高中數(shù)學(xué) 6_2_1 直接證明：分析法與綜合法同步精練 湘教版選修2-21

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高中數(shù)學(xué) 6.2.1 直接證明：分析法與綜合法同步精練 湘教版選修2-2 1．已知p＝a＋(a＞2)，q＝2－a2＋4a－2(a＞2)，則(　　)． A．p＞q B．p＜q C．p≥q D．p≤q 2．給定空間中的直線l及平面α，條件“直線l與平面α內(nèi)兩條相交直線都垂直”是“直線l與平面α垂直”的(　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 3．設(shè)a，b∈R，若a－|b|＞0，則下列不等式中正確的是(　　)． A．b－a＞0 B．a(chǎn)3＋b3＜0 C．a(chǎn)2－b2＜0 D．b＋a＞0 4．若直線＋＝1與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則(　　)． A．a(chǎn)2＋b2≤1 B．a(chǎn)2＋b2≥1 C．＋≤1 D．＋≥1 5．若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，則cos(α－β)＝(　　)． A． B．－ C．1 D．－1 6．設(shè)a＝，b＝－，c＝－，則a，b，c的大小關(guān)系為_(kāi)_________． 7．已知A，B是△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，向量m＝cosi＋sinj，其中i，j為相互垂直的單位向量．若|m|＝，則tan Atan B＝________. 8．已知函數(shù)f(x)＝x2－cos x，對(duì)于上的任意x1，x2，有如下條件： ①x1＞x2；②x＞x；③|x1|＞x2. 其中能使f(x1)＞f(x2)恒成立的條件序號(hào)是__________． 9．設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，且a≠b，求證：a3＋b3＞a2b＋ab2. 10．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且(5n－8)Sn＋1－(5n＋2)Sn＝An＋B，n＝1,2,3，…，其中A，B為常數(shù)． (1)求A與B的值； (2)證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列．  參考答案 1．A　∵a＞2， ∴p＝a＋＝a－2＋＋2≥2＋2＝4. 而， ∵a＞2，∴－(a－2)2＋2＜2. ∴＜22＝4. ∴q＜4.∴p＞q. 2．C 3．D　由a＞|b|得－a＜b＜a， ∴a＋b＞0，且a－b＞0. ∴b－a＜0，選項(xiàng)A不正確． a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2) ＝(a＋b)， ∴a3＋b3＞0，選項(xiàng)B不正確． 而a2－b2＝(a－b)(a＋b)＞0， ∴選項(xiàng)C不正確． 4．D　∵直線與圓有公共點(diǎn)，即與圓相交或相切， 由＋＝1整理得bx＋ay－ab＝0. ∴≤1，即＋≥1. 5．B　觀察已知條件中有α，β，γ三個(gè)角，而所求結(jié)論中只有α，β兩個(gè)角，所以只需將已知條件中的角γ消去即可，依據(jù)sin2γ＋cos2γ＝1消去γ. 即sin γ＝－(sin α＋sin β)，cos γ＝－(cos α＋cos β)， ∴(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝sin2γ＋cos2γ＝1，整理，得cos(α－β)＝－. 6．a(chǎn)＞c＞b　可通過(guò)作差進(jìn)行比較，a－b＝＋－，可進(jìn)一步比較＋與的大小，即比較(＋)2與7的大小，即5＋2與7的大小，∵＞2，∴5＋2＞7.∴a＞b. 同理可比較a與c，b與c的大小． 7．　∵|m|＝， ∴cos2＋sin2＝. ∴＋＝， 即cos(A－B)－cos(A＋B)＝0. ∴cos(A－B)＝cos(A＋B)， cos Acos B＋sin Asin B＝cos Acos B－sin Asin B. ∴sin Asin B＝cos Acos B. ∴tan Atan B＝. 8．②　由于函數(shù)y＝x2在上為減函數(shù)，y＝－cos x在上為減函數(shù)， ∴f(x)＝x2－cos x在上為減函數(shù)． 又函數(shù)y＝x2與y＝－cos x在上同為增函數(shù)， ∴f(x)＝x2－cos x在上為增函數(shù)． 又函數(shù)y＝x2－cos x為上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，因此離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)的函數(shù)值越大． ②中，x＞x，即|x1|＞|x2|，能使f(x1)＞f(x2)恒成立． 9．證法一：(分析法) 要證a3＋b3＞a2b＋ab2成立，只需證(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立． 又因?yàn)閍＋b＞0成立，只需證a2－ab＋b2＞ab成立， 即證a2－2ab＋b2＞0成立，即證(a－b)2＞0成立， 而依題設(shè)a≠b，則(a－b)2＞0顯然成立，由此命題得證． 證法二：(綜合法) a≠b?a－b≠0?(a－b)2＞0?a2－2ab＋b2＞0?a2－ab＋b2＞ab. 注意到a，b為正實(shí)數(shù)，a＋b＞0，由上式即得 (a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)． ∴a3＋b3＞a2b＋ab2. 10．(1)解：由已知得S1＝a1＝1，S2＝a1＋a2＝7，S3＝a1＋a2＋a3＝18. 由(5n－8)Sn＋1－(5n＋2)Sn＝An＋B知 即 解得A＝－20，B＝－8. (2)證法一：由(1)得 (5n－8)Sn＋1－(5n＋2)Sn＝－20n－8，① ∴(5n－3)Sn＋2－(5n＋7)Sn＋1＝－20n－28.② ②－①得(5n－3)Sn＋2－(10n－1)Sn＋1＋(5n＋2)Sn＝－20，③ ∴(5n＋2)Sn＋3－(10n＋9)Sn＋2＋(5n＋7)Sn＋1＝－20.④ ④－③得(5n＋2)Sn＋3－(15n＋6)Sn＋2＋(15n＋6)Sn＋1－(5n＋2)Sn＝0. ∵an＋1＝Sn＋1－Sn，∴(5n＋2)an＋3－(10n＋4)an＋2＋(5n＋2)an＋1＝0. 又∵5n＋2≠0，∴an＋3－2an＋2＋an＋1＝0， 即an＋3－an＋2＝an＋2－an＋1，n≥1. 又a3－a2＝a2－a1＝5，∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列． 證法二：由已知，S1＝a1＝1， 又(5n－8)Sn＋1－(5n＋2)Sn＝－20n－8，且5n－8≠0， ∴數(shù)列{Sn}是唯一確定的，因而數(shù)列{an}是唯一確定的． 設(shè)bn＝5n－4，則數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和Tn＝， 于是(5n－8)Tn＋1－(5n＋2)Tn ＝(5n－8)－(5n＋2)＝－20n－8. 由唯一性得bn＝an，即數(shù)列{an}為等差數(shù)列．