2023屆高考一輪復習導與練 第二章　函數(shù)(必修第一冊) 第9節(jié)　函數(shù)模型及其應用 學案

第9節(jié)　函數(shù)模型及其應用 1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的重要數(shù)學語言和工具.在實際情境中,會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律. 2.結(jié)合現(xiàn)實情境中的具體問題,利用計算工具,比較對數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異,理解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術語的現(xiàn)實意義. 1.常見的函數(shù)模型 函數(shù)模型 函數(shù)解析式 一次函數(shù)型 f(x)=ax+b(a,b為常數(shù),a≠0) 二次函數(shù)型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0) 指數(shù)函數(shù)型 f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0) 對數(shù)函數(shù)型 f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0) 冪函數(shù)型 f(x)=axn+b(a,b,n為常數(shù),a≠0) 2.三種函數(shù)模型性質(zhì)的比較 　　　函數(shù) 性質(zhì)　　　 y=ax(a>1) y=logax (a>1) y=xn (n>0) 在(0,+∞) 上的增減性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩(wěn) 圖象的變化 隨x的增大 逐漸表現(xiàn)為 與y軸平行 隨x的增大 逐漸表現(xiàn)為 與x軸平行 隨n值變化 而各有 不同 值的比較 存在一個x0,當x>x0時,有l(wèi)ogax<xn<ax 1.“直線上升”是勻速增長,其增長量固定不變;“指數(shù)增長”先慢后快,其增長量成倍增加,常用“指數(shù)爆炸”來形容;“對數(shù)增長”先快后慢,其增長速度緩慢. 2.函數(shù)f(x)=x+ax(a>0)的性質(zhì)及最值: (1)該函數(shù)在(-∞,-a)和(a,+∞)上單調(diào)遞增,在[-a,0)和(0,a]上單調(diào)遞減. (2)當x>0時,x=a 時取最小值2a, 當x<0時,x=-a 時取最大值-2a. 1.(必修第一冊P156習題T14改編)在一次數(shù)學實驗中,某同學運用圖形計算器采集到如下一組數(shù)據(jù): x -2 -1 1 2 3 y 0.24 0.51 2.02 3.98 8.02 在以下四個函數(shù)模型(a,b為待定系數(shù))中,最能反映x,y函數(shù)關系的是(　D　) A.y=a+bx B.y=a+bx C.y=a+logbx D.y=a+bx 解析:在平面直角坐標系中畫出(x,y)表示的點,根據(jù)點的特征可知,當自變量每增加1時,y的增加是不相同的,所以不是線性增加,排除A;由圖象不具有反比例函數(shù)特征,排除B;因為自變量有負值,排除C; 當自變量增加到3時,y增加的很多,所以符合指數(shù)函數(shù)的增加特征,D正確.故選D. 2.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的34,要使存留的污垢不超過1%,則至少要洗的次數(shù)是(參考數(shù)據(jù)lg 2≈0.301 0)(　B　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:設至少要洗x次,則(1-34)x≤1100,所以x≥1lg2≈3.322,因此至少需洗4次.故選B. 3.人們通常以分貝(符號dB)為單位來表示聲音強度的等級,其中0 dB是人能聽到的等級最低的聲音.一般地,如果強度為x的聲音對應的等級為f(x) dB,則有f(x)=10lg x1×10-12,則90 dB的聲音與60 dB的聲音強度的比值為(　B　) A.100 B.1 000 C.1100 D.11 000 解析:設90 dB的聲音與60 dB的聲音強度分別為x1,x2,則f(x1)=90,即10lg x11×10-12=90,解得x1=10-3.由f(x2)=60,即10lg x21×10-12=60,解得x2=10-6.因此所求強度之比為x1x2=10-310-6=1 000.故選B. 4.某單位為鼓勵職工節(jié)約用水,作出了以下規(guī)定:每位職工每月用水不超過10 m3的,按每立方米m元收費;用水超過10 m3的,超過部分加倍收費.某職工某月繳水費16 m元,則該職工這個月實際用水為 　　　　m3.  解析:設該職工用水x m3時,繳納的水費為y元,由題意得y=mx(0<x≤10),10m+(x-10)·2m(x>10), 則10m+(x-10)·2m=16m,解得x=13. 