2020高考數學刷題首選卷 第三章 三角函數、解三角形與平面向量 考點測試27 平面向量的數量積及應用 文（含解析）

考點測試27　平面向量的數量積及應用 高考概覽 考綱研讀 1．理解平面向量數量積的含義及其幾何意義 2．了解平面向量的數量積與向量投影的關系 3．掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算 4．能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系 一、基礎小題 1．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(m,1)，m∈R，若a⊥b，則m的值為(　　) A．－ B． C．2 D．－2 答案　A 解析　由a⊥b，得a·b＝0，即－2m－1＝0，則m＝－．故選A． 2．在邊長為1的等邊三角形ABC中，設＝a，＝b，＝c，則a·b＋b·c＋c·a＝(　　) A．－ B．0 C． D．3 答案　A 解析　依題意有a·b＋b·c＋c·a＝1×1×－＋1×1×－＋1×1×－＝－．故選A． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，則·等于(　　) A．－16 B．－8 C．8 D．16 答案　D 解析　因為cosA＝，故·＝||||cosA＝||2＝16．故選D． 4．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，則a·b為(　　) A．12 B．8 C．－8 D．2 答案　A 解析　∵|a|cos〈a，b〉＝4，|b|＝3，∴a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝3×4＝12．故選A． 5．平面四邊形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，則四邊形ABCD是(　　) A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．梯形 答案　C 解析　因為＋＝0，所以＝－＝，所以四邊形ABCD是平行四邊形．又(－)·＝·＝0，所以四邊形對角線互相垂直，所以四邊形ABCD是菱形．故選C． 6．已知向量a＝(2,7)，b＝(x，－3)，且a與b的夾角為鈍角，則實數x的取值范圍為(　　) A．x< B．－<x< C．x< D．x<且x≠－ 答案　D 解析　由a·b＝2x－21<0，得x<．當a與b共線時，＝，則x＝－．故x的取值范圍為x<且x≠－．故選D． 7．(2018·大慶質檢一)若e1，e2是夾角為60°的兩個單位向量，則向量a＝e1＋e2，b＝－e1＋2e2的夾角為(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 答案　B 解析　依題意，有e1·e2＝cos60°＝，則cos〈a，b〉 ＝＝ ＝＝＝， 故〈a，b〉＝60°，故選B． 8．已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，點P是斜邊AB上的中點，則·＋·＝________． 答案　4 解析　由題意可建立如圖所示的坐標系．可得A(2,0)，B(0,2)，P(1，1)，C(0,0)，則·＋·＝(1,1)·(0,2)＋(1,1)·(2,0)＝2＋2＝4． 二、高考小題 9．(2018·全國卷Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 答案　B 解析　因為a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3．故選B． 10．(2018·天津高考)在如圖的平面圖形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，則·的值為(　　) A．－15 B．－9 C．－6 D．0 答案　C 解析　解法一：連接OA．∵＝－＝3－3＝3(－)－3(－)＝3(－)，∴·＝3(－)·＝3(·－||2)＝3×(2×1×cos120°－12)＝3×(－2)＝－6．故選C． 解法二：在△ABC中，不妨設∠A＝90°，取特殊情況ON⊥AC，以A為坐標原點，AB，AC所在直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，因為∠MON＝120°，ON＝2，OM＝1，所以O2，，C0，，M，0，B，0．故·＝－，·，－＝－－＝－6．故選C． 11．(2018·浙江高考)已知a，b，e是平面向量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2－4e·b＋3＝0，則|a－b|的最小值是(　　) A．－1 B．＋1 C．2 D．2－ 答案　A 解析　設＝a，＝b，＝e，以O為原點，的方向為x軸正方向建立平面直角坐標系，則E(1,0)．不妨設A點在第一象限，∵a與e的夾角為，∴點A在從原點出發(fā)，傾斜角為，且在第一象限內的射線上．設B(x，y)，由b2－4e·b＋3＝0，得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，即點B在圓(x－2)2＋y2＝1上運動．而＝a－b，∴|a－b|的最小值即為點B到射線OA的距離的最小值，即為圓心(2,0)到射線y＝x(x≥0)的距離減去圓的半徑，所以|a－b|min＝－1．故選A． 12．(2017·全國卷Ⅱ)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則·(＋)的最小值是(　　) A．－2 B．－ C．－ D．－1 答案　B 解析　解法一：設BC的中點為D，AD的中點為E，則有＋＝2，則·(＋)＝2· ＝2(＋)·(－) ＝2(2－2)． 而2＝2＝， 當P與E重合時，2有最小值0，故此時·(＋)取最小值，最小值為－22＝－2×＝－．故選B． 解法二：以AB所在直線為x軸，AB的中點為原點建立平面直角坐標系，如圖，則A(－1,0)，B(1,0)，C(0，)，設P(x，y)，取BC的中點D，則D，． ·(＋) ＝2·＝2(－1－x，－y)·－x，－y ＝2(x＋1)·x－＋y·y－ ＝2x＋2＋y－2－． 因此，當x＝－，y＝時，·(＋)取得最小值，為2×－＝－．故選B． 13．(2017·山東高考)已知e1，e2是互相垂直的單位向量．若e1－e2與e1＋λe2的夾角為60°，則實數λ的值是______． 答案　 解析　由題意不妨設e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，則e1－e2＝(，－1)，e1＋λe2＝(1，λ)．根據向量的夾角公式得cos60°＝＝＝，所以－λ＝，解得λ＝． 