高中數學 第三章 推理與證明 3_1_2 類比推理自我小測 北師大版選修1-21
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高中數學 第三章 推理與證明 3_1_2 類比推理自我小測 北師大版選修1-21
高中數學 第三章 推理與證明 3.1.2 類比推理自我小測 北師大版選修1-2
1.下列類比正確的是( ).
A.平面內兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形,則空間中兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
B.平面內兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形,則空間內兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形
C.平面內垂直于同一條直線的兩直線平行,則空間內垂直于同一條直線的兩直線平行
D.平面內n邊形的內角和為(n-2)180,則空間內n面體的各面內角和為n(n-2)180
2.下面使用類比推理恰當的是( ).
A.“若a3=b3,則a=b”類比推出若“a0=b0,則a=b”
B.“(a+b)c=ac+bc”類比推出“(ab)c=acbc”
C.“(a+b)c=ac+bc”類比推出“”
D.“(ab)n=anbn”類比推出“(a+b)n=an+bn”
3.下面類比推理所得結論正確的是( ).
A.由(a+b)2=a2+2ab+b2類比得(a+b)2=a2+2ab+b2
B.由|a|=|b|?a=b(a,b∈R)類比得|a|=|b|?a=b
C.由ax+y=axay(a∈R)類比得sin(α+β)=sin αsin β
D.由(ab)c=a(bc)(a,b,c∈R)類比得(ab)c=a(bc)
4.下列推理是合情推理的是( ).
①由圓的性質類比出球的有關性質
②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內角和是180,歸納出所有三角形的內角和都是180
③教室內有一把椅子壞了,推出該教室內的所有椅子都壞了
④三角形內角和是180,四邊形內角和是360,五邊形內角和是540,由此得凸多邊形內角和是(n-2)180
A.①② B.①③④
C.①②④ D.②④
5.類比以(0,0)為圓心、以r為半徑的圓的方程x2+y2=r2,寫出以(0,0,0)為球心、以r為半徑的球的方程為__________.
6.(2011山東棗莊高考調研)在平面幾何中,有射影定理:“在△ABC中,AB⊥AC,點A在BC邊上的射影為D,有AB2=BDBC.”類比平面幾何定理,研究三棱錐的側面面積與射影面積、底面面積的關系,可以得出的正確結論是:“在三棱錐ABCD中,AD⊥平面ABC,點A在底面BCD上的射影為O,則有__________.”
7.已知等差數列{an},公差為d,前n項和為Sn,有如下性質:
(1)通項an=am+(n-m)d.
(2)若m+n=2p,m、n、p∈N+,則am+an=2ap.
(3)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n構成等差數列.
類比得出等比數列的性質.
8.三角形的面積為,a、b、c為三角形的邊長,r為三角形內切圓的半徑,利用類比推理,求出四面體的體積公式.
求出一個數學問題的正確結論后,將其作為條件之一,提出與原來問題有關的新問題,我們把它稱為原來問題的一個“逆向”問題.例如:原來問題是“若正四棱錐底面邊長為4,側棱長為3,求該正四棱錐的體積.”求出體積后,它的一個“逆向”問題可以是“若正四棱錐底面邊長為4,體積為,求側棱長”;也可以是“若正四棱錐的體積為,求所有側面面積之和的最小值”.
試給出問題“在平面直角坐標系xOy中,求點P(2,1)到直線3x+4y=0的距離”的一個有意義的“逆向”問題.
參考答案
千里之行始于足下
1.B 空間內兩組對邊分別相等的四邊形不一定是平行四邊形,但兩組對邊平行,則一定在一個平面內是平行四邊形.
2.C 可以按照實數的運算法則進行判斷.
3.A 逐一進行判斷.A正確,向量的數量積運算就按多項式乘法法則運算.B不正確,向量既有大小,又有方向,大小相等不能說明方向相同或相反.C由兩角和的三角函數公式可知不正確.D向量的數量積不滿足結合律,故D錯.
4.C?、鄄环虾锨橥评恚?
5.x2+y2+z2=1 將平面方程推廣到空間中需用三維坐標,球上任意一點(x,y,z)到球心的距離等于半徑.
6.
7.解:等比數列{bn},公比為q,前n項和為Sn,有如下性質:
(1)通項an=amqn-m.
(2)若m+n=2p,p、m、n∈N+,則.
(3)Sn,,構成等比數列.
8.解: (S1+S2+S3+S4)r(S1、S2、S3、S4分別為四個面的面積,r為內切球半徑).
如下圖,設△ABC的三邊與⊙O分別切于點D、E、F,
則OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,且OD=OE=OF=r.
連接OA、OB、OC,
則S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=cr+br+ar= (a+b+c)r.類似地,如下圖,三棱錐PABC的內切球為球O,半徑為r,則球心O到各面的距離都為r,四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4,
則VPABC=VO ABC+VOPBC+VOPAC+VOPAB
=S1r+S2r+S3r+S4r= (S1+S2+S3+S4)r.
百尺竿頭更進一步
解:本題的答案不唯一,下列答案都屬于有意義的“逆向”問題.
(1)“若點P(2,1)到過原點的直線l的距離為2,求直線l的方程”;
(2)“若點P(2,1)到直線l:ax+by=0的距離為2,求a,b之間的關系”;
(3)“求與直線l:3x+4y=0平行且距離為2的直線方程”;
(4)“在平面直角坐標系xOy中,求到直線3x+4y=0的距離等于2的點的軌跡”;
(5)“在平面直角坐標系xOy中,求到點P(2,1)的距離等于2的直線方程”.