答案:13 5.某桶裝水經(jīng)營部每天的固定成本為420元,每桶水的進價為5元,日均銷售量y(桶)與銷售單價x(元)的關系式為y=-30x+450,則該桶裝水經(jīng)營部要使利潤最大,銷售單價應定為　　　　元.  解析:由題意得該桶裝水經(jīng)營部每日利潤為W(x)=(-30x+450)(x-5)-420,整理得W(x)=-30x2+600x-2 670=-30(x2-20x)-2 670,則當x=10時,利潤最大. 答案:10 利用圖象刻畫變化過程 1.設甲、乙兩地的距離為a(a>0),某人騎自行車勻速從甲地到乙地用了20分鐘,在乙地休息10分鐘后,他又勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘,則此人從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時間x的函數(shù)圖象為(　D　) 解析:y為此人從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程,而不是位移,故排除A,C.又因為他在乙地休息10分鐘,故排除B.故選D. 2.某部門為盡快穩(wěn)定菜價,提出四種綠色運輸方案.據(jù)預測,這四種方案均能在規(guī)定的時間T內(nèi)完成預測的運輸任務Q0,各種方案的運輸總量Q與時間t的函數(shù)關系如圖所示,在這四種方案中,運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高的是(　B　) 解析:由運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高得,曲線上的點的切線斜率應該逐漸增大,故函數(shù)的圖象應一直是下凸的.故選B. 3.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1 L汽油行駛的路程,如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述正確的是(　D　) A.消耗1升汽油,乙車最多可行駛5 km B.以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多 C.甲車以80 km/h的速度行駛1 h,消耗10 L汽油 D.某城市機動車最高限速80 km/h,相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油 解析:根據(jù)圖象知消耗1 L汽油,乙車最多行駛路程大于5 km,故選項A錯;以相同速度行駛時,甲車燃油效率最高,因此以相同速度行駛相同路程時,甲車消耗汽油最少,故選項B錯;甲車以80 km/h 的速度行駛時燃油效率為10 km/L,行駛1 h,路程為80 km,消耗8 L汽油,故選項C錯;最高限速80 km/h,丙車的燃油效率比乙車高,因此相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油,故選項D對.故選D. 判斷函數(shù)圖象與實際問題 變化過程相吻合的兩種方法 (1)構建函數(shù)模型法:當根據(jù)題意易構建函數(shù)模型時,先建立函數(shù)模型,再結(jié)合模型選圖象. (2)驗證法:根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點,結(jié)合圖象的變化趨勢,驗證是否吻合,從中排除不符合實際的情況,選擇出符合實際情況的答案. 已知函數(shù)模型求解實際問題 教室通風的目的是通過空氣的流動,排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物,降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度,送進室外的新鮮空氣.按照國家標準,教室內(nèi)空氣中二氧化碳日平均最高容許濃度應小于等于0.1%.經(jīng)測定,剛下課時,空氣中含有0.2%的二氧化碳,若開窗通風后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為y%,且y隨時間t(單位:分鐘)的變化規(guī)律可以用函數(shù)y=0.05+λe-t12(λ∈R)描述,則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達到國家標準至少需要的時間為(參考數(shù)據(jù):ln 3≈1.1)(　　) A.10分鐘 B.14分鐘 C.15分鐘 D.20分鐘 解析:由題意知,當t=0時,y=0.2,所以0.05+λe0=0.2,即λ=0.15,所以y=0.05+0.15e-t12≤0.1,解得e-t12≤13,所以-t12≤-ln 3,t≥12ln 3≈13.2,故該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達到國家標準至少需要的時間為14分鐘.故選B. 