（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí) 解答題專題練（五）數(shù)列 文 蘇教版

解答題專題練(五)　數(shù)　列 (建議用時(shí)：40分鐘) 1．已知首項(xiàng)為，公比不等于1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3，S2，S4成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)記bn＝n|an|，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn. 2．(2019·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的公差d不為0，且a3＝a，a2＝a4＋a6. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求滿足Sn－2an－20>0的所有正整數(shù)n的集合． 3．(2019·泰州模擬)設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N*，設(shè)Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，已知b1≠0，2bn－b1＝S1·Sn，n∈N* . (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式； (2)求證：對(duì)任意的n∈N*且n≥2，有＋＋…＋<. 4．(2019·南通模擬)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且滿足a1＋a2＋a3＝9，b1b2b3＝27. (1)若a4＝b3，b4－b3＝m. ①當(dāng)m＝18時(shí)，求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式； ②若數(shù)列{bn}是唯一的，求m的值； (2)若a1＋b1, a2＋b2，a3＋b3均為正整數(shù)，且成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的公差d的最大值． 解答題專題練(五) 1．解：(1)法一：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由題意得2S2＝S3＋S4，q≠1， 所以2×＝＋. 化簡(jiǎn)得q2＋q－2＝0，得q＝－2， 又?jǐn)?shù)列{an}的首項(xiàng)為， 所以an＝×(－2)n－1. 法二：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由題意得2S2＝S3＋S4， 即(S4－S2)＋(S3－S2)＝0， 即(a4＋a3)＋a3＝0， 所以＝－2，所以公比q＝－2. 又?jǐn)?shù)列{an}的首項(xiàng)為，所以an＝×(－2)n－1. (2)bn＝n|an|＝n××2n－1＝×n×2n， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n)，① 2Tn＝(1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1)，② ①－②得， －Tn＝， 所以Tn＝＋(n－1)×2n. 2．解：(1)由a3＝a，得a1＋2d＝(a1＋6d)2，① 由a2＝a4＋a6，得a1＋d＝2a1＋8d， 即a1＝－7d，② ②代入①，得－5d＝d2. 所以d＝－5或d＝0(不符合題意，舍去)． 則a1＝35. 所以an＝35＋(n－1)(－5)＝－5n＋40. (2)Sn＝＝， 不等式Sn－2an－20>0， 即－2(－5n＋40)－20>0. 整理得n2－19n＋40<0. 所以<n<. 則<n<，即<n<17. 因?yàn)閚∈N*， 所以所求n的集合為{3，4，…，16}． 3．解：(1)因?yàn)閍n＋1＝3an， 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列， 所以an＝a1·3n－1＝3n－1. 在{bn}中，令n＝1，2b1－b1＝S1·S1?b1＝1， 所以2bn－1＝Sn， 2bn－1－1＝Sn－1， 所以2bn－2bn－1＝bn(n≥2)?bn＝2bn－1， 所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列， 所以bn＝b1·2n－1＝2n－1. (2)證明：＝ ＝≤， ＋＋…＋<1＋＋…＋＝＝<. 4．解：(1)①由數(shù)列{an}是等差數(shù)列及a1＋a2＋a3＝9，得a2＝3， 由數(shù)列{bn}是等比數(shù)列及b1b2b3＝27，得b2＝3. 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q， 若m＝18，則有，解得 或. 所以，{an}和{bn}的通項(xiàng)公式為或 ②由題設(shè)b4－b3＝m，得3q2－3q＝m，即3q2－3q－m＝0(*)． 因?yàn)閿?shù)列{bn}是唯一的，所以 (ⅰ)當(dāng)m＝0時(shí)，3q2－3q＝0，因?yàn)閝≠0所以q＝1，即bn＝3.滿足題意； (ⅱ)當(dāng)m≠0時(shí)，則有(*)式的判別式Δ＝(－3)2＋12m＝0， 解得m＝－，代入(*)式，解得q＝， 又b2＝3，bn＝3，所以{bn}是唯一的等比數(shù)列，符合題意. 所以，m＝0或－. (2)依題意，36＝(a1＋b1)(a3＋b3)， 設(shè){bn}公比為q，則有36＝(3＋d＋3q)，(**) 記m＝3－d＋，n＝3＋d＋3q，則mn＝36. 將(**)中的q消去，整理得d2＋(m－n)d＋3(m＋n)－36＝0， d的大根為 ＝ 而m，n∈N*，所以(m，n)的可能取值為： (1，36)，(2，18)，(3，12)，(4，9)，(6，6)，(9，4)，(12，3)，(18，2)，(36，1)． 所以，當(dāng)m＝1，n＝36時(shí)，d的最大值為. - 7 -