高中數(shù)學(xué) 4_3_2 函數(shù)的極大值和極小值同步精練 湘教版選修2-21

高中數(shù)學(xué) 4.3.2 函數(shù)的極大值和極小值同步精練 湘教版選修2-2 1．有下列四個(gè)函數(shù)：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.其中在x＝0處取得極小值的函數(shù)是(　　)． A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 2．函數(shù)y＝x－sin x在上的最大值為(　　)． A． B．－1 C．π D．π－1 3．關(guān)于函數(shù)的極值，下列說法正確的是(　　)． A．導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn) B．函數(shù)的極小值一定小于它的極大值 C．f(x)在定義域內(nèi)最多只能有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值 D．若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù) 4．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于點(diǎn)(1,0)，則f(x)的(　　)． A．極大值為0，極小值為－ B．極大值為，極小值為0 C．極小值為－，極大值為0 D．極小值為0，極大值為 5．設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax，x∈R有大于零的極值點(diǎn)，則a的范圍是(　　)． A．(－1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，1) 6．若函數(shù)f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)上有極小值，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為__________． 7．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍是________． 8．將邊長為1的正三角形薄片沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S＝，則S的最小值是__________． 9．已知函數(shù)f(x)＝x－＋a(2－ln x)，a>0.討論f(x)的單調(diào)性． 10．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值； (2)若關(guān)于x的方程f(x)＝a有三個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (3)已知當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)≥k(x－1)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．  參考答案 1．B?、倥c④在R上是增函數(shù)，取不到極值，由極值定義，結(jié)合圖象知②③在x＝0處取得極小值． 2．C　∵y′＝1－cos x≥0，∴y＝x－sin x在上是增函數(shù)． ∴當(dāng)x＝π時(shí)，ymax＝π. 3．D 4．B　∵f(x)與x軸切于點(diǎn)(1,0)， f′(x)＝3x2－2px－q， ∴f′(1)＝3－2p－q＝0. 又f(1)＝1－p－q＝0，∴p＝2，q＝－1. ∴f(x)＝x3－2x2＋x. ∴f′(x)＝3x2－4x＋1. 令3x2－4x＋1＝0，解得x1＝1，x2＝. 當(dāng)x＜時(shí)，f′(x)＞0； 當(dāng)＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0； 當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)＞0. 故當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取得極大值；當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極小值0. 5．C　∵y′＝ex＋a，令y′＝0，則x＝ln(－a)，∵x＞0，∴l(xiāng)n(－a)＞0＝ln 1，∴a＜－1. 6．　f(x)在(0,1)上存在極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為f′(x)＝3x2－6b＝0在(0,1)上有解，即b＝，x∈(0,1)有解．因?yàn)楹瘮?shù)y＝，x∈(0,1)的值域?yàn)?，所以b∈. 7．(－∞，－1)∪(2，＋∞)　f(x)為三次函數(shù)，f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)為二次函數(shù)，要使f(x)既有極大值又有極小值，需f′(x)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，化簡f′(x)＝0有x2＋2ax＋(a＋2)＝0，從而有Δ＝(2a)2－4(a＋2)＞0，解得a＜－1或a＞2，即a∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 8．　設(shè)剪成的小正三角形的邊長為x. 則S＝＝(0＜x＜1)， S′＝ ＝－， 令S′＝0，得x＝或x＝3(舍去)． x＝是S的極小值點(diǎn)且是最小值點(diǎn)． ∴Smin＝＝. 9．解：f(x)的定義域是(0，＋∞)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝1＋－＝. 設(shè)g(x)＝x2－ax＋2，一元二次方程g(x)＝0的判別式Δ＝a2－8. ①當(dāng)Δ＜0即0＜a＜2時(shí)，對一切x＞0都有f′(x)＞0. 此時(shí)f(x)是(0，＋∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)． ②當(dāng)Δ＝0即a＝2時(shí)，僅當(dāng)x＝時(shí)，有f′(x)＝0，對其余的x＞0都有f′(x)＞0. 此時(shí)f(x)也是(0，＋∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)． ③當(dāng)Δ＞0即a＞2時(shí)，方程g(x)＝0有兩個(gè)不同的實(shí)根 x1＝，x2＝，0＜x1＜x2. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 極大值 極小值 此時(shí)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． 10．解：(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝. 因?yàn)楫?dāng)x＞或x＜－時(shí)，f′(x)＞0； 當(dāng)－＜x＜時(shí)，f′(x)＜0. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－)和(，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間為(－，)． 當(dāng)x＝－時(shí)，f(x)有極大值5＋4；當(dāng)x＝時(shí)，f(x)有極小值5－4. (2)由(1)的分析知y=f(x)的圖象的大致形狀及走向如圖所示，當(dāng)5－4＜a＜5+4時(shí)，直線y=a與y=f(x)的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，即方程f(x)=a有三個(gè)不同的解． (3)f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)． 因?yàn)閤＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立． 令g(x)＝x2＋x－5，g(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)． 所以g(x)＞g(1)＝－3.所以k的取值范圍是k≤－3.