已知函數(shù)模型解決實際問題的關注點 (1)認清所給函數(shù)模型,明確哪些量為待定系數(shù). (2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法,確定模型中的待定系數(shù). (3)利用該模型求解實際問題. [針對訓練] (2021·山東濰坊三模)某地區(qū)為落實鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略,幫助農(nóng)民脫貧致富,引入一種特色農(nóng)產(chǎn)品種植,該農(nóng)產(chǎn)品上市時間僅能維持5個月,預測上市初期和后期會因產(chǎn)品供應不足使價格持續(xù)上漲,而中期又將出現(xiàn)供大于求使價格連續(xù)下跌.經(jīng)研究其價格模擬函數(shù)為f(t)=t(t-3)2+n(0≤t≤5,其中t=0表示5月1日,t=1表示6月1日,以此類推),若f(2)=6,為保護農(nóng)戶的經(jīng)濟效益,當?shù)卣媱澰趦r格下跌時積極拓寬外銷,請你預測該農(nóng)產(chǎn)品價格下跌的月份為(　　) A.5月和6月 B.6月和7月 C.7月和8月 D.8月和9月 解析:因為f(t)=t(t-3)2+n,f(2)=6, 所以f(2)=2+n=6,所以n=4, 所以f(t)=t(t-3)2+4. 法一　結(jié)合選項以及t=0,1,2,3,4分別代表5,6,7,8,9月可知 f(0)=4,f(1)=(1-3)2+4=8,f(2)=2×(2-3)2+4=6,f(3)=3×(3-3)2+4=4,f(4)=4×(4-3)2+4=8,f(5)=5×(5-3)2+4=24,因此t=1,2時價格下跌,即該農(nóng)產(chǎn)品價格下跌的月份為6月和7月. 法二　由f(t)=t(t-3)2+4可知f′(t)=(t-3)2+2t(t-3)=3(t-1)(t-3).令f′(t)<0得1<t<3,所以f(t)在(1,3)上單調(diào)遞減, 因為t=1表示6月1日,t=2表示7月1日,t=3表示8月1日,所以該農(nóng)產(chǎn)品價格下跌的月份為6月和7月.故選B. 構建函數(shù)模型解決實際問題 　構建二次函數(shù)、分段函數(shù)模型 某農(nóng)業(yè)合作社生產(chǎn)了一種綠色蔬菜共14噸,如果在市場上直接銷售,每噸可獲利0.2萬元;如果進行精加工后銷售,每噸可獲利0.6萬元,但需另外支付一定的加工費,總的加工費P(萬元)與精加工的蔬菜量x(噸)有如下關系: P=120x2,0≤x≤8,3x+810,8<x≤14.設該農(nóng)業(yè)合作社將x(噸)蔬菜進行精加工后銷售,其余在市場上直接銷售,所得總利潤(扣除加工費)為y(萬元). (1)寫出y關于x的函數(shù)表達式; (2)當精加工蔬菜多少噸時,總利潤最大,并求出最大利潤. 解:(1)由題意知,當0≤x≤8時, y=0.6x+0.2(14-x)-120x2=-120x2+25x+145, 當8<x≤14時, y=0.6x+0.2(14-x)-3x+810=110x+2, 即y=-120x2+25x+145,0≤x≤8,110x+2,8<x≤14. (2)當0≤x≤8時,y=-120x2+25x+145=-120(x-4)2+185, 所以當x=4時,ymax=185. 當8<x≤14時,y=110x+2, 所以當x=14時,ymax=175. 因為185>175,所以當x=4時,ymax=185. 所以當精加工蔬菜4噸時,總利潤最大,最大利潤為185萬元. 1.實際問題中有些變量間的關系不能用同一個關系式給出,而是由幾個不同的關系式構成,因此需要構建分段函數(shù)模型. 2.分段函數(shù)的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者). 3.二次函數(shù)是常用的函數(shù)模型,建立二次函數(shù)模型可以求出函數(shù)的值域或最值.解決實際中的優(yōu)化問題時,一定要分析自變量的取值范圍.利用配方法求最值時,一定要注意對稱軸與給定區(qū)間的關系:若對稱軸在給定的區(qū)間內(nèi),可在對稱軸處取最值,在離對稱軸較遠的端點處取另一最值;若對稱軸不在給定的區(qū)間內(nèi),最值都在區(qū)間的端點處取得. 　構建指數(shù)函數(shù)模型 (2021·河北“五個一”名校高三聯(lián)考)某大學2013年在校本科生有4 500人,研究生有500人,預計在今后若干年內(nèi),該學校本科生每年比上一年增長12.5%,研究生每年比上一年增長50%,則從　　　　年開始該校研究生的人數(shù)占該校本科生和研究生總?cè)藬?shù)的比例首次達到50%以上.(參考數(shù)據(jù):lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)  解析:設n年后該校研究生的人數(shù)占該校本科生和研究生總?cè)藬?shù)的比例首次達到50%以上,即n年后開始研究生人數(shù)超越本科生人數(shù),所以500×(1+50%)n≥4 500×(1+12.5%)n, 即(32)n≥9×(98)n,所以22n≥3n+2,所以n≥2lg32lg2-lg3≈7.639 7, 故n取8,即從2013+8=2021年開始該校研究生的人數(shù)占該校本科生和研究生總?cè)藬?shù)的比例首次達到50%以上. 