（新課標）2020版高考數(shù)學二輪復習 專題一 三角函數(shù)與解三角形 第2講 三角恒等變換與解三角形練習 文 新人教A版

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1、第2講　三角恒等變換與解三角形 一、選擇題 1．(2019·重慶市學業(yè)質(zhì)量調(diào)研)已知sin θ＝cos(2π－θ)，則tan 2θ＝(　　) A．－　　　　　　　　　 B. C．－ D. 解析：選B.由sin θ＝cos(2π－θ)，得sin θ＝cos θ，所以tan θ＝，則tan 2θ＝＝＝，故選B. 2．(2018·高考全國卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，則AB＝(　　) A．4 B. C. D．2 解析：選A.因為cos ＝，所以cos C＝2cos2－1＝2×－1＝－.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2A

2、C·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，所以AB＝4.故選A. 3．(2019·成都市第二次診斷性檢測)若α，β都是銳角，且sin α＝，sin(α－β)＝，則sin β＝(　　) A. B. C. D. 解析：選B.因為sin α＝，α為銳角，所以cos α＝. 因為α，β均為銳角，所以0＜α＜，0＜β＜，所以－＜－β＜0，所以－＜α－β＜，又因為sin(α－β)＝＞0，所以0＜α－β＜，所以cos(α－β)＝，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝＝. 4．已知θ∈，且sin θ－cos

3、θ＝－，則＝(　　) A. B. C. D. 解析：選D.由sin θ－cos θ＝－， 得sin＝. 因為θ∈，所以0＜－θ＜， 所以cos＝. 故＝ ＝＝ ＝2cos＝. 5．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若＋＝2a，則△ABC是(　　) A．等邊三角形 B．銳角三角形 C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形 解析：選C.因為＋＝2a，所以由正弦定理可得，＋＝2sin A≥2＝2， 所以sin A＝1，當＝時，“＝”成立， 所以A＝，b＝c， 所以△ABC是等腰直角三角形． 6．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為

4、a，b，c，且＋＝2c2，sin A(1－cos C)＝sin Bsin C，b＝6，AB邊上的點M滿足＝2，過點M的直線與射線CA，CB分別交于P，Q兩點，則MP2＋MQ2的最小值是(　　) A．36 B．37 C．38 D．39 解析：選A.由正弦定理，知＋＝2c2，即2＝2sin2C，所以sin C＝1，C＝，所以sin A(1－cos C)＝sin Bsin C，即sin A＝sin B，所以A＝B＝.以C為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則M(2，4)，設(shè)∠MPC＝θ，θ∈，則MP2＋MQ2＝＋＝(sin2θ＋cos2θ)＝20＋4tan2θ＋≥36，當且僅當ta

5、n θ＝時等號成立，即MP2＋MQ2的最小值為36. 二、填空題 7．若sin＝，則cos＝________． 解析：cos＝cos ＝2sin2－1＝2×－1＝－. 答案：－ 8．(一題多解)(2019·高考全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，則△ABC的面積為________． 解析：法一：因為a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面積S＝acsin B＝×4×2×sin ＝6. 法二：因為a＝2c，b＝6，

6、B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面積S＝×2×6＝6. 答案：6 9.已知在河岸A處看到河對岸兩個帳篷C，D分別在北偏東45°和北偏東30°方向，若向東走30米到達B處后再次觀察帳篷C，D，此時C，D分別在北偏西15°和北偏西60°方向，則帳篷C，D之間的距離為________米． 解析：由題意可得∠DAB＝60°，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，∠DBA＝30°，在△ABD中，∠DAB＝60°，∠DBA＝30°，AB＝30，所以∠ADB＝90°

7、，sin∠DAB＝sin 60°＝，解得BD＝15.在△ABC中，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，所以∠ACB＝60°，＝，解得BC＝10.在△BCD中，∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝45°，則由余弦定理得cos∠CBD＝cos 45°＝，即＝，得CD＝5. 答案：5 三、解答題 10．(2019·合肥市第二次質(zhì)量檢測)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c.已知bsin－csin B＝0. (1)求角C的值； (2)若a＝4，c＝2，求△ABC的面積． 解：(1)因為bsin－csin B＝0， 所以sin B－sin Csin B＝0， 因為B∈(0，π)，所

8、以sin B≠0， 所以sin C＋cos C＝0，所以sin＝0. 因為C∈(0，π)，所以C＝. (2)因為c2＝a2＋b2－2abcos C，a＝4，c＝2，所以b2＋4b－12＝0， 因為b＞0，所以b＝2，所以△ABC的面積S＝absin C＝×4×2×＝2. 11．(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預測)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為S，且滿足sin B＝. (1)求sin Asin C； (2)若4cos Acos C＝3，b＝，求△ABC的周長． 解：(1)由三角形的面積公式可得S＝bcsin A， 又sin B＝，所以2bcs

9、in Asin B＝b2， 即2csin Asin B＝b，由正弦定理可得2sin Csin Asin B＝sin B， 因為sin B≠0，所以sin Asin C＝. (2)因為4cos Acos C＝3，所以cos Acos C＝， 所以cos Acos C－sin Asin C＝－＝， 即cos(A＋C)＝，所以cos B＝－， 因為0＜B＜π，所以sin B＝， 因為＝＝＝＝4. 所以sin Asin C＝＝，所以ac＝8. 因為b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2accos B， 所以(a＋c)2＝15＋12＝27，所以a＋c＝3，所以a

10、＋b＋c＝3＋. 12．(2019·福州市質(zhì)量檢測)在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D，E分別在邊AB，BC上，CD＝5，CE＝3，且△EDC的面積為3. (1)求邊DE的長； (2)若AD＝3，求sin A的值． 解：(1)如圖，在△ECD中，S△ECD＝CE·CDsin∠DCE＝×3×5×sin∠DCE＝3， 所以sin∠DCE＝， 因為0°＜∠DCE＜90°， 所以cos∠DCE＝＝， 所以DE2＝CE2＋CD2－2·CE·CD·cos∠DCE＝9＋25－2×3×5×＝28，所以DE＝2. (2)因為∠ACB＝90°，所以sin∠ACD＝sin(90°－∠DCE)＝cos∠DCE＝， 在△ADC中，＝， 即＝，所以sin A＝. - 6 -