高中數學 第三章 推理與證明 3_1_2 類比推理自我小測 北師大版選修1-21

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高中數學 第三章 推理與證明 3.1.2 類比推理自我小測 北師大版選修1-2 1．下列類比正確的是(　　)． A．平面內兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，則空間中兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 B．平面內兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，則空間內兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形 C．平面內垂直于同一條直線的兩直線平行，則空間內垂直于同一條直線的兩直線平行 D．平面內n邊形的內角和為(n－2)180，則空間內n面體的各面內角和為n(n－2)180 2．下面使用類比推理恰當的是(　　)． A．“若a3＝b3，則a＝b”類比推出若“a0＝b0，則a＝b” B．“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“(ab)c＝acbc” C．“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“” D．“(ab)n＝anbn”類比推出“(a＋b)n＝an＋bn” 3．下面類比推理所得結論正確的是(　　)． A．由(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2類比得(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B．由|a|＝|b|?a＝b(a，b∈R)類比得|a|＝|b|?a＝b C．由ax＋y＝axay(a∈R)類比得sin(α＋β)＝sin αsin β D．由(ab)c＝a(bc)(a，b，c∈R)類比得(ab)c＝a(bc) 4．下列推理是合情推理的是(　　)． ①由圓的性質類比出球的有關性質 ②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內角和是180，歸納出所有三角形的內角和都是180 ③教室內有一把椅子壞了，推出該教室內的所有椅子都壞了 ④三角形內角和是180，四邊形內角和是360，五邊形內角和是540，由此得凸多邊形內角和是(n－2)180 A．①②　　　　　　　　　　　B．①③④ C．①②④ D．②④ 5．類比以(0,0)為圓心、以r為半徑的圓的方程x2＋y2＝r2，寫出以(0,0,0)為球心、以r為半徑的球的方程為__________． 6．(2011山東棗莊高考調研)在平面幾何中，有射影定理：“在△ABC中，AB⊥AC，點A在BC邊上的射影為D，有AB2＝BDBC.”類比平面幾何定理，研究三棱錐的側面面積與射影面積、底面面積的關系，可以得出的正確結論是：“在三棱錐ABCD中，AD⊥平面ABC，點A在底面BCD上的射影為O，則有__________．” 7．已知等差數列{an}，公差為d，前n項和為Sn，有如下性質： (1)通項an＝am＋(n－m)d. (2)若m＋n＝2p，m、n、p∈N＋，則am＋an＝2ap. (3)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構成等差數列． 類比得出等比數列的性質． 8．三角形的面積為，a、b、c為三角形的邊長，r為三角形內切圓的半徑，利用類比推理，求出四面體的體積公式． 求出一個數學問題的正確結論后，將其作為條件之一，提出與原來問題有關的新問題，我們把它稱為原來問題的一個“逆向”問題．例如：原來問題是“若正四棱錐底面邊長為4，側棱長為3，求該正四棱錐的體積．”求出體積后，它的一個“逆向”問題可以是“若正四棱錐底面邊長為4，體積為，求側棱長”；也可以是“若正四棱錐的體積為，求所有側面面積之和的最小值”． 試給出問題“在平面直角坐標系xOy中，求點P(2,1)到直線3x＋4y＝0的距離”的一個有意義的“逆向”問題．  參考答案 千里之行始于足下 1．B　空間內兩組對邊分別相等的四邊形不一定是平行四邊形，但兩組對邊平行，則一定在一個平面內是平行四邊形． 2．C　可以按照實數的運算法則進行判斷． 3．A　逐一進行判斷．A正確，向量的數量積運算就按多項式乘法法則運算．B不正確，向量既有大小，又有方向，大小相等不能說明方向相同或相反．C由兩角和的三角函數公式可知不正確．D向量的數量積不滿足結合律，故D錯． 4．C?、鄄环虾锨橥评恚? 5．x2＋y2＋z2＝1　將平面方程推廣到空間中需用三維坐標，球上任意一點(x，y，z)到球心的距離等于半徑． 6． 7．解：等比數列{bn}，公比為q，前n項和為Sn，有如下性質： (1)通項an＝amqn－m. (2)若m＋n＝2p，p、m、n∈N＋，則. (3)Sn，，構成等比數列． 8．解： (S1＋S2＋S3＋S4)r(S1、S2、S3、S4分別為四個面的面積，r為內切球半徑)． 如下圖，設△ABC的三邊與⊙O分別切于點D、E、F， 則OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，且OD＝OE＝OF＝r. 連接OA、OB、OC， 則S△ABC＝S△OAB＋S△OAC＋S△OBC＝cr＋br＋ar＝ (a＋b＋c)r.類似地，如下圖，三棱錐PABC的內切球為球O，半徑為r，則球心O到各面的距離都為r，四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4， 則VPABC＝VO ABC＋VOPBC＋VOPAC＋VOPAB ＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r＝ (S1＋S2＋S3＋S4)r. 百尺竿頭更進一步 解：本題的答案不唯一，下列答案都屬于有意義的“逆向”問題． (1)“若點P(2,1)到過原點的直線l的距離為2，求直線l的方程”； (2)“若點P(2,1)到直線l：ax＋by＝0的距離為2，求a，b之間的關系”； (3)“求與直線l：3x＋4y＝0平行且距離為2的直線方程”； (4)“在平面直角坐標系xOy中，求到直線3x＋4y＝0的距離等于2的點的軌跡”； (5)“在平面直角坐標系xOy中，求到點P(2,1)的距離等于2的直線方程”．