14．(2018·上海高考)在平面直角坐標系中，已知點A(－1，0)，B(2,0)，E，F是y軸上的兩個動點，且||＝2，則·的最小值為________． 答案　－3 解析　設E(0，m)，F(0，n)，又A(－1,0)，B(2,0)，∴＝(1，m)，＝(－2，n)．∴·＝－2＋mn，又知||＝2，∴|m－n|＝2． ①當m＝n＋2時，·＝mn－2＝(n＋2)n－2＝n2＋2n－2＝(n＋1)2－3．∴當n＝－1，即E的坐標為(0,1)，F的坐標為(0，－1)時，·取得最小值－3． ②當m＝n－2時，·＝mn－2＝(n－2)n－2＝n2－2n－2＝(n－1)2－3．∴當n＝1，即E的坐標為(0，－1)，F的坐標為(0,1)時，·取得最小值－3． 綜上可知，·的最小值為－3． 三、模擬小題 15．(2018·惠州一模)若O為△ABC所在平面內任一點，且滿足(－)·(＋－2)＝0，則△ABC的形狀為(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形 答案　A 解析　因為(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，(－)·(＋)＝0，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形，故選A． 16．(2018·唐山期末)在平行四邊形ABCD中，已知AB＝5，AD＝3，|＋|＝4，則·＝(　　) A．5 B．9 C．12 D．16 答案　B 解析　如圖，因為＋＝，所以|＋|＝||＝4．又AB＝5，AD＝3，所以AD⊥BD．所以·＝||||cos〈，〉＝5×3×＝9．故選B． 17．(2018·鄭州質檢三)在△ABC中，已知AD⊥AB，＝3，||＝1，則·＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　D 解析　如圖，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點E，則AB∥CE．由＝3，得＝3，從而＝4．由數量積的幾何意義，知·＝4·＝4，故選D． 18．(2018·石家莊質檢二)若兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，則向量a＋b與a的夾角為(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　由|a＋b|＝|a－b|兩邊平方得a·b＝0．再由|a＋b|＝2|b|兩邊平方得|a|＝|b|．從而有cos〈a＋b，a〉＝＝＝＝，所以〈a＋b，a〉＝，故選D． 19．(2018·衡陽二模)如圖，在正方形ABCD中，已知AB＝2，E為BC的中點，F為CD的中點，則·的值是________． 答案　0 解析　解法一：·＝＋·－＝·＋2－2－·＝0＋2－2－0＝0． 解法二：因為在正方形ABCD中，E，F分別為BC，CD的中點，所以△ABE≌△BCF，故∠EAB＝∠FBC，從而AE⊥BF，故·＝0． 20．(2018·太原三模)已知a，b是單位向量，a·b＝0，若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的最大值是________． 答案　＋1 解析　因為a，b是單位向量，a·b＝0，設a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，則c－a－b＝(x－1，y－1)，所以|c－a－b|＝＝1，即(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以向量c的模|c|＝表示圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上的動點與原點的距離，最大值為＋1＝＋1． 一、高考大題 1．(2017·江蘇高考)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，x∈[0，π]． (1)若a∥b，求x的值； (2)記f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值． 解　(1)因為a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，a∥b，所以－cosx＝3sinx． 若cosx＝0，則sinx＝0，與sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cosx≠0，于是tanx＝－． 又x∈[0，π]，所以x＝． (2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－)＝3cosx－sinx＝2cosx＋． 因為x∈[0，π]，所以x＋∈，， 從而－1≤cosx＋≤． 于是，當x＋＝，即x＝0時，f(x)取到最大值3； 當x＋＝π，即x＝時，f(x)取到最小值－2． 2．(2015·廣東高考)在平面直角坐標系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈． (1)若m⊥n，求tanx的值； (2)若m與n的夾角為，求x的值． 解　(1)∵m⊥n，∴m·n＝0， 故sinx－cosx＝0，∴tanx＝1． (2)∵m與n的夾角為， ∴cos〈m，n〉＝＝＝， 故sin＝． 又x∈，∴x－∈，x－＝， 即x＝，故x的值為． 二、模擬大題 3．(2018·江西南昌三校聯(lián)考)已知A，B，C是△ABC的內角，a，b，c分別是其對邊長，向量m＝(，cosA＋1)，n＝(sinA，－1)，m⊥n． (1)求角A的大??； (2)若a＝2，cosB＝，求b的值． 解　(1)∵m⊥n， ∴m·n＝sinA＋(cosA＋1)×(－1)＝0， ∴sinA－cosA＝1，∴sinA－＝． ∴0<A<π，∴－<A－<， ∴A－＝，∴A＝． (2)在△ABC中，A＝，a＝2，cosB＝， ∴sinB＝＝＝． 由正弦定理知＝，∴b＝＝＝． 4．(2018·山西運城質檢)已知向量a＝，b＝，且x∈． (1)求a·b及|a＋b|； (2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值． 解　(1)a·b＝coscos－sinsin ＝cos2x，x∈． ∵a＋b＝， ∴|a＋b|＝ ＝＝2|cosx|． ∵x∈，∴cosx>0，∴|a＋b|＝2cosx． (2)f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1 ＝22－． ∵x∈，∴≤cosx≤1， ∴當cosx＝時，f(x)取得最小值－； 當cosx＝1時，f(x)取得最大值－1． 11