（京津魯瓊專用）2020版高考數學二輪復習 第一部分 基礎考點 自主練透 第3講 復數與平面向量練習（含解析）

第3講　復數與平面向量 復　數 [考法全練] 1．(2019·高考全國卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，則z＝(　　) A．－1－i　　　　　 B．－1＋i C．1－i D．1＋i 解析：選D.由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i. 故選D. 2．(2019·高考全國卷Ⅱ)設z＝i(2＋i)，則z＝(　　) A．1＋2i B．－1＋2i C．1－2i D．－1－2i 解析：選D.因為z＝i(2＋i)＝－1＋2i，所以z＝－1－2i，故選D. 3．(一題多解)(2019·南寧模擬)設z＝＋2i，則|z|＝(　　) A．0 B． C．1 D． 解析：選C.法一：因為z＝＋2i＝＋2i＝＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故選C. 法二：因為z＝＋2i＝＝， 所以|z|＝||＝＝＝1.故選C. 4．(2019·漳州模擬)已知i是虛數單位，且z＝，則z的共軛復數在復平面內對應的點在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：選A.z＝＝＝＝＝2－i，則z＝2＋i，所以z對應的點在第一象限．故選A. 5．(2019·高考全國卷Ⅰ)設復數z滿足|z－i|＝1，z在復平面內對應的點為(x，y)，則(　　) A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1 解析：選C.由已知條件，可得z＝x＋yi(x，y∈R)，因為|z－i|＝1，所以|x＋yi－i|＝1，所以x2＋(y－1)2＝1. 故選C. 6．(2019·高考江蘇卷)已知復數(a＋2i)(1＋i)的實部為0，其中i為虛數單位，則實數a的值是________． 解析：(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，因為其實部是0，故a＝2. 答案：2 復數代數形式的2種運算方法 (1)復數的乘法：復數的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數單位i的看作一類項，不含i的看作另一類項，分別合并同類項即可． (2)復數的除法：除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數，解題時要注意把i的冪寫成最簡形式．復數的除法類似初中所學化簡分數常用的“分母有理化”，其實質就是“分母實數化”． [提醒]　(1)復數運算的重點是除法運算，其關鍵是進行分母實數化． (2)對一些常見的運算，如(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i等要熟記． (3)利用復數相等a＋bi＝c＋di列方程時，注意a，b，c，d∈R的前提條件．　 平面向量的線性運算 [考法全練] 1．(一題多解)(2019·合肥市第二次質量檢測)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，則＝(　　) A．a＋b　　　　 B．a＋b C．a－b D．a－b 解析：選A.通解：如圖，過點D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點E，F(xiàn)，則四邊形AEDF為平行四邊形，所以＝＋.因為＝，所以＝，＝，所以＝＋＝a＋b，故選A. 優(yōu)解一：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故選A. 優(yōu)解二：由＝，得－＝(－)，所以＝＋(－)＝＋＝a＋b，故選A. 2．(一題多解)(2019·廣東六校第一次聯(lián)考)如圖，在△ABC中，＝，P是BN上一點，若＝t＋，則實數t的值為(　　) A． B． C． D． 解析：選C.通解：因為＝，所以＝.設＝λ，則＝＋＝＋λ＝＋λ(＋)＝＋λ＝λ＋(1－λ)，又＝t＋，所以t＋＝λ＋(1－λ)，得，解得t＝λ＝，故選C. 優(yōu)解：因為＝，所以＝，所以＝t＋＝t＋.因為B，P，N三點共線，所以t＋＝1，所以t＝，故選C. 3．已知P為△ABC所在平面內一點，＋＋＝0， ||＝||＝||＝2，則△ABC的面積等于(　　) A． B．2 C．3 D．4 解析：選B.由||＝||得，△PBC是等腰三角形，取BC的中點為D，則PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝－2，所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由||＝2，||＝1可得||＝，則||＝2，所以△ABC的面積為×2×2＝2，故選B. 4．已知向量a＝(1，2)，b＝(m，－1)，若a∥(a＋b)，則實數m的值為________． 解析：a＋b＝(1＋m，1)，因為a∥(a＋b)，所以2(1＋m)＝1，解得m＝－. 答案：－ 5．(2019·鄭州市第一次質量預測)如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點，連接CE，DF交于點G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則＝________． 解析：由題圖可設＝x(x>0)，則＝x(＋)＝x(＋)＝＋x.