（通用版）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 規(guī)范解答集訓(xùn)（五） 解析幾何 文

規(guī)范解答集訓(xùn)(五)　解析幾何 (建議用時(shí)：40分鐘) 1．已知?jiǎng)訄AE經(jīng)過點(diǎn)F(1,0)，且和直線l：x＝－1相切． (1)求該動(dòng)圓圓心E的軌跡G的方程； (2)已知點(diǎn)A(3,0)，若斜率為1的直線l′與線段OA相交(不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A)，且與曲線G交于B，C兩點(diǎn)，求△ABC面積的最大值． [解]　(1)由題意可知點(diǎn)E到點(diǎn)F距離等于點(diǎn)E到直線l的距離，所以動(dòng)點(diǎn)E的軌跡是以F(1,0)為焦點(diǎn)，直線x＝－1為準(zhǔn)線的拋物線， 故曲線G的方程是y2＝4x. (2)設(shè)直線l′的方程為y＝x＋m，其中－3<m<0. 聯(lián)立方程組消去y，得x2＋(2m－4)x＋m2＝0， Δ＝(2m－4)2－4m2＝16(1－m)恒大于零， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， x1＋x2＝4－2m，x1x2＝m2，∴|AB|＝4，點(diǎn)A到直線l′的距離為d＝， ∴S△ABC＝·4·＝2(3＋m)． 令＝t，t∈(1,2)，則m＝1－t2，∴S△ABC＝2t(4－t2)＝8t－2t3， 令f(t)＝8t－2t3，∴f′(t)＝8－6t2. y＝f(t)在上遞增，在上遞減． y＝f(t)在t＝時(shí)，即m＝－時(shí)取得最大值． ∴△ABC的最大面積為. 2．(2019·貴陽模擬)已知圓M：x2＋(y－2)2＝1，直線l：y＝－1，動(dòng)圓P與圓M相外切，且與直線l相切，設(shè)動(dòng)圓圓心P的軌跡為E. (1)求E的方程； (2)若點(diǎn)A，B是E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且·＝－16，求證：直線AB恒過定點(diǎn)． [解]　(1)由題意知?jiǎng)訄AP與直線l：y＝－1相切，且與定圓M：x2＋(y－2)2＝1外切，所以動(dòng)點(diǎn)P到圓M的圓心M(0,2)的距離與到直線y＝－2的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)P的軌跡是以M(0,2)為焦點(diǎn)，直線y＝－2為準(zhǔn)線的拋物線． 故所求點(diǎn)P的軌跡E的方程為x2＝8y. (2)設(shè)直線AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將直線AB的方程代入到x2＝8y中得x2－8kx－8b＝0， 所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b， 又·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝－8b＋b2＝－16， 所以b＝4，則直線AB恒過定點(diǎn)(0,4)． 3．(2019·長(zhǎng)沙模擬)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A為橢圓C上一點(diǎn)，AF2⊥F1F2，且|AF2|＝. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過A1，A2分別作x軸的垂線l1，l2，橢圓C的一條切線l：y＝kx＋m與l1，l2分別交于M，N兩點(diǎn)，求證：∠MF1N為定值． [解]　(1)由AF2⊥F1F2，|AF2|＝，得＝. 又e＝＝，a2＝b2＋c2，所以a2＝9，b2＝8， 故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)由題意可知，l1的方程為x＝－3，l2的方程為x＝3. 直線l分別與直線l1，l2的方程聯(lián)立得M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)， 所以＝(－2，－3k＋m)，＝(4,3k＋m)， 所以·＝－8＋m2－9k2. 聯(lián)立得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0. 因?yàn)橹本€l與橢圓C相切， 所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0， 化簡(jiǎn)得m2＝9k2＋8. 所以·＝－8＋m2－9k2＝0， 所以⊥， 故∠MF1N為定值. (注：可以先通過k＝0計(jì)算出此時(shí)∠MF1N＝，再驗(yàn)證一般性結(jié)論) 4．(2019·合肥模擬)設(shè)橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若橢圓E的離心率為，△ABF2的周長(zhǎng)為4. (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)不經(jīng)過橢圓的中心而平行于弦AB的直線交橢圓E于點(diǎn)C，D，設(shè)弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，證明：O，M，N三點(diǎn)共線． [解]　(1)由題意知，4a＝4，a＝. 又e＝，∴c＝，b＝， ∴橢圓E的方程為＋＝1. (2)當(dāng)直線AB，CD的斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性知，中點(diǎn)M，N在x軸上，O，M，N三點(diǎn)共線； 當(dāng)直線AB，CD的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，且設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 則兩式相減，得＋－＝0， ∴＝－， ＝－， ∴·＝－，·＝－，即k·kOM＝－， ∴kOM＝－. 同理可得kON＝－，∴kOM＝kON，∴O，M，N三點(diǎn)共線． 5．(2019·鄭州質(zhì)量檢測(cè))已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，設(shè)交點(diǎn)分別為M，N.R為準(zhǔn)線上一點(diǎn)． (1)若AR∥FN，求的值； (2)若點(diǎn)R為線段MN的中點(diǎn)，設(shè)以線段AB為直徑的圓為圓E，判斷點(diǎn)R與圓E的位置關(guān)系． [解]　由已知，得F(1,0)，設(shè)直線l的方程為x＝my＋1，與拋物線y2＝4x聯(lián)立， 得消去x，得y2－4my－4＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 由題知M(－1，y1)，N(－1，y2)，設(shè)R(－1，yR)． (1)∵AR∥FN，即∥，＝(－1－x1，yR－y1)，＝(－2，y2)， ∴0＝(－1－x1)y2＋2(yR－y1)＝(－2－my1)y2＋2(yR－y1)＝－2(y1＋y2)－my1y2＋2yR＝－4m＋2yR， ∴yR＝2m＝，則R是MN的中點(diǎn)，∴＝. (2)若R是MN的中點(diǎn)，則R(－1,2m)， ·＝(x1＋1，y1－2m)·(x2＋1，y2－2m)＝(my1＋2，y1－2m)·(my2＋2，y2－2m)＝(my1＋2)·(my2＋2)＋(y1－2m)·(y2－2m)＝(m2＋1)y1y2＋4m2＋4＝－4(m2＋1)＋4m2＋4＝0. 因此，點(diǎn)R在以AB為直徑的圓E上． - 4 -