，3)，則C1，C2，C3相互獨(dú)立， 由(1)知，P(Ci)＝P(X＝30)＋P(X＝10)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2，3)， 連續(xù)3個(gè)生產(chǎn)周期的利潤均不少于10萬元的概率為P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512， 連續(xù)3個(gè)生產(chǎn)周期中有2個(gè)生產(chǎn)周期的利潤不少于10萬元的概率為P(C2C3)＋P(C1C3)＋P(C1C2)＝3×0.82×0.2＝0.384， 所以連續(xù)3個(gè)生產(chǎn)周期中至少有2個(gè)生產(chǎn)周期的利潤不少于10萬元的概率為0.512＋0.384＝0.896. 12．小王在某社交網(wǎng)絡(luò)的朋友圈中，向在線的甲、乙、丙隨機(jī)發(fā)放紅包，每次發(fā)放1個(gè)． (1)若小王發(fā)放5元的紅包2個(gè)，求甲恰得1個(gè)的概率； (2)若小王發(fā)放3個(gè)紅包，其中5元的2個(gè)，10元的1個(gè)．記乙所得紅包的總錢數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望． 解：(1)設(shè)“甲恰得1個(gè)紅包”為事件A， 則P(A)＝C××＝. (2)X的所有可能取值為0，5，10，15，20. P(X＝0)＝＝， P(X＝5)＝C××＝， P(X＝10)＝×＋×＝， P(X＝15)＝C××＝， P(X＝20)＝＝. X的分布列為： X 0 5 10 15 20 P E(X)＝0×＋5×＋10×＋15×＋20×＝. 13．在2017年全國高校自主招生考試中，某高校設(shè)計(jì)了一個(gè)面試考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立回答全部問題．規(guī)定：至少正確回答其中2題的便可通過．已知6道備選題中考生甲有4題能正確回答，2題不能回答；考生乙每題正確回答的概率都為，且每題正確回答與否互不影響． (1)分別寫出甲、乙兩考生正確回答題數(shù)的分布列、并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望； (2)試用統(tǒng)計(jì)知識分析比較兩考生的通過能力． 解：(1)設(shè)考生甲、乙正確回答的題目個(gè)數(shù)分別為ξ，η.則ξ的可能取值為1，2，3， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， 所以考生甲正確回答題數(shù)的分布列為 ξ 1 2 3 P E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2. 又η～B，其分布列為 η 0 1 2 3 P 所以E(η)＝np＝3×＝2. (2)因?yàn)镈(ξ)＝(2－1)2×＋(2－2)2×＋(2－3)2×＝. D(η)＝np(1－p)＝3××＝. 所以D(ξ)<D(η)． 因?yàn)镻(ξ≥2)＝＋＝0.8. P(η≥2)＝＋≈0.74， 所以P(ξ≥2)>P(η≥2)． 從回答對題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考查，兩個(gè)水平相當(dāng)；從回答對題數(shù)的方差考查，甲較穩(wěn)定；從至少完成2題的概率考查．甲通過的可能性大．因此可以判斷甲的通過能力較強(qiáng)． 14．某公司準(zhǔn)備將1 000萬元資金投入到市環(huán)保工程建設(shè)中，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)建設(shè)項(xiàng)目供選擇．若投資甲項(xiàng)目一年后可獲得的利潤ξ1(萬元)的概率分布列如下表所示： ξ1 110 120 170 P m 0.4 n 且ξ1的期望E(ξ1)＝120；若投資乙項(xiàng)目一年后可獲得的利潤ξ2(萬元)與該項(xiàng)目建設(shè)材料的成本有關(guān)，在生產(chǎn)的過程中，公司將根據(jù)成本情況決定是否在第二和第三季度進(jìn)行產(chǎn)品的價(jià)格調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨(dú)立且調(diào)整的概率分別為p(0＜p＜1)和1－p .若乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格一年內(nèi)調(diào)整次數(shù)X(次)與ξ2的關(guān)系如下表所示： X 0 1 2 ξ2 41.2 117.6 204 (1)求m，n的值； (2)求ξ2的分布列； (3)若E(ξ1)＜E(ξ2)，則選擇投資乙項(xiàng)目，求此時(shí)p的取值范圍． 解：(1)由題意得 解得m＝0.5，n＝0.1. (2)ξ2的可能取值為41.2，117.6，204， P(ξ2＝41.2)＝(1－p)[1－(1－p)]＝p(1－p)， P(ξ2＝117.6)＝p[1－(1－p)]＋(1－p)(1－p)＝p2＋(1－p)2， P(ξ2＝204)＝p(1－p)， 所以ξ2的分布列為： ξ2 41.2 117.6 204 P p(1－p) p2＋(1－p)2 p(1－p) (3)由(2)可得： E(ξ2)＝41.2p(1－p)＋117.6[p2＋(1－p)2]＋204p(1－p)＝－10p2＋10p＋117.6， 由E(ξ1)＜E(ξ2)，得120＜－10p2＋10p＋117.6， 解得：0.4＜p＜0.6， 即當(dāng)選擇投資乙項(xiàng)目時(shí)，p的取值范圍是(0.4，0.6)． - 7 -