（全國(guó)通用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題提分教程 高難拉分攻堅(jiān)特訓(xùn)（六）理

高難拉分攻堅(jiān)特訓(xùn)(六) 1．已知函數(shù)f(x)＝－ax有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C. D. 答案　A 解析　f(x)＝－ax，令f(x)＝0，可得ax＝，當(dāng)x＝0時(shí)，上式顯然不成立；可得a＝(x≠0)有且只有2個(gè)不等實(shí)根，等價(jià)為函數(shù)g(x)＝的圖象和直線y＝a有且只有兩個(gè)交點(diǎn)．由g′(x)＝<0恒成立，可得當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x＜0時(shí)，g(x)單調(diào)遞減．且g(x)＝>0在x>0或x<－1時(shí)恒成立，作出函數(shù)g(x)的大致圖象，如圖，由圖象可得a>0時(shí)，直線y＝a和y＝g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．故選A. 2．已知底面是正六邊形的六棱錐P－ABCDEF的七個(gè)頂點(diǎn)均在球O的表面上，底面正六邊形的邊長(zhǎng)為1，若該六棱錐體積的最大值為，則球O的表面積為_(kāi)_______． 答案　 解析　因?yàn)榱忮FP－ABCDEF的七個(gè)頂點(diǎn)均在球O的表面上，由對(duì)稱(chēng)性和底面正六邊形的面積為定值知，當(dāng)六棱錐P－ABCDEF為正六棱錐時(shí)，體積最大．設(shè)正六棱錐的高為h，則×h＝，解得h＝2.記球O的半徑為R，根據(jù)平面截球面的性質(zhì)，得(2－R)2＋12＝R2，解得R＝，所以球O的表面積為4πR2＝4π2＝. 3．已知函數(shù)f(x)＝x2－1＋aln (1－x)，a∈R. (1)若函數(shù)f(x)為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)若函數(shù)f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1<x2.證明：>. 解　(1)由題意可知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，1)， ∵f′(x)＝2x－＝(x<1)， 對(duì)于y＝－2x2＋2x－a， ∵Δ＝4－8a， ①若Δ≤0，即a≥，則－2x2＋2x－a≤0恒成立， ∴f(x)在(－∞，1)上為單調(diào)減函數(shù)． ②若Δ>0，即a<，方程－2x2＋2x－a＝0的兩根為x1＝，x2＝，x2>>x1， ∴當(dāng)x∈(－∞，x1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減， 當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，不符合題意． 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為. (2)證明：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以f′(x)＝0，在x<1上有兩個(gè)不等實(shí)根． 即－2x2＋2x－a＝0在(－∞，1)上有兩個(gè)不等的實(shí)根x1，x2， 設(shè)x1<x2， ∴0<a<，∴ ∴x1∈，x2∈ ＝ ＝－(1＋x1)＋2x1ln (1－x1)， 同理：＝－(1＋x2)＋2x2ln (1－x2)． 設(shè)g(x)＝－(1＋x)＋2xln (1－x)，x∈(0,1)， 則g′(x)＝－1＋2ln (1－x)－， 設(shè)h(x)＝－1＋2ln (1－x)－，x∈(0,1)， ∴h′(x)＝－－<0，在(0,1)上恒成立， 所以h(x)為(0,1)上的減函數(shù)． ∴h(x)<h(0)＝－1<0，即g′(x)<0在(0,1)恒上成立，因此g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減． ∵x1<x2，∴g(x1)>g(x2)，∴>. 4．武漢又稱(chēng)江城，是湖北省省會(huì)，它不僅有著深厚的歷史積淀與豐富的民俗文化，更有著眾多名勝古跡與旅游景點(diǎn)，黃鶴樓與東湖便是其中的兩個(gè)．為合理配置旅游資源，現(xiàn)對(duì)已參觀黃鶴樓景點(diǎn)的游客進(jìn)行隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查，若不游玩東湖記1分，若繼續(xù)游玩東湖記2分，每位游客選擇是否參觀東湖的概率均為，游客之間選擇意愿相互獨(dú)立． (1)從游客中隨機(jī)抽取3人，記這3人的總得分為隨機(jī)變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望； (2)①若從游客中隨機(jī)抽取m(m∈N*)人，記這m人的總分恰為m分的概率為Am，求數(shù)列{Am}的前10項(xiàng)和； ②在對(duì)所有游客進(jìn)行隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查的過(guò)程中，記已調(diào)查過(guò)的人的累計(jì)得分恰為n分的概率為Bn，探討B(tài)n與Bn－1(n≥2)之間的關(guān)系，并求數(shù)列{Bn}的通項(xiàng)公式． 解　(1)X的所有可能取值為3,4,5,6. P(X＝3)＝3＝，P(X＝4)＝C3＝， P(X＝5)＝C3＝，P(X＝6)＝3＝. 所以X的分布列為 X 3 4 5 6 P 所以E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝. (2)①總分恰為m分的概率Am＝m， 所以數(shù)列{Am}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列． 所以其前10項(xiàng)和S10＝＝. ②因?yàn)橐颜{(diào)查過(guò)的人的累計(jì)得分恰為n分的概率為Bn，得不到n分的情況只有先得(n－1)分，再得2分，概率為Bn－1(n≥2)． 所以1－Bn＝Bn－1(n≥2)，即Bn＝－Bn－1＋1(n≥2)， 所以Bn－＝－(n≥2)， 所以Bn－＝n－1，易知B1＝， 所以Bn＝－n－1＝＋n＝＋. - 4 -