因為＝λ＋μ，與不共線，所以λ＝，μ＝x，所以＝. 答案： 平面向量線性運算的2種技巧 (1)對于平面向量的線性運算問題，要盡可能轉化到三角形或平行四邊形中，靈活運用三角形法則、平行四邊形法則，緊密結合圖形的幾何性質進行運算． (2)在證明兩向量平行時，若已知兩向量的坐標形式，常利用坐標運算來判斷；若兩向量不是以坐標形式呈現(xiàn)的，常利用共線向量定理(當b≠0時，a∥b?存在唯一實數λ，使得a＝λb)來判斷． [提醒]　向量線性運算問題的2個關注點 (1)注意盡可能地將向量轉化到同一個平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數乘運算來求解． (2)注意結論的使用：O為直線AB外一點，若點P在直線AB上，則有＝α＋β(α＋β＝1)；若點P滿足＝，則有＝＋.　 　平面向量的數量積 [考法全練] 1．(2019·高考全國卷Ⅱ)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，則·＝(　　) A．－3　　　　　　　 B．－2 C．2 D．3 解析：選C.因為＝－＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，||＝1，所以＝1，所以t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2. 故選C. 2．(2019·高考全國卷Ⅰ)已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為(　　) A．　　 B．　　　　 C．　　　　 D． 解析：選B.由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，所以a·b＝b2. 因為|a|＝2|b|，所以cos〈a，b〉＝＝＝. 因為0≤〈a，b〉≤π，所以a與b的夾角為. 故選B. 3．(一題多解)(2019·安徽五校聯(lián)盟第二次質檢)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，點D為BC邊上一點，且＝2，則·＝(　　) A． B． C．1 D．2 解析：選C.法一：因為＝2，所以－＝2(－)，所以＝＋，則·＝·＝·＋2＝×3×2×＋×32＝1，故選C. 法二：以A為坐標原點，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示．則A(0，0)，B(3，0)，C(－1，)，因為＝2，所以＝＝(－4，)＝，則D，所以＝(3，0)，＝，則·＝3×＋0＝1，故選C. 4．(2019·高考全國卷Ⅲ)已知a，b為單位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，則cos〈a，c〉＝________． 解析：由題意，得cos〈a，c〉＝＝＝＝. 答案： 5．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，則|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________． 解析：已知|a|＝1，|b|＝2，則(|a＋b|＋|a－b|)2＝2(a2＋b2)＋2|a＋b||a－b|＝10＋2·＝10＋2.由|a|＝1，|b|＝2，得－2≤a·b≤2，則(a·b)2∈[0，4]，所以(|a＋b|＋|a－b|)2∈[16，20]，所以|a＋b|＋|a－b|∈[4，2]，所以|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2. 答案：4　2 6．已知平面內三個不共線向量a，b，c兩兩夾角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，則|a＋b＋c|＝________． 解析：由平面內三個不共線向量a，b，c兩兩夾角相等，可得夾角均為，所以|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋9＋2×1×1×cos ＋2×1×3×cos ＋2×1×3×cos ＝4，所以|a＋b＋c|＝2. 答案：2 平面向量數量積問題的難點突破 (1)借“底”數字化，要先選取一組合適的基底，這是把平面向量“數化”的基礎． (2)借“系”坐標化，數形結合，建立合適的平面直角坐標系，將向量的數量積運算轉化為坐標運算．　 　平面向量在幾何中的應用 [考法全練] 1．(一題多解)(2019·鄭州市第二次質量預測)在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在邊AC的中線BD上，則·的最小值為(　　) A．－　　　　　　　　　 B．0 C．4 D．－1 解析：選A.通解：因為BC＝2，AC＝4，∠C＝90°，所以AC的中線BD＝2，且∠CBD＝45°.因為點P在邊AC的中線BD上，所以設＝λ(0≤λ≤1)，如圖所示，所以·＝(＋)·＝(＋λ)·λ＝λ·＋λ2·2＝λ||·||cos 135°＋λ2×(2)2＝8λ2－4λ＝8－，當λ＝時，·取得最小值－，故選A. 優(yōu)解：依題意，以C為坐標原點，分別以AC，BC所在的直線為x，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則B(0，2)，D(2，0)，所以直線BD的方程為y＝－x＋2， 因為點P在邊AC的中線BD上，所以可設P(t，2－t)，(0≤t≤2)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，當t＝時，·取得最小值－，故選A. 2．