《（天津?qū)Ｓ茫?020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)規(guī)范練32 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（天津?qū)Ｓ茫?020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)規(guī)范練32 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（含解析）新人教A版（10頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、考點(diǎn)規(guī)范練32 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
一、基礎(chǔ)鞏固
1.在下列命題中,不是公理的是( )
A.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行
B.過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面
C.如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)
D.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線
2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是線段BC,CD1的中點(diǎn),則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是( )
A.相交 B.異面 C.平行 D.垂直
3.如圖,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C?l,直線AB∩l=M,過A,B
2、,C三點(diǎn)的平面記作γ,則γ與β的交線必通過( )
A.點(diǎn)A
B.點(diǎn)B
C.點(diǎn)C但不過點(diǎn)M
D.點(diǎn)C和點(diǎn)M
4.如圖所示,ABCD-A1B1C1D1是長方體,O是B1D1的中點(diǎn),直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M,則下列結(jié)論正確的是( )
A.A,M,O三點(diǎn)共線
B.A,M,O,A1不共面
C.A,M,C,O不共面
D.B,B1,O,M共面
5.設(shè)四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1,2和a,且長為a的棱與長為2的棱異面,則a的取值范圍是( )
A.(0,2) B.(0,3) C.(1,2) D.(1,3)
6.l1,l2
3、表示空間中的兩條直線,若p:l1,l2是異面直線,q:l1,l2不相交,則( )
A.p是q的充分條件,但不是q的必要條件
B.p是q的必要條件,但不是q的充分條件
C.p是q的充分必要條件
D.p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件
7.如圖,圓錐SO中,AB,CD為底面圓的兩條直徑,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=2,P為SB的中點(diǎn),則異面直線SA與PD所成角的正切值為( )
A.1 B.2 C.2 D.22
8.已知直線l⊥平面α,直線m?平面β,則α∥β是l⊥m的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條
4、件
9.過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A作平面α,使得正方體的各棱與平面α所成的角均相等,則滿足條件的平面α的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.4 C.6 D.8
10.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,點(diǎn)E,H分別是邊AB,AD的中點(diǎn),點(diǎn)F,G分別是邊BC,CD上的點(diǎn),且CFCB=CGCD=23,則下列說法正確的是 .(填序號)?
①EF與GH平行;
②EF與GH異面;
③EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上,也可能不在直線AC上;
④EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上.
11.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中點(diǎn).已知∠BAC=π2,A
5、B=2,AC=23,PA=2.求:
(1)三棱錐P-ABC的體積;
(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值.
二、能力提升
12.已知直線a,b分別在兩個(gè)不同的平面α,β內(nèi),則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
13.若空間三條直線a,b,c滿足a⊥b,b∥c,則直線a與c( )
A.一定平行 B.一定相交
C.一定是異面直線 D.一定垂直
14.若空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等,則正整數(shù)n的取值( )
A.至多等于3 B.至多等于4
6、
C.等于5 D.大于5
15.已知m,n,l為不同的直線,α,β為不同的平面,給出下列命題,其中真命題的序號是 .?
①m∥l,n∥l?m∥n;②m∥α,n∥α?m∥n;
③m⊥α,n⊥β,α∥β?m∥n;
④m⊥α,α⊥β,n⊥β?m⊥n;
⑤m與l異面,n與l異面?m與n異面;
⑥m與l共面,n與l共面?m與n共面.
16.a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論:
①當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí),AB與b成30°角;
②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí),AB與b成60°角;
7、
③直線AB與a所成角的最小值為45°;
④直線AB與a所成角的最大值為60°.
其中正確的是 .(填序號)?
17.如圖所示,A是△BCD所在平面外的一點(diǎn),E,F分別是BC,AD的中點(diǎn).
(1)求證:直線EF與BD是異面直線;
(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF與BD所成的角.
三、高考預(yù)測
18.如圖,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E是棱D1D的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱B1B上,且滿足B1F=2BF.
(1)求證:EF⊥A1C1;
(2)在棱C1C上確定一點(diǎn)G,使A,E,G,F四點(diǎn)共面,并求此時(shí)C1
8、G的長.
