（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第4講 基本不等式練習(xí)（含解析）

第4講 基本不等式 [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f(x)＝有(　　) A．最小值1 B．最大值1 C．最小值2 D．最大值2 解析：選B.f(x)＝≤＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，x＞0即x＝1時(shí)取等號． 所以f(x)有最大值1. 2．設(shè)非零實(shí)數(shù)a，b，則“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B.因?yàn)閍，b∈R時(shí)，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，而＋≥2?ab>0，所以“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”的必要不充分條件． 3．(2019·嘉興期中)若正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋2y＋2xy－8＝0，則x＋2y的最小值為(　　) A．3 B．4 C． D． 解析：選B.因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿足x＋2y＋2xy－8＝0， 所以x＋2y＋－8≥0， 設(shè)x＋2y＝t＞0， 所以t＋t2－8≥0， 所以t2＋4t－32≥0， 即(t＋8)(t－4)≥0， 所以t≥4， 故x＋2y的最小值為4. 4．若log4(3a＋4b)＝log2，則a＋b的最小值是(　　) A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4 解析：選D.由題意得所以 又log4(3a＋4b)＝log2， 所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)， 即3a＋4b＝ab，故＋＝1. 所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋ ≥7＋2＝7＋4. 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)取等號．故選D. 5．不等式x2＋x<＋對任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(　　) A．(－2，0) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(－2，1) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞) 解析：選C.根據(jù)題意，由于不等式x2＋x<＋對任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，則x2＋x<，因?yàn)椋? ＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立，所以x2＋x<2，求解此一元二次不等式可知－2<x<1，所以x的取值范圍是(－2，1)． 6．(2019·紹興市高三教學(xué)質(zhì)量評價(jià))若正數(shù)a，b滿足：＋＝1，則＋的最小值為(　　) A．2 B． C． D．1＋ 解析：選A.由a，b為正數(shù)，且＋＝1，得b＝>0，所以a－1>0，所以＋＝＋＝＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)＝和＋＝1同時(shí)成立，即a＝b＝3時(shí)等號成立，所以＋的最小值為2，故選A. 7．已知a，b∈(0，＋∞)，若ab＝1，則a＋b的最小值為________；若a＋b＝1，則ab的最大值為________． 解析：由基本不等式得a＋b≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)取到等號；ab≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取到等號． 答案：2　 8．(2019·嘉興期中)已知0＜x＜，則x(5－4x)的最大值是________． 解析：因?yàn)?＜x＜， 所以0＜5－4x＜5， 所以x(5－4x)＝·4x(5－4x)≤·＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取等號，故最大值為. 答案： 9．(2019·溫州市瑞安市高考模擬)若x＞0，y＞0，則＋的最小值為________． 解析：設(shè)＝t＞0，則＋＝＋t＝＋(2t＋1)－≥2－＝－，當(dāng)且僅當(dāng)t＝＝時(shí)取等號． 答案：－ 10．(2019·寧波十校聯(lián)考)已知a，b均為正數(shù)，且a＋b＝1，c＞1，則(－1)·c＋的最小值為________． 解析：因?yàn)閍＋b＝1， 所以－1＝－1＝＋≥2＝， 當(dāng)且僅當(dāng)＝即a＝－1、b＝2－時(shí)取等號， 所以(－1)·c＋≥c＋＝(c－1＋＋1)≥3. 答案：3 11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求 (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 又x>0，y>0，則1＝＋≥2 ＝. 得xy≥64，當(dāng)且僅當(dāng)x＝16，y＝4時(shí)，等號成立． 