(一題多解)(2019·長春市質量監(jiān)測(二))如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為BC邊的中點，F(xiàn)為CD邊上一點，若·＝||2，則||＝(　　) A．3 B．5 C． D． 解析：選D.法一：以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標系如圖所示，則A(0，0)，E(2，1)．設||＝x，則F(x，2)，故＝(x，2)，＝(2，1)．因為·＝||2，所以(x，2)·(2，1)＝2x＋2＝5，解得x＝，所以||＝＝，故選D. 法二：連接EF，因為·＝||||cos∠EAF＝||2，所以||cos∠EAF＝||，所以EF⊥AE.因為E是BC的中點，所以BE＝CE＝1.設DF＝x，則CF＝2－x.在Rt△AEF中，AE2＋EF2＝AF2，即22＋12＋(2－x)2＋12＝22＋x2，解得x＝，所以AF＝＝.故選D. 3．(2019·江蘇南通基地學校聯(lián)考改編)如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(，1)在以原點O為圓心的圓上．已知圓O與y軸正半軸的交點為P，延長AP至點B，使得∠AOB＝90°，則·＝________，|＋|＝________．　 解析：由題可得圓O的半徑r＝＝2，所以P(0，2)，則AP所在直線方程為y－2＝(x－0)，即y＝－x＋2. 設B，則＝(，1)，＝. 由∠AOB＝90°可得·＝0，所以x－x＋2＝x＋2＝0， 解得x＝－，所以B(－，3)，所以＝(，－1)， 所以·＝×＋1×(－1)＝2， |＋|＝|(2，0)|＝2. 答案：2　2 用向量解決平面幾何問題的3個步驟 (1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題． (2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如平行、垂直和距離、夾角等問題． (3)把運算結果“翻譯”成幾何關系． [提醒]　關注2個常用結論的應用 (1)△ABC中，AD是BC邊上的中線，則＝(＋)． (2)△ABC中，O是△ABC內一點，若＋＋＝0，則O是△ABC的重心．　 一、選擇題 1．若i是虛數單位，則復數的實部與虛部之積為(　　) A．－　　　　　　　 B． C．i D．－i 解析：選B.因為＝＝＋i，所以其實部為，虛部為，實部與虛部之積為.故選B. 2．(2019·武昌區(qū)調研考試)已知向量a＝(2，1)，b＝(2，x)不平行，且滿足(a＋2b)⊥(a－b)，則x＝(　　) A．－ B． C．1或－ D．1或 解析：選A.因為(a＋2b)⊥(a－b)，所以(a＋2b)·(a－b)＝0，所以|a|2＋a·b－2|b|2＝0，因為向量a＝(2，1)，b＝(2，x)，所以5＋4＋x－2(4＋x2)＝0，解得x＝1或x＝－，因為向量a，b不平行，所以x≠1，所以x＝－，故選A. 3．(2019·廣州市綜合檢測(一))a，b為平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，則a，b夾角的余弦值等于(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：選B.設b＝(x，y)，則有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以，解得，故b＝(1，－2)，|b|＝，|a|＝2，cos〈a，b〉＝＝＝－，故選B. 4．(2019·廣東六校第一次聯(lián)考)在△ABC中，D為AB的中點，點E滿足＝4，則＝(　　) A．－ B．－ C．＋ D．＋ 解析：選A.因為D為AB的中點，點E滿足＝4，所以＝，＝，所以＝＋＝＋＝(＋)－＝－，故選A. 5．(2019·湖南省五市十校聯(lián)考)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，則|a＋b|＝(　　) A． B． C．2 D． 解析：選A.由題意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝＝＝.故選A. 6．已知(1＋i)·z＝i(i是虛數單位)，則復數z在復平面內對應的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：選A.因為(1＋i)·z＝i，所以z＝＝＝，則復數z在復平面內對應的點的坐標為，所以復數z在復平面內對應的點位于第一象限，故選A. 7．已知向量a與b的夾角為120°，且|a|＝|b|＝2，則a在a－b方向上的投影為(　　) A．1 B． C． D． 解析：選B.由向量的數量積公式可得a·(a－b)＝|a||a－b|cos〈a，a－b〉，所以a在a－b方向上的投影|a|·cos〈a，a－b〉＝＝.又a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝2×2×cos 120°＝－2，所以|a|·cos〈a，a－b〉＝＝，故選B. 8．在如圖所示的矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為線段BC上的點，則·的最小值為(　　) A．12 B．15 C．17 D．16 解析：選B.以B為坐標原點，BC所在直線為x軸，BA所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(0，4)，D(2，4)，設E(x，0)(0≤x≤2)，所以·＝(x，－4)·(x－2，－4)＝x2－2x＋16＝(x－1)2＋15，于是當x＝1，即E為BC的中點時，·取得最小值15，故選B. 9．