考點(diǎn)規(guī)范練32 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
1.A 解析選項(xiàng)A是面面平行的性質(zhì)定理,是由公理推證出來的,而公理是不需要證明的.
2.A 解析由BCAD,ADA1D1知,BCA1D1,
從而四邊形A1BCD1是平行四邊形,
所以A1B∥CD1,
又EF?平面A1BCD1,EF∩D1C=F,
則A1B與EF相交.
3.D 解析∵AB?γ,M∈AB,∴M∈γ.
又α∩β=l,M∈l,∴M∈β.
根據(jù)公理3可知,M在γ與β的交線上,同理可知,點(diǎn)C也在γ與β的交線上.
4.A 解析連接A1C1,AC,則
9、A1C1∥AC,
所以A1,C1,A,C四點(diǎn)共面.
所以A1C?平面ACC1A1.
因?yàn)镸∈A1C,所以M∈平面ACC1A1.
又M∈平面AB1D1,
所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上.
同理A,O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,
所以A,M,O三點(diǎn)共線.
5.A 解析此題相當(dāng)于一個(gè)正方形沿著對角線折成一個(gè)四面體,長為a的棱長一定大于0且小于2.
6.A 解析l1,l2是異面直線?l1,l2不相交,即p?q;而l1,l2不相交l1,l2是異面直線,即qp.
故p是q的充分條件,但不是q的必要條件.
7. B 解析連接OP,易知O為AB的中點(diǎn).因
10、為P為SB的中點(diǎn),所以O(shè)P∥SA,且OP=12SA,所以∠DPO為異面直線SA與PD所成的角.在Rt△SOB中,SO=OB=2,所以O(shè)P=2.在等腰三角形PCD中,OP⊥CD,OD=2,所以tan∠DPO=ODOP=22=2,故選B.
8.A 解析若α∥β,則由l⊥α知l⊥β,又m?β,可得l⊥m,若α與β相交(如圖),設(shè)α∩β=n,當(dāng)m∥n時(shí),由l⊥α可得l⊥m,而此時(shí)α與β不平行,于是α∥β是l⊥m的充分不必要條件,故選A.
9.B 解析在正方體ABCD-A1B1C1D1中,與AA1,AD,AB平行的直線各有3條,AA1=AD=AB,A1-BDC1是正三棱錐,AA1,AD,AB
11、與平面A1DB所成角相等,
∴滿足條件的平面有4個(gè),故選B.
10.④ 解析連接EH,FG(圖略),依題意,可得EH∥BD,FG∥BD,故EH∥FG,所以E,F,G,H共面.因?yàn)镋H=12BD,FG=23BD,故EH≠FG,所以EFGH是梯形,EF與GH必相交,設(shè)交點(diǎn)為M.因?yàn)辄c(diǎn)M在EF上,故點(diǎn)M在平面ACB上.同理,點(diǎn)M在平面ACD上,所以點(diǎn)M是平面ACB與平面ACD的交點(diǎn),又AC是這兩個(gè)平面的交線,所以點(diǎn)M一定在直線AC上.
11.解(1)S△ABC=12×2×23=23,三棱錐P-ABC的體積為V=13S△ABC·PA=13×23×2=433.
(2)如圖,取PB的中點(diǎn)E,連接D
12、E,AE,則ED∥BC,所以∠ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角.
在△ADE中,DE=2,AE=2,AD=2,
cos∠ADE=22+22-22×2×2=34.
故異面直線BC與AD所成角的余弦值為34.
12.A 解析若直線a,b相交,設(shè)交點(diǎn)為P,則P∈a,P∈b.又a?α,b?β,所以P∈α,P∈β,故α,β相交.反之,若α,β相交,則a,b可能相交,也可能異面或平行.故“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件.
13.D 解析兩條平行線中一條與第三條直線垂直,另一條直線也與第三條直線垂直,故選D.