答案:2021 增長率問題,在實際問題中常可以用指數(shù)函數(shù)模型y=N(1+p)x(其中N是基礎數(shù),p為增長率,x為時間)或冪函數(shù)模型y=a(1+x)n(其中a為基礎數(shù),x為增長率,n為時間)的形式表示.求解時要注意指數(shù)、對數(shù)式的互化以及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應用. 　構建對數(shù)函數(shù)模型 (2021·廣東高三聯(lián)考)核酸檢測分析是用熒光定量PCR法,通過化學物質(zhì)的熒光信號,對在PCR擴增進程中成指數(shù)級增加的靶標DNA實時檢測,在PCR擴增的指數(shù)時期,熒光信號強度達到閾值時,DNA的數(shù)量Xn與擴增次數(shù)n滿足:lg Xn=nlg(1+p)+lg X0,其中p為擴增效率,X0為DNA的初始數(shù)量.已知某被測標本DNA擴增5次后,數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?0倍,那么該標本的擴增效率p約為(參考數(shù)據(jù):100.2≈1.585,10-0.2≈0.631)(　　) A.0.369 B.0.415 C.0.585 D.0.631 解析:因為lg Xn=nlg(1+p)+lg X0,所以lgXnX0=nlg(1+p), 由題意得n=5時,XnX0=10,代入上式得lg 10=5lg(1+p),所以lg(1+p)=15, 即1+p=1015=100.2,整理可得p=100.2-1≈1.585-1=0.585.故選C. 涉及與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)模型問題,應結(jié)合函數(shù)解析式以及對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.求解時注意指數(shù)式與對數(shù)式的互化,以及實際問題中的條件限制. 　構建y=x+ax(a>0)函數(shù)模型 運貨卡車以x km/h的速度勻速行駛300 km,按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位:km/h),假設汽油價格是每升6元,汽車每小時耗油(4+x2420)L,司機的工資是每小時46元.則這次行車的總費用的最低值是　　　元.  解析:行車所用時間t=300x(h),根據(jù)汽油的價格是每升6元,而汽車每小時耗油(4+x2420)L,司機的工資是每小時46元, 可得行車總費用為y=300x×6×(4+x2420)+46×300x=21 000x+30x7(50≤x≤100). y=21 000x+30x7≥2·21 000x·30x7=600,當且僅當21 000x=30x7,即x=70時,等號成立.所以當x=70時,這次行車的總費用y最低,最低費用為600元. 答案:600 1.解決實際問題時一般可以直接建立f(x)=ax+bx的模型,有時可以將所列函數(shù)關系式轉(zhuǎn)化為f(x)=ax+bx的形式. 2.利用模型f(x)=ax+bx求解最值時,要注意自變量的取值范圍及取得最值時等號成立的條件. [針對訓練] 1.(2021·百校聯(lián)盟高三聯(lián)考)大西洋鮭魚每年都要逆流而上,游回到自己出生的淡水流域產(chǎn)卵.記鮭魚的游速為v(單位:m/s),鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q.科學研究發(fā)現(xiàn)v與log3Q100成正比,且當v=1 m/s 時,鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為900.現(xiàn)有如下說法: ①v與log3Q100的正比例系數(shù)為k=12; ②當v=2 m/s時,鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為2 700; ③當鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為100時,游速v=1e m/s. 則正確說法的個數(shù)為(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:依題意,設v=k log3Q100,則有1=k log3900100,解得k=12,故①正確; 當v=2 m/s時,有2=12log3Q100,解得Q=8 100,故②錯誤; 當Q=100時,游速v=12log3100100=0 m/s,故③錯誤.故選B. 2.某企業(yè)計劃在2022年利用新技術生產(chǎn)某款新手機.