所以xy的最小值為64. (2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 則x＋y＝·(x＋y) ＝10＋＋≥10＋2 ＝18. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝12且y＝6時(shí)等號成立， 所以x＋y的最小值為18. 12. 行駛中的汽車，在剎車時(shí)由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離．在某種路面上，某種型號汽車的剎車距離s(m)與汽車的車速v(km/h)滿足下列關(guān)系：s＝＋(n為常數(shù)，且n∈N)，做了兩次剎車試驗(yàn)，有關(guān)試驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖所示，其中 (1)求n的值； (2)要使剎車距離不超過12.6 m，則行駛的最大速度是多少？ 解：(1)由試驗(yàn)數(shù)據(jù)知，s1＝n＋4，s2＝n＋， 所以 解之得. 又n∈N，所以n＝6. (2)由(1)知，s＝＋，v≥0. 依題意，s＝＋≤12.6， 即v2＋24v－5 040≤0，解得－84≤v≤60. 因?yàn)関≥0，所以0≤v≤60. 故行駛的最大速度為60 km/h. [能力提升] 1．如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過點(diǎn)G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且＝x，＝y(tǒng)，則x＋2y的最小值為(　　) A．2 B． C． D． 解析：選C.由已知可得＝×(＋)＝＋＝＋，又M、G、N三點(diǎn)共線，故＋＝1，所以＋＝3，則x＋2y＝(x＋2y)··＝≥(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號)．故選C. 2．已知x>0，y>0，2x＋y＝1，若4x2＋y2＋－m<0恒成立，則m的取值范圍是(　　) A．(－1，0)∪ B． C． D． 解析：選B.4x2＋y2＋－m<0恒成立，即m>4x2＋y2＋恒成立．因?yàn)閤>0，y>0，2x＋y＝1，所以1＝2x＋y≥2，所以0<≤(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)＝時(shí)，等號成立)．因?yàn)?x2＋y2＋＝(2x＋y)2－4xy＋＝1－4xy＋＝－4＋，所以4x2＋y2＋的最大值為，故m>，選B. 3．(2019·杭州學(xué)軍中學(xué)考試)已知a＜b，若二次不等式ax2＋bx＋c≥0對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則M＝的最小值為________． 解析：由條件知a＞0，b－a＞0.由題意得Δ＝b2－4ac≤0，解得c≥，所以M＝≥＝＝＝ ＝＋＋4≥2＋4＝4＋4＝8，當(dāng)且僅當(dāng)b＝3a時(shí)等號成立，所以M的最小值為8. 答案：8 4．(2019·浙江省名校聯(lián)考)已知a＞0，b＞－1，且a＋b＝1，則＋的最小值為____________． 解析：＋＝a＋＋＝a＋＋b＋1－2＋，又a＋b＝1，a＞0，b＋1＞0，所以a＋＋b＋1－2＋＝＋＝＝＋＋≥＋2 ＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝即a＝4－2，b＝2－3時(shí)取等號，所以＋的最小值為. 答案： 5．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20. 求：(1)u＝lg x＋lg y的最大值； (2)＋的最小值． 解：(1)因?yàn)閤>0，y>0， 所以由基本不等式，得2x＋5y≥2. 因?yàn)?x＋5y＝20，所以2≤20，xy≤10， 當(dāng)且僅當(dāng)2x＝5y時(shí)，等號成立． 因此有解得 此時(shí)xy有最大值10. 所以u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. 所以當(dāng)x＝5，y＝2時(shí)，u＝lg x＋lg y有最大值1. (2)因?yàn)閤>0，y>0， 所以＋＝·＝≥ ＝. 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，等號成立． 由解得 所以＋的最小值為. 6. (2019·義烏模擬)如圖，某生態(tài)園將一三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園種植桃樹，已知角A為120°，AB，AC的長度均大于200米，現(xiàn)在邊界AP，AQ處建圍墻，在PQ處圍竹籬笆． (1)若圍墻AP，AQ總長度為200米，如何圍可使得三角形地塊APQ的面積最大？ (2)已知AP段圍墻高1米，AQ段圍墻高1.5米，造價(jià)均為每平方米100元．若圍圍墻用了20 000元，問如何圍可使竹籬笆用料最??？ 解：設(shè)AP＝x米，AQ＝y(tǒng)米． (1)則x＋y＝200，△APQ的面積S＝xy·sin 120°＝xy.所以S≤＝2 500. 當(dāng)且僅當(dāng)即x＝y(tǒng)＝100時(shí)取“＝”． (2)由題意得100×(x＋1.5y)＝20 000，即x＋1.5y＝200.要使竹籬笆用料最省，只需其長度PQ最短，所以PQ2＝x2＋y2－2xycos 120°＝x2＋y2＋xy＝(200－1.5y)2＋y2＋(200－1.5y)y＝1.75y2－400y＋40 000＝1.75＋，當(dāng)y＝時(shí)，PQ有最小值，此時(shí)x＝. 8