14.B 解析特殊值法.當(dāng)n=3時(shí),正
13、三角形的三個(gè)頂點(diǎn)之間兩兩距離相等,故n=3符合;當(dāng)n=4時(shí),聯(lián)想正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)之間兩兩距離相等,故n=4符合.
由此可以排除選項(xiàng)A,C,D.故選B.
15.①③④ 解析由平面的基本性質(zhì)4知①正確;
平行于同一平面的兩條直線可以平行、相交,也可以異面,故②錯(cuò)誤;
m⊥αα∥β?m⊥β n⊥β?m∥n,故③為真命題;
α⊥βn⊥β?n∥α或n?α m⊥α?m⊥n,故④為真命題;
如圖(1),長方體中,m與l異面,n1,n2,n3都與l異面,但n2與m相交,n1與m異面,n3與m平行,故⑤為假命題;
如圖(2),長方體中,m與l共面,n與l共面,但m與n異面,故⑥
14、為假命題.
(1)
(2)
16.②③ 解析由題意,AB是以AC為軸,BC為底面半徑的圓錐的母線,由AC⊥a,AC⊥b,得AC⊥圓錐底面,在底面內(nèi)可以過點(diǎn)B,作BD∥a,交底面圓C于點(diǎn)D,如圖所示,連接DE,則DE⊥BD,∴DE∥b.連接AD,在等腰三角形ABD中,設(shè)AB=AD=2,當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí),∠ABD=60°,故BD=2.又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=2,過點(diǎn)B作BF∥DE,交圓C于點(diǎn)F,連接AF,由圓的對稱性可知BF=DE=2,∴△ABF為等邊三角形,∴∠ABF=60°,即AB與b成60°角,②正確,①錯(cuò)誤.由最小角定理可知③正確;很明顯,可以滿足直線
15、a⊥平面ABC,直線AB與a所成的最大角為90°,④錯(cuò)誤.故正確的說法為②③.
17. (1)證明假設(shè)EF與BD不是異面直線,則EF與BD共面,從而DF與BE共面,即AD與BC共面,所以A,B,C,D在同一平面內(nèi),這與A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)相矛盾.故直線EF與BD是異面直線.
(2)解取CD的中點(diǎn)G,連接EG,FG,則AC∥FG,EG∥BD,
所以相交直線EF與EG所成的角即為異面直線EF與BD所成的角.
又因?yàn)锳C⊥BD,所以FG⊥EG.
在Rt△EGF中,由EG=FG=12AC,可得∠FEG=45°,即異面直線EF與BD所成的角為45°.
18.(1)證明如圖所
16、示,連接B1D1,
∵ABCD-A1B1C1D1為正方體,
∴四邊形A1B1C1D1為正方形.
∴A1C1⊥B1D1.
∵BB1⊥平面A1B1C1D1,∴A1C1⊥BB1.
∵B1D1∩BB1=B1,
∴A1C1⊥平面BB1D1D.
∵EF?平面BB1D1D,∴EF⊥A1C1.
(2)解如圖所示,假設(shè)A,E,G,F四點(diǎn)共面,則A,E,G,F四點(diǎn)確定平面AEGF,
∵ABCD-A1B1C1D1為正方體,
∴平面AA1D1D∥平面BB1C1C.
∵平面AEGF∩平面AA1D1D=AE,
平面AEGF∩平面BB1C1C=GF,
∴由平面與平面平行的性質(zhì)定理得AE∥G
17、F,同理可得AF∥GE,因此四邊形AEGF為平行四邊形,
∴GF=AE.在Rt△ADE中,AD=a,DE=12DD1=a2,∠ADE=90°,
由勾股定理得AE=AD2+DE2=a2+a22=52a,
在直角梯形B1C1GF中,下底B1F=23BB1=23a,腰B1C1=a,GF=AE=52a,
過G作GH⊥BB1交BB1于H.
顯然四邊形B1C1GH為矩形,故有C1G=B1H,GH=C1B1=a.
在Rt△FGH中,FH=B1F=C1G,GH=a.
由勾股定理可得
GF=GH2+(B1F-C1G)2=a2+23a-C1G2=52a,
結(jié)合圖形可知C1G
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