通過市場分析,生產(chǎn)此款手機全年需投入固定成本250萬元,每生產(chǎn)x(千部)手機,需另投入成本R(x)萬元,且R(x)= 10x2+100x,0<x<40,701x+10 000x-9 450,x≥40.由市場調(diào)研知,每部手機售價0.7萬元,且全年內(nèi)生產(chǎn)的手機當年能全部銷售完. (1)求出2022年的利潤W(x)(萬元)關于年產(chǎn)量x(千部)的函數(shù)關系式(利潤=銷售額-成本); (2)2022年年產(chǎn)量為多少千部時,企業(yè)所獲利潤最大?最大利潤是多少? 解:(1)當0<x<40時,W(x)=700x-(10x2+100x)-250=-10x2+600x-250, 當x≥40時,W(x)=700x-(701x+10 000x-9 450)-250=-(x+10 000x)+9 200, 所以W(x)=-10x2+600x-250,0<x<40,-(x+10 000x)+9 200,x≥40. (2)若0<x<40,W(x)=-10(x-30)2+8 750, 當x=30時,W(x)max=8 750萬元, 若x≥40,W(x)=-(x+10 000x)+9 200≤9 200-210 000=9 000, 當且僅當x=10 000x時,即x=100時,W(x)max=9 000萬元. 所以2022年年產(chǎn)量為100千部時,企業(yè)所獲利潤最大,最大利潤是9 000萬元. “綠水青山就是金山銀山”,黨的十九大以來,城鄉(xiāng)深化河道生態(tài)環(huán)境治理,科學治污.某鄉(xiāng)村一條污染河道的蓄水量為v立方米,每天的進出水量為k立方米.已知污染源以每天r個單位污染河水,某一時段t(單位:天)河水污染質(zhì)量指數(shù)為m(t)(每立方米河水所含的污染物)滿足m(t)=rk+(m0-rk)e-kvt(m0為初始質(zhì)量指數(shù)),經(jīng)測算,河道蓄水量是每天進出水量的80倍.若從現(xiàn)在開始關閉污染源,要使河水的污染水平下降到初始時的10%,需要的時間大約是(參考數(shù)據(jù):ln 10≈2.30)(　　) A.1個月 B.3個月 C.半年 D.1年 解析:因為m(t)=m0e-180t=0.1m0,所以e-180t=0.1. 所以-180t=ln 0.1≈-2.30,所以t≈184(天). 所以要使河水的污染水平下降到初始時的10%,需要的時間大約是半年.故選C. 知識點、方法 基礎鞏固練 綜合運用練 應用創(chuàng)新練 用函數(shù)(圖象)刻畫實際問題 1,2,6 13 二次函數(shù)、分段函數(shù)模型 5,7 14 指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型 3,8,9 12 函數(shù)模型的選擇與應用 4,10 11 15 1.“道高一尺,魔高一丈”出自于《西游記》第五十回“道高一尺魔高丈,性亂情昏錯認家.可恨法身無坐位,當時行動念頭差”,用來比喻取得一定成就后遇到的障礙會更大或正義終將戰(zhàn)勝邪惡,若用下列函數(shù)中的一個來表示這句話的含義,則最合適的是(　A　) A.y=10x,x>0 B.y=110x,x>0 C.y=x+10,x>0 D.y=x+9,x>0 解析:因為一丈等于十尺,所以“道高一尺,魔高一丈”更適合用y=10x,x>0來表示.故選A. 2.有一個盛水的容器,由懸在它的上空的一條水管均勻地注水,最后把容器注滿,在注水過程中時刻t,水面高度y的關系如圖所示,圖中PQ為一線段,與之對應的容器的形狀是(　B　) 解析:由函數(shù)圖象可判斷出該容器必定有不同規(guī)則形狀,并且一開始先慢后快,所以下邊粗,上邊細,再由PQ為線段可知是均勻變化的,容器上端必是直的一段,故排除A,C,D.故選B. 3.(2021·內(nèi)蒙古包頭高三二模)地震的震級越大,以地震波的形式從震源釋放出的能量就越大,震級M與所釋放的能量E的關系如下:E= 104.8+1.5M(J)(取10≈3.16),那么8級地震釋放的能量是7級地震釋放的能量的(　B　) A.30.6倍 B.31.6倍 C.3.16倍 D.3.06倍 解析:設7級地震釋放的能量為E1,8級地震釋放的能量為E2, 所以E1=104.8+1.5×7=1015.3(J), E2=104.8+1.5×8=1016.8(J), 所以E2E1=1016.81015.3≈31.6. 即8級地震釋放的能量是7級地震釋放的能量的31.6倍.故選B. 4.(2021·福建師大附中高三模擬)視力檢測結(jié)果有兩種記錄方式,分別是小數(shù)記錄與五分記錄,其部分數(shù)據(jù)如表所示. 