(一題多解)(2019·貴陽模擬)如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝4，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中點，則·(＋)＝(　　) A．8 B．12 C．16 D．20 解析：選D.法一：設＝a，＝b，則a·b＝0，a2＝16，＝＋＝b＋a，＝(＋)＝＝a＋b，所以·(＋)＝a·＝a·＝a2＋a·b＝a2＝20，故選D. 法二：以A為坐標原點建立平面直角坐標系(如圖所示)，設AD＝t(t>0)，則B(4，0)，C(2，t)，E，所以·(＋)＝(4，0)·＝(4，0)·＝20，故選D. 10．(一題多解)已知a，b，e是平面向量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2－4e·b＋3＝0，則|a－b|的最小值是(　　) A．－1 B．＋1 C．2 D．2－ 解析：選A. 法一：設O為坐標原點，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以點B的軌跡是以C(2，0)為圓心，1為半徑的圓．因為a與e的夾角為，所以不妨令點A在射線y＝x(x>0)上，如圖，數形結合可知|a－b|min＝||－||＝－1.故選A. 法二：由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0. 設b＝，e＝，3e＝，所以b－e＝，b－3e＝，所以·＝0，取EF的中點為C，則B在以C為圓心，EF為直徑的圓上，如圖．設a＝，作射線OA，使得∠AOE＝，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝||－||≥－1.故選A. 11．(多選)下列命題正確的是(　　) A．若復數z1，z2的模相等，則z1，z2是共軛復數 B．z1，z2都是復數，若z1＋z2是虛數，則z1不是z2的共軛復數 C．復數z是實數的充要條件是z＝z(z是z的共軛復數) D．已知復數z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i(i是虛數單位)，它們對應的點分別為A，B，C，O為坐標原點，若＝x＋y(x，y∈R)，則x＋y＝1 解析：選BC.對于A，z1和z2可能是相等的復數，故A錯誤；對于B，若z1和z2是共軛復數，則相加為實數，不會為虛數，故B正確；對于C，由a＋bi＝a－bi得b＝0，故C正確；對于D，由題可知，A(－1，2)，B(1，－1)，C(3，－2)，建立等式(3，－2)＝(－x＋y，2x－y)，即解得x＋y＝5，故D錯誤．故選BC. 12．(多選)已知等邊三角形ABC內接于⊙O，D為線段OA的中點，則＝(　　) A．＋ B．－ C．＋ D．＋ 解析：選AC.如圖所示，設BC中點為E，則＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋·＝＋.故選AC. 13．(多選)已知P為△ABC所在平面內一點，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，則(　　) A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是等腰三角形 C．△ABC的面積為2 D．△ABC的面積為 解析：選AC.由||＝||得，△PBC是等腰三角形，取BC的中點D，連接PD，則PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝－2，所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由||＝2，||＝1可得||＝，則||＝2，所以△ABC的面積為×2×2＝2. 二、填空題 14．已知復數z滿足z(1－i)2＝1＋i(i為虛數單位)，則|z|＝________． 解析：因為z＝－＝，所以|z|＝. 答案： 15．(2019·山東師大附中二模改編)已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，則向量a和b的夾角是________，a·(a＋b)＝________． 解析：由題意，設向量a，b的夾角為θ.因為|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝.又因為0≤θ≤π，所以θ＝.則a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cos θ＝3＋2×＝6. 答案：　6 16．(2019·濟南市學習質量評估)已知|a|＝|b|＝2，a·b＝0，c＝(a＋b)，|d－c|＝，則|d|的取值范圍是________． 解析：不妨令a＝(2，0)，b＝(0，2)，則c＝(1，1)．設d＝(x，y)，則(x－1)2＋(y－1)2＝2，點(x，y)在以點(1，1)為圓心、為半徑的圓上，|d|表示點(x，y)到坐標原點的距離，故|d|的取值范圍為[0，2]． 答案：[0，2] 17．在△ABC中，(－3)⊥，則角A的最大值為________．　 解析：因為(－3)⊥，所以(－3)·＝0，(－3)·(－)＝0，2－4·＋32＝0，即cos A＝＝＋≥2＝，當且僅當||＝||時等號成立．因為0＜A＜π，所以0＜A≤，即角A的最大值為. 答案： - 15 -