小數(shù)記錄x 0.1 0.12 0.15 … 1 1.2 1.5 2.0 五分記錄y 4.0 4.1 4.2 … 5 5.1 5.2 5.3 現(xiàn)有如下函數(shù)模型:①y=5+lg x,②y=5+110lg1x,x表示小數(shù)記錄數(shù)據(jù),y表示五分記錄數(shù)據(jù),請選擇最合適的模型解決如下問題:某同學檢測視力時,醫(yī)生說他的視力為4.7,則該同學的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為(參考數(shù)據(jù):100.3≈2,5-0.22≈0.7,10-0.1≈0.8)(　B　) A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.8 解析:由表格中的數(shù)據(jù)可知,函數(shù)單調(diào)遞增,故合適的函數(shù)模型為y=5+lg x, 令y=5+lg x=4.7,解得x=10-0.3≈0.5.故選B. 5.(2021·四川高三聯(lián)考)單位時間內(nèi)通過道路上指定斷面的車輛數(shù)被稱為“道路容量”,與道路設施、交通服務、環(huán)境、氣候等諸多條件相關.假設某條道路一小時通過的車輛數(shù)N滿足關系N(v)=1 000v0.7v+0.3v2+d0,其中d0為安全距離,v為車速(單位:m/s).當安全距離d0取30 m時,該道路一小時“道路容量”的最大值約為(　B　) A.135 B.149 C.165 D.195 解析:由題意可知,N(v)=1 000v0.7v+0.3v2+d0=1 0000.7+0.3v+30v≤1 0000.7+20.3×30≈149.故選B. 6.(多選題)某單位準備印制一批證書,現(xiàn)有兩個印刷廠可供選擇,甲廠費用分為制版費和印刷費兩部分,先收取固定的制版費,再按印刷數(shù)量收取印刷費,乙廠直接按印刷數(shù)量收取印刷費,甲廠的總費用y1(千元)、乙廠的總費用y2(千元)與印制證書數(shù)量x(千個)的函數(shù)關系圖分別如圖中甲、乙所示,則下列說法中正確的是(　ABD　) A.甲廠的制版費為1千元,印刷費平均每個為0.5元 B.甲廠的總費用y1與證書數(shù)量x之間的函數(shù)關系式為y1=0.5x+1 C.當印制證書數(shù)量不超過2千個時,乙廠的印刷費平均每個為1元 D.當印制證書數(shù)量超過2千個時,乙廠的總費用y2與證書數(shù)量x之間的函數(shù)關系式為y2=14x+52 解析:由題圖知甲廠制版費為1千元,印刷費平均每個為0.5元,故A正確; 設甲廠的費用y1與證書數(shù)量x滿足的函數(shù)關系式為y=kx+b, 代入點(0,1),(6,4),可得b=1,6k+b=4, 解得k=0.5,b=1. 所以甲廠的費用y1與證書數(shù)量x滿足的函數(shù)關系式為y1=0.5x+1,故B正確; 當印制證書數(shù)量不超過2千個時,乙廠的印刷費平均每個為3÷2= 1.5元,故C不正確; 設當x>2時,設y2與x之間的函數(shù)關系式為y=mx+n, 代入點(2,3),(6,4),可得2m+n=3,6m+n=4, 解得m=14,n=52, 所以當x>2時,y2與x之間的函數(shù)關系式為y2=14x+52,故D正確.故選ABD. 7.(多選題)幾名大學生創(chuàng)業(yè),經(jīng)過調(diào)研,他們選擇了一種技術產(chǎn)品,生產(chǎn)此產(chǎn)品獲得的月利潤p(x)(單位:萬元)與每月投入的研發(fā)經(jīng)費x(單位:萬元)有關:當每月投入的研發(fā)經(jīng)費不高于16萬元時,p(x)=-15x2+6x-20,研發(fā)利潤率y=p(x)x×100%.他們現(xiàn)在已投入研發(fā)經(jīng)費9萬元,則下列判斷正確的是(　BC　) A.投入9萬元研發(fā)經(jīng)費可以獲得最大利潤率 B.要再投入6萬元研發(fā)經(jīng)費才能獲得最大利潤 C.要想獲得最大利潤率,還需要再投入研發(fā)經(jīng)費1萬元 D.要想獲得最大利潤,還需要再投入研發(fā)經(jīng)費1萬元 解析:當x≤16時,p(x)=-15x2+6x-20=-15(x-15)2+25, 故當x=15時,獲得最大利潤為p(15)=25,B正確; 由研發(fā)利潤率y=p(x)x×100%=-15x+6-20x=-(15x+20x)+6≤-215x·20x+6=2, 當且僅當15x=20x,即x=10時,研發(fā)利潤率取得最大值2,C正確.故選BC. 8.(2021·山東泰安三模)某化工廠對產(chǎn)生的廢氣進行過濾后排放,過濾過程中廢氣的污染物含量P(單位:mg/L)與時間(單位:h)間的關系為:P=P0e-k t,其中P0,k是正常數(shù).如果在前5 h消除了10%的污染物,則污染物減少50%需要花費的時間為(精確到1 h,參考數(shù)據(jù):log0.90.5≈6.579)(　D　) A.30 B.31 C.32 D.33 解析:由題意當t=0時,P=P0,當t=5時,P=(1-10%)P0=0.9P0, 所以0.9P0=P0e-5k,解得k=-15ln 0.9,所以P=P0·0.9t5. 當P=50%P0時,有P0·0.9t5=50%P0=0.5P0,即0.9t5=0.5,解得t= 5log0.90.5≈5×6.579≈33.故選D. 9.酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全,根據(jù)國家有關規(guī)定:100 mL血液中酒精含量低于20 mg的駕駛員可以駕駛汽車,酒精含量達到20～79 mg的駕駛員即為酒后駕車,80 mg及以上認定為醉酒駕車.某駕駛員喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到100 mg/100 mL.如果在停止喝酒以后,他血液中酒精含量會以每小時20%的速度減少,那么他至少經(jīng)過　　　　個小時才能駕駛汽車(答案填整數(shù)).(參考數(shù)據(jù):lg 0.2≈-0.7,lg 0.3≈-0.5,lg 0.7≈-0.15,lg 0.8≈-0.1)  解析:因為1小時后血液中酒精含量為(1-20%)mg/mL,所以x小時后血液中酒精含量為(1-20%)xmg/mL,由題意可知100 mL血液中酒精含量低于20 mg的駕駛員可以駕駛汽車,所以(1-20%)x<0.2,0.8x<0.2,兩邊取對數(shù)lg 0.8x<lg 0.2,即x>lg0.2lg0.8≈7,所以他至少經(jīng)過7個小時才能駕駛汽車. 答案:7 10.2020年是全國決勝脫貧攻堅之年,“一幫一扶”工作組進駐某山區(qū)幫助農(nóng)民脫貧,發(fā)現(xiàn)該山區(qū)盛產(chǎn)蘋果、梨子、獼猴桃,工作人員在線上進行直播帶貨活動,促銷方案如下:若一次購買水果總價不低于 200元,則顧客少付款m元,每次訂單付款成功后,農(nóng)民會收到支付款的80%,在促銷活動中,為了使得農(nóng)民收入不低于總價的70%,則m的最大值為　　　　.  解析:設每筆訂單促銷前的總價為x元, 根據(jù)題意有(x-m)×80%≥x×70%,即m≤x8恒成立, 由題意得x≥200,所以x8≥2008=25,所以m≤25,即m的最大值為25. 答案:25 11.(2021·福建福州高三二模)經(jīng)多次實驗得到某種型號的汽車每小時耗油量Q(單位:L)與速度v(單位:km/h)(40≤v≤120)的數(shù)據(jù)如表所示. v 40 60 90 100 120 Q 5.2 6 8.325 10 15.6 為描述Q與v的關系,現(xiàn)有以下三種模型供選擇:Q(v)=0.04v+3.6, Q(v)=0.5v+a,Q(v)=0.000 025v3-0.004v2+0.25v.選出最符合實際的函數(shù)模型,解決下列問題:某高速公路共有三個車道,分別是外側(cè)車道、中間車道、內(nèi)側(cè)車道,車速范圍分別是[60,90),[90,110),[110,120] (單位:km/h).為使百千米耗油量W(單位:L)最小,該型號汽車行駛的車道與速度為(　A　) A.在外側(cè)車道以80 km/h行駛 B.在中間車道以90 km/h行駛 C.在中間車道以95 km/h行駛 D.在內(nèi)側(cè)車道以115 km/h行駛 解析:由題意,符合的函數(shù)模型需要滿足在40≤v≤120,v都可取,且由表可知,Q隨v的增大而增大,則該函數(shù)模型應為增函數(shù),因此Q(v)=0.5v+a不符合; 若選擇Q(v)=0.04v+3.6,則Q(90)=0.04×90+3.6=7.2,Q(100)=0.04 ×100+3.6=7.6,Q(120)=0.04×120+3.6=8.4,與實際數(shù)據(jù)相差較大,所以Q(v)=0.04v+3.6不符合; 若選擇Q(v)=0.000 025v3-0.004v2+0.25v,則Q(40)=5.2,Q(60)=6, Q(90)=8.325,Q(100)=10,Q(120)=15.6,所以Q(v)=0.000 025v3- 0.004v2+0.25v最符合實際. 因為W=100v·Q=0.002 5·v2-0.4v+25=0.002 5(v-80)2+9,當v=80時,W取得最小值為9.故選A. 12.(2021·百校聯(lián)盟高三模擬)為了測量某種海魚死亡后新鮮度的變化.研究人員特意通過檢測該海魚死亡后體內(nèi)某微量元素的含量來決定魚的新鮮度.若海魚的新鮮度h與其死亡后時間t(單位:小時)滿足的函數(shù)關系式為h(t)=1-m·at.若該種海魚死亡后2小時,海魚的新鮮度為80%,死亡后3小時,海魚的新鮮度為60%,那么若不及時處理,這種海魚從死亡后大約經(jīng)過多少小時后,海魚的新鮮度變?yōu)?0%(參考數(shù)據(jù):ln 2≈0.7,ln 3≈1.1)(　B　) A.3.3 B.3.6 C.4 D.4.3 解析:由題意可得?(2)=1-ma2=0.8,?(3)=1-ma3=0.6, 解得a=2,m=0.05,所以h(t)=1-0.05×2t. 令h(t)=1-0.05×2t=0.4,可得2t=12, 兩邊同時取對數(shù),故t=ln12ln2=2ln2+ln3ln2≈3.6(小時).故選B. 13.(多選題)某食品的保鮮時間t(單位:小時)與儲藏溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關系t=64,x≤0,2kx+6,x>0,且該食品在4 ℃的保鮮時間是16小時.已知甲在某日上午10時購買了該食品,并將其遺放在室外,且此日的室外溫度隨時刻的變化如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(　AD　) A.該食品在6 ℃時的保鮮時間是8小時 B.當x∈[-6,6]時,該食品的保鮮時間t隨著x的增大而逐漸減少 C.到了此日13時,甲所購買的食品還在保鮮時間內(nèi) D.到了此日14時,甲所購買的食品已經(jīng)過了保鮮時間 解析:因為食品的保鮮時間t(單位:小時)與儲藏溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關系t=64,x≤0,2kx+6,x>0,且該食品在4 ℃時的保鮮時間是16小時,所以24k+6=16,即4k+6=4,解得k=-12,所以t=64,x≤0,2-12x+6,x>0,當x= 6時,t=8,A項中,該食品在6℃時的保鮮時間是8小時,故正確;B項中,當x∈[-6,0]時,保鮮時間恒為64小時,當x∈(0,6]時,該食品的保鮮時間t隨著x的增大而逐漸減少,故錯誤;C項中,到了此日11時,溫度為11 ℃,此時保鮮時間不超過2小時,故到 13時,甲所購買的食品不在保鮮時間內(nèi),故錯誤;D項中,到了此日14時,甲所購買的食品已經(jīng)過了保鮮時間,故正確.故選AD. 14.(2021·山東濱州三模)某同學設想用“高個子系數(shù)k”來刻畫成年男子的高個子的程度,他認為成年男子身高在160 cm及其以下不算高個子,其高個子系數(shù)k應為0;身高在190 cm及其以上的是理所當然的高個子,其高個子系數(shù)k應為1,請給出一個符合該同學想法、合理的成年男子高個子系數(shù)k關于身高x(cm)的函數(shù)關系式　.  解析:由題意函數(shù)k(x)是[160,190]上的增函數(shù),設k(x)=ax+b(a>0),x∈[160,190], 由160a+b=0,190a+b=1,解得a=130,b=-163, 所以k(x)=130x-163, 所以k(x)=0,0<x≤160,130(x-160),1,x≥190,160<x<190, 答案:k(x)=0,0<x≤160,130(x-160),1,x≥190160<x<190,(注:答案不唯一,在[160,190]上設其他函數(shù)式也可以,只要是增函數(shù),只有兩個參數(shù).如y=b-ax(a>0),y=ax2+b(a>0)等等即可) 15.環(huán)保生活,低碳出行,電動汽車正成為人們購車的熱門選擇.某型號電動汽車在一段平坦的國道進行測試,國道限速80 km/h(不含 80 km/h).經(jīng)多次測試得到,該汽車每小時耗電量M(單位:Wh)與速度v(單位:km/h)的數(shù)據(jù)如表所示. v 0 10 40 60 M 0 1 325 4 400 7 200 為了描述國道上該汽車每小時耗電量與速度的關系,現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇: M(v)=140v3+bv2+cv,M(v)=1 000(23)v+a,M(v)=300logav+b. (1)當0≤v<80時,請選出你認為最符合表格所列數(shù)據(jù)實際的函數(shù)模型,并求出相應的函數(shù)解析式; (2)現(xiàn)有一輛同型號汽車從A地駛到B地,前一段是200 km的國道,后一段是50 km的高速路,若已知高速路上該汽車每小時耗電量N(單位:Wh)與速度的關系是:N(v)=2v2-10v+200(80≤v≤120),則如何行駛才能使得總耗電量最少,最少為多少? 解:(1)對于M(v)=300 logav+b,當v=0時,它無意義,所以不符合題意; 對于M(v)=1 000(23)v+a,它顯然是個減函數(shù),這與M(40)<M(60)矛盾; 故選擇M(v)=140v3+bv2+cv. 根據(jù)提供的數(shù)據(jù),有 140×103+b·102+c·10=1 325,140×403+b·402+c·40=4 400,解得b=-2,c=150, 當0≤v<80時,M(v)=140v3-2v2+150v. (2)國道路段長為200 km,所用時間為200v h, 所耗電量為f(v)=200v·M(v)=200v·(0.025v3-2v2+150v)=5×(v2-80v+ 6 000)=5×(v-40)2+22 000, 因為0≤v<80,當v=40時,f(v)min=22 000 Wh; 高速路段長為50 km,所用時間為50v h, 所耗電量為g(v)=50v·N(v)=50v·(2v2-10v+200)=100×(v+100v-5) =100×(v+100v)-500. 由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知,g(v)在[80,120]上單調(diào)遞增, 所以g(v)min=g(80)=100×(80+10080)-500=7 625 Wh. 故當這輛車在國道上的行駛速度為40 km/h,在高速路上的行駛速度為80 km/h時,該車從A地到B地的總耗電量最少,最少為22 000+ 7